FFT是幹什麼的

FFT在演算法競賽中就有一個用途：加速多項式乘法(暴言)

簡單來說，形如 a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXna0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn 的代數表示式叫做多項式，可以記作f(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXnf(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn，其中a0,a1,⋯,ana0,a1,⋯,an叫做多項式的係數，XX是一個不定元(就是不可以合併)，不表示任何值，不定元在多項式中最大項的次數稱作多項式的次數

如果我們當前有兩個多項式f(X),g(X)f(X),g(X)，現在要把他們乘起來(求卷積)，最樸素的做法就是

∑i=02n−1(∑j=0iai∗bi−j)∗xi

∑i=02n−1(∑j=0iai∗bi−j)∗xi

這樣的複雜度是Θ(n2)Θ(n2)的，十分不美觀，FFT就是要將這個過程最佳化為Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)

前置技能

多項式複數

複數形如a+bia+bi，其中i=−1−−−√i=−1

aa叫作複數的實部，bibi叫做複數的虛部

複數(a1+b1i)∗(a2+b2i)(a1+b1i)∗(a2+b2i)相乘的值，即a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)ia1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i也是一個複數，同時我們也得到了複數的乘法法則

複數c+dic+di可以用這種方式表示出來

(c+di)

複數乘法的在複平面中表現為輻角相加，模長相乘

單位根

複數ww滿足wn=1wn=1稱作ww是nn次單位根，下圖包含了所有的88次單位根(圖中圓的半徑是1)

8次單位根

同樣的，下圖是所有的4次單位根

4次單位根

聰明的你也許已經發現了單位根的些許性質，即

w2m2n=wmnw2n2m=wnm

wmn=−wm+n2nwnm=−wnm+n2

這兩個要記住，一會很有用

多項式的係數表達法

我們有多項式f(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXnf(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn，令a⃗ =(a0,a1,a2,...,an)a→=(a0,a1,a2,...,an)，則稱A(X)A(X)為多項式f(X)f(X)的係數表示法

在係數表示法下，計算多項式乘法是Θ(n2)Θ(n2)的

多項式的點值表達法

任取n+1n+1個互不相同的S={p1,p2,...,pn+1}S={p1,p2,...,pn+1}，對f(X)f(X)分別求值得到f(p1),f(p2),...,f(pn+1)f(p1),f(p2),...,f(pn+1)，那麼稱A(X)={(p1,f(p1)),(p2,f(p2)),...,(pn+1,f(pn+1))}A(X)={(p1,f(p1)),(p2,f(p2)),...,(pn+1,f(pn+1))}為多項式f(X)f(X)在SS下的點值表示法

可以把多項式想象成一個nn次函式，點值表示法就是取SS下每一個橫座標時對應的點，因為nn次函式可以由n+1n+1個點確定下來(可以將每一個點列一個nn次方程)，所以nn維點值與nn維繫數一一對應

更重要的一點，點值表示法下的乘法運算獲得了簡化

兩個多項式PP,QQ分別取點(x,y1)(x,y1)和(x,y2)(x,y2)，P∗QP∗Q就會取到點(x,y1∗y2)(x,y1∗y2)；令C=P∗QC=P∗Q，因為C(X)=P(X)∗Q(X)C(X)=P(X)∗Q(X)，所以C(x)=P(x)∗Q(x)C(x)=P(x)∗Q(x)，即C(x)=y1∗y2C(x)=y1∗y2

所以在點值表示法下，計算多項式乘法是Θ(n)Θ(n)的

FFT的具體過程

FFT就是將係數表示法轉化成點值表示法相乘，再由點值表示法轉化為係數表示法的過程，第一個過程叫做求值(DFT)，第二個過程叫做插值(IDFT)

求值

還記得我們之前提到的單位根嗎？再回顧一下：

w2m2n=wmnw2n2m=wnm

wmn=−wm+n2nwnm=−wnm+n2

想要求出一個多項式的點值表示法，需要選出n+1n+1個數分別帶入到多項式裡面，帶入一個數的複雜度是Θ(n)Θ(n)的，那麼總複雜度就是Θ(n2)Θ(n2)的，因為單位根有上面兩個優美的性質，所以我們嘗試可以取nn次單位根組成SS，看看能不能加速我們的運算

設A0(X)A0(X)為A(X)A(X)偶次項的和，設A1(X)A1(X)為A(X)A(X)奇次項的和，即

A0(X)=a0x0+a2x1+...+anxn/2A0(X)=a0x0+a2x1+...+anxn/2

A1(X)=a1x0+a3x1+...+an−1xn/2A1(X)=a1x0+a3x1+...+an−1xn/2

因為A(wmn)=a0w0n+a1wmn+a2w2mn+a3w3mn+...+an−1w(n−1)∗mn+anwnmnA(wnm)=a0wn0+a1wnm+a2wn2m+a3wn3m+...+an−1wn(n−1)∗m+anwnnm

所以有

​ A(wmn)==A0((wmn)2)+wmnA1((wmn)2)A0(wmn2)+wmnA1(wmn2)A(wnm)=A0((wnm)2)+wnmA1((wnm)2)=A0(wn2m)+wnmA1(wn2m)

​ A(wm+n2n)==A0((wmn)2)+wm+n2nA1((wmn)2)A0(wmn2)−wmnA1(wmn2)A(wnm+n2)=A0((wnm)2)+wnm+n2A1((wnm)2)=A0(wn2m)−wnmA1(wn2m)

也就是說，只要有了A0(X)A0(X)和A1(X)A1(X)的點值表示，就能在Θ(n)Θ(n)時間算出A(X)A(X)的點值表示，對於當前層確定的位置ii，就可以用下一層的兩個值更新當前的值，我們稱這個操作為“蝴蝶變換”

因為這個過程一定要求每層都可以分成兩大小相等的部分，所以多項式最高次項一定是2p2p(p∈Np∈N)次方，如果不是的話，直接在最高次項補零就可以啦

於是我們有了遞迴的寫法：

void FFT(Complex* a,int len){

if(len==1) return;

Complex* a0=new Complex[len/2];

Complex* a1=new Complex[len/2];

for(int i=0;i<len;i+=2){

a0[i/2]=a[i];

a1[i/2]=a[i+1];

}

FFT(a0,len/2);FFT(a1,len/2);

Complex wn(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len));

Complex w(1,0);

for(int i=0;i<(len/2);i++){

a[i]=a0[i]+w*a1[i];

a[i+len/2]=a0[i]-w*a1[i];

w=w*wn;

}

return;

｝

但遞迴版的FFT常數巨大，實現起來比較複雜，於是又有了迭代的寫法

重新考慮下遞迴FFT的過程，在第ii次求解中，我們將所有元素二進位制ii位為00的放在了左面，ii位為11的放在了右面，事實上，每個元素最終到的是他二進位制顛倒過來的位置

這裡寫圖片描述

再拿一張別人的圖

這裡寫圖片描述

迭代寫法：

inline void DFT(Complex a[]){

for(int i=0;i<len;i++)///pos[i]代表反轉後的位置

if(i<pos[i])

swap(a[i],a[pos[i]]);

for(int i=2,mid=1;i<=len;i<<=1,mid<<=1){///len代表多項式最高次項

///第一層i是列舉合併到了哪一層。

Complex wm(cos(2.0*pi/i),sin(2.0*pi/i));

for(int j=0;j<len;j+=i){///第二層j是列舉合併區間。

Complex w(1,0);

for(int k=j;k<j+mid;k++,w=w*wm){///第三層k是列舉區間內的下標。

Complex l=a[k],r=w*a[k+mid];

a[k]=l+r;a[k+mid]=l-r;

}

}

}

return;

}

插值

有人證出來插值只要將所有wmnwnm換成wm+n2nwnm+n2，也就是所有的虛部取相反數，再將最終結果除以lenlen，就是插值的過程了

究竟為什麼？我覺得人生一定要有點遺憾可以參考這裡，我就不多說了

支援插值的迭代寫法：

const double DFT=2.0,IDFT=-2.0;///進行求值，第二個引數傳DFT，插值傳IDFT

inline void FFT(Complex a[],double mode){

for(int i=0;i<len;i++)

if(i<pos[i])

swap(a[i],a[pos[i]]);

for(int i=2,mid=1;i<=len;i<<=1,mid<<=1){

Complex wm(cos(2.0*pi/i),sin(mode*pi/i));

for(int j=0;j<len;j+=i){

Complex w(1,0);

for(int k=j;k<j+mid;k++,w=w*wm){

Complex l=a[k],r=w*a[k+mid];

a[k]=l+r;a[k+mid]=l-r;

}

}

}

if(mode==IDFT)

for(int i=0;i<len;i++)

a[i].x/=len;

return;

}

現在，你已經會寫FFT了！