二、知識要點
1. 二元一次方程
2. 二元一次方程組
3. 代入消元法
4. 加減消元法
三、重點難點
典型例題
模擬試題
試題答案
方法總結
一、教學內容
[編輯本段]一、教學內容 二元一次方程組及其解法 1. 認識二元一次方程組的有關概念，會把一些簡單的實際問題中的數量關係，用二元一次方程組表示出來. 2. 領會並掌握解二元一次方程組的方法，根據方程組的情況，能恰當地運用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組. 3. 體會解二元一次方程組中的“消元”思想，即透過消元把二元一次方程轉化成一元一次方程，由此感受“化歸”思想的廣泛作用，提高分析問題和解決問題的能力. [編輯本段]二、知識要點 1. 二元一次方程 （1）概念：含有兩個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做二元一次方程. 你能區分這些方程嗎？5x＋3y＝75；3x＋1＝8x；＋y＝2；2xy＝9. 對二元一次方程概念的理解應注意以下幾點： ①等號兩邊的代數式是整式； ②在方程中“元”是指未知數，二元是指方程中含有兩個未知數； ③未知數的項的次數都是1，實際上是指方程中最高次項的次數為1，在此可與多項式的次數進行比較理解，切不可理解為兩個未知數的次數都是1. （2）二元一次方程的解 使二元一次方程兩邊相等的一組未知數的值，叫做二元一次方程的一個解. 對二元一次方程的解的理解應注意以下幾點： ①一般地，一個二元一次方程的解有無數個，且每一個解都是指一對數值，而不是指單獨的一個未知數的值； ②二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數的值；反過來，如果一組數值能使二元一次方程左右兩邊相等，那麼這一組數值就是方程的解； ③在求二元一次方程的解時，通常的做法是用一個未知數把另一個未知數表示出來，然後給定這個未知數一個值，相應地得到另一個未知數的值，這樣可求得二元一次方程的一個解. 你能試著解方程3x－y＝6嗎？ 2. 二元一次方程組 （1）二元一次方程組：由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組. （2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 對二元一次方程組的理解應注意： ①方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數量，否則不能將兩個方程合在一起. ②怎樣檢驗一組數值是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法如下：將這組數值分別代入方程組中的每個方程，只有當這組數值滿足其中的所有方程時，才能說這組數值是此方程組的解，否則，如果這組數值不滿足其中任一個方程，那麼它就不是此方程組的解. 3. 代入消元法 （1）概念：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最後求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法. （2）代入法解二元一次方程組的步驟 ①選取一個係數較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數； ②將變形後的方程代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（在代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的. ）； ③解這個一元一次方程，求出未知數的值； ④將求得的未知數的值代入①中變形後的方程中，求出另一個未知數的值； ⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解； ⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊＝右邊）. 4. 加減消元法 （1）概念：當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最後求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法. （2）加減法解二元一次方程組的步驟 ①利用等式的基本性質，將原方程組中某個未知數的係數化成相等或相反數的形式； ②再利用等式的基本性質將變形後的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數，切忌只乘以一邊，然後若未知數係數相等則用減法，若未知數係數互為相反數，則用加法）； ③解這個一元一次方程，求出未知數的值； ④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值； ⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解； ⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊＝右邊）. [編輯本段]三、重點難點 本節重點內容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點是根據方程的具體形式選擇合適的解法。 典型例題 例1. 下列各方程中，哪個是二元一次方程？ （1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x－y＝9；（4）＝2. 分析：此題判斷的根據是二元一次方程的定義. 由於方程（2）中含未知數的項xy的次數是2，而不是1，所以xy＝3不是二元一次方程；2x－y＝9是二元一次方程；又因為方程（4）中的不是整式，所以＝2也不是二元一次方程. 解：方程8x－y＝y，2x－y＝9是二元一次方程；方程xy＝3，＝2不是二元一次方程. 評析：判定某個方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根據定義進行判斷. 例2. 已知是方程組的解，求m＋n的值. 分析：因為是方程組的解，所以同時滿足方程①和方程②，將分別代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n的值. 解：因為是方程組的解，所以將其代入原方程組中的兩個方程仍成立，即解得所以m＋n＝－1＋0＝－1. 評析：應該仔細體會“已知方程組的解是……”這類已知條件的用法，並加深理解方程組的解的意義. 例3. 寫出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整數解. 分析：為了求解方便，先將原方程變形為y＝20－4x，由於題中所要求的解限定於“正整數解”，所以x和y的值都必須是正整數. 解：將原方程變形，得y＝20－4x，因為x、y均為正整數，所以x只能取小於5的正整數. 當x＝1時，y＝16；當x＝2時，y＝12；當x＝3時，y＝8；當x＝4時，y＝4. 即4x＋y＝20的所有正整數解是： ，，，. 評析：對“所有正整數解”的含義的理解要注意兩點：一要正確，二要不重不漏. “正確”的標準是兩個未知數的值都必須是正整數，且適合此方程. 例4. 已知5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0，求x和y的值. 分析：根據絕對值和平方的意義可知，5︱x＋y－3︱≥0，（x－2y）≥0，由已知條件5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0可得即從而可求出x和y的值. 解：由題意得即解得. 評析：非負值相加為零，有且只有它們同時為零. 例5. 用代入法解方程組： 分析：選擇其中一個方程，將其變形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式，代入另一個方程求解. 方程①中x、y係數相對較小，考慮到x＝3－y，而y＝，顯然在下面計算中x＝3－y代入方程②計算簡捷. 解：由①得：x＝3－y ③ 把③代入②得：8（3－y）＋3y＋1＝0 解得：y＝125 將y＝125代入③，得：x＝－47 所以這個方程組的解為 評析：用代入法解方程組時，（1）選擇變形的方程要儘可能較簡單，表示的代數式也應儘可能簡捷. （2）要對下面的計算進行預見、估計、以選擇較好的方法. 例6. 用加減消元法解方程組 分析：題中x、y係數不相同，也不是互為相反數；x的係數為4和6，y的係數為3和－4，它們的最小公倍數均為12，都可以變為12或－12，選擇消去x，還是消去y，其難易程度相當. 解：①×3得：12x＋9y＝27 ③ ②×2得：12x－8y＝10 ④ ③－④得：17y＝17，解得y＝1 把y＝1代入①得：x＝ 所以原方程組的解為 評析：此題中在選擇消去x，還是消去y，關鍵是：（1）看係數是否有倍數關係，如一個為2x，一個為6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在沒有倍數、係數的條件下，看x、y係數的最小公倍數哪一個較小，通常消最小公倍數較小的未知數. 模擬試題 （答題時間：45分鐘） 一. 選擇題 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ） A. 4x－2π＝5 B. 3x＋5y C. 2x－5y＝0 D. 2x－5＝y 2. 如果是方程3x－ay＝7的一個解，那麼a＝（ ） A. 5 B. C. 3 D. 3. 已知二元一次方程3x－2y＝12，那麼（ ） A. 任意一對有理數都是它的解 B. 只有一個解 C. 有兩個解 D. 有無數多個解 *4. 二元一次方程x＋y＝4的正整數解的個數是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 把二元一次方程3x－y＝1寫成用含x的代數式表示y的形式是（ ） A. x＝ B. x＝ C. y＝1－3x D. y＝3x－1 6. 四名學生解二元一次方程組時提出四種不同的解法，其中解法不正確的是（ ） A. 由①得x＝，代入② B. 由①得y＝，代入② C. 由②得y＝－，代入① D. 由②得x＝3＋2y，代入① 7. 方程組的解是（ ） A. B. C. D. *8. 方程（2x－y－3）＋︱3x＋4y－10︱＝0的解是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 1. 在二元一次方程2x＋3y＝4中，用含x的代數式表示y，則y＝__________；用含y的代數式表示x，則x＝__________；當x＝－1時，y＝__________；當y＝－1時，x＝__________. 2. 已知x＝1，y＝－2是二元一次方程5x＋ky＝1的一個解，則k＝__________. 3. 解方程組得 4. 已知3x－y＝1是二元一次方程，則m＝__________，n＝__________. 5. 如果x－2y＝3，那麼7－2x＋4y＝__________. 6. 若是方程組的一個解，則a＝__________，b＝__________. *7. 關於x、y的二元一次方程－2x＋y＝0中，m＋n＝__________. 8. 若2ab與－ab是同類項，則x＝__________，y＝__________. 三. 解答題 1. 根據下列條件，設適當未知數列出二元一次方程或二元一次方程組. （1）甲、乙兩商店共有練習本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲、乙兩店所剩的練習本數相等； （2）甲數比乙數的2倍小1，試著寫出符合條件的一組解. 2. 用適當的方法解下列方程組： （1） （2） （3） **3. 設二元一次方程ax＋by＋2＝0的兩個解分別為，. 試判斷是否也是該方程的解. *4. 已知m－3n＝2m＋n－15＝1，求代數式m＋n－4mn＋3的值. *5. 嘗試用消元的思想，化三元為二元，化二元為一元，解方程組. 試題答案 一. 選擇題 1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二. 填空題 1. ；；2； 2. 2 3. 2 4. 3 －2 5. 1 6. 4 0 7. 0（提示：根據題意得，②－①得2m＋2n＝0，即m＋n＝0. 8. 1 5 三. 解答題 1. （1）設甲店有練習本x本，乙店有練習本y本，則. （2）設甲數為x，乙數為y，則x＝2y－1. 如 等. 2. （1）（2） （3） 3. 把、分
二、知識要點
1. 二元一次方程
2. 二元一次方程組
3. 代入消元法
4. 加減消元法
三、重點難點
典型例題
模擬試題
試題答案
方法總結
一、教學內容
二、知識要點
1. 二元一次方程
2. 二元一次方程組
3. 代入消元法
4. 加減消元法
三、重點難點
典型例題
模擬試題
試題答案
方法總結
[編輯本段]一、教學內容 二元一次方程組及其解法 1. 認識二元一次方程組的有關概念，會把一些簡單的實際問題中的數量關係，用二元一次方程組表示出來. 2. 領會並掌握解二元一次方程組的方法，根據方程組的情況，能恰當地運用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組. 3. 體會解二元一次方程組中的“消元”思想，即透過消元把二元一次方程轉化成一元一次方程，由此感受“化歸”思想的廣泛作用，提高分析問題和解決問題的能力. [編輯本段]二、知識要點 1. 二元一次方程 （1）概念：含有兩個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做二元一次方程. 你能區分這些方程嗎？5x＋3y＝75；3x＋1＝8x；＋y＝2；2xy＝9. 對二元一次方程概念的理解應注意以下幾點： ①等號兩邊的代數式是整式； ②在方程中“元”是指未知數，二元是指方程中含有兩個未知數； ③未知數的項的次數都是1，實際上是指方程中最高次項的次數為1，在此可與多項式的次數進行比較理解，切不可理解為兩個未知數的次數都是1. （2）二元一次方程的解 使二元一次方程兩邊相等的一組未知數的值，叫做二元一次方程的一個解. 對二元一次方程的解的理解應注意以下幾點： ①一般地，一個二元一次方程的解有無數個，且每一個解都是指一對數值，而不是指單獨的一個未知數的值； ②二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數的值；反過來，如果一組數值能使二元一次方程左右兩邊相等，那麼這一組數值就是方程的解； ③在求二元一次方程的解時，通常的做法是用一個未知數把另一個未知數表示出來，然後給定這個未知數一個值，相應地得到另一個未知數的值，這樣可求得二元一次方程的一個解. 你能試著解方程3x－y＝6嗎？ 2. 二元一次方程組 （1）二元一次方程組：由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組. （2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 對二元一次方程組的理解應注意： ①方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數量，否則不能將兩個方程合在一起. ②怎樣檢驗一組數值是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法如下：將這組數值分別代入方程組中的每個方程，只有當這組數值滿足其中的所有方程時，才能說這組數值是此方程組的解，否則，如果這組數值不滿足其中任一個方程，那麼它就不是此方程組的解. 3. 代入消元法 （1）概念：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最後求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法. （2）代入法解二元一次方程組的步驟 ①選取一個係數較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數； ②將變形後的方程代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（在代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的. ）； ③解這個一元一次方程，求出未知數的值； ④將求得的未知數的值代入①中變形後的方程中，求出另一個未知數的值； ⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解； ⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊＝右邊）. 4. 加減消元法 （1）概念：當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最後求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法. （2）加減法解二元一次方程組的步驟 ①利用等式的基本性質，將原方程組中某個未知數的係數化成相等或相反數的形式； ②再利用等式的基本性質將變形後的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數，切忌只乘以一邊，然後若未知數係數相等則用減法，若未知數係數互為相反數，則用加法）； ③解這個一元一次方程，求出未知數的值； ④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值； ⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解； ⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊＝右邊）. [編輯本段]三、重點難點 本節重點內容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點是根據方程的具體形式選擇合適的解法。 典型例題 例1. 下列各方程中，哪個是二元一次方程？ （1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x－y＝9；（4）＝2. 分析：此題判斷的根據是二元一次方程的定義. 由於方程（2）中含未知數的項xy的次數是2，而不是1，所以xy＝3不是二元一次方程；2x－y＝9是二元一次方程；又因為方程（4）中的不是整式，所以＝2也不是二元一次方程. 解：方程8x－y＝y，2x－y＝9是二元一次方程；方程xy＝3，＝2不是二元一次方程. 評析：判定某個方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根據定義進行判斷. 例2. 已知是方程組的解，求m＋n的值. 分析：因為是方程組的解，所以同時滿足方程①和方程②，將分別代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n的值. 解：因為是方程組的解，所以將其代入原方程組中的兩個方程仍成立，即解得所以m＋n＝－1＋0＝－1. 評析：應該仔細體會“已知方程組的解是……”這類已知條件的用法，並加深理解方程組的解的意義. 例3. 寫出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整數解. 分析：為了求解方便，先將原方程變形為y＝20－4x，由於題中所要求的解限定於“正整數解”，所以x和y的值都必須是正整數. 解：將原方程變形，得y＝20－4x，因為x、y均為正整數，所以x只能取小於5的正整數. 當x＝1時，y＝16；當x＝2時，y＝12；當x＝3時，y＝8；當x＝4時，y＝4. 即4x＋y＝20的所有正整數解是： ，，，. 評析：對“所有正整數解”的含義的理解要注意兩點：一要正確，二要不重不漏. “正確”的標準是兩個未知數的值都必須是正整數，且適合此方程. 例4. 已知5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0，求x和y的值. 分析：根據絕對值和平方的意義可知，5︱x＋y－3︱≥0，（x－2y）≥0，由已知條件5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0可得即從而可求出x和y的值. 解：由題意得即解得. 評析：非負值相加為零，有且只有它們同時為零. 例5. 用代入法解方程組： 分析：選擇其中一個方程，將其變形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式，代入另一個方程求解. 方程①中x、y係數相對較小，考慮到x＝3－y，而y＝，顯然在下面計算中x＝3－y代入方程②計算簡捷. 解：由①得：x＝3－y ③ 把③代入②得：8（3－y）＋3y＋1＝0 解得：y＝125 將y＝125代入③，得：x＝－47 所以這個方程組的解為 評析：用代入法解方程組時，（1）選擇變形的方程要儘可能較簡單，表示的代數式也應儘可能簡捷. （2）要對下面的計算進行預見、估計、以選擇較好的方法. 例6. 用加減消元法解方程組 分析：題中x、y係數不相同，也不是互為相反數；x的係數為4和6，y的係數為3和－4，它們的最小公倍數均為12，都可以變為12或－12，選擇消去x，還是消去y，其難易程度相當. 解：①×3得：12x＋9y＝27 ③ ②×2得：12x－8y＝10 ④ ③－④得：17y＝17，解得y＝1 把y＝1代入①得：x＝ 所以原方程組的解為 評析：此題中在選擇消去x，還是消去y，關鍵是：（1）看係數是否有倍數關係，如一個為2x，一個為6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在沒有倍數、係數的條件下，看x、y係數的最小公倍數哪一個較小，通常消最小公倍數較小的未知數. 模擬試題 （答題時間：45分鐘） 一. 選擇題 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ） A. 4x－2π＝5 B. 3x＋5y C. 2x－5y＝0 D. 2x－5＝y 2. 如果是方程3x－ay＝7的一個解，那麼a＝（ ） A. 5 B. C. 3 D. 3. 已知二元一次方程3x－2y＝12，那麼（ ） A. 任意一對有理數都是它的解 B. 只有一個解 C. 有兩個解 D. 有無數多個解 *4. 二元一次方程x＋y＝4的正整數解的個數是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 把二元一次方程3x－y＝1寫成用含x的代數式表示y的形式是（ ） A. x＝ B. x＝ C. y＝1－3x D. y＝3x－1 6. 四名學生解二元一次方程組時提出四種不同的解法，其中解法不正確的是（ ） A. 由①得x＝，代入② B. 由①得y＝，代入② C. 由②得y＝－，代入① D. 由②得x＝3＋2y，代入① 7. 方程組的解是（ ） A. B. C. D. *8. 方程（2x－y－3）＋︱3x＋4y－10︱＝0的解是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 1. 在二元一次方程2x＋3y＝4中，用含x的代數式表示y，則y＝__________；用含y的代數式表示x，則x＝__________；當x＝－1時，y＝__________；當y＝－1時，x＝__________. 2. 已知x＝1，y＝－2是二元一次方程5x＋ky＝1的一個解，則k＝__________. 3. 解方程組得 4. 已知3x－y＝1是二元一次方程，則m＝__________，n＝__________. 5. 如果x－2y＝3，那麼7－2x＋4y＝__________. 6. 若是方程組的一個解，則a＝__________，b＝__________. *7. 關於x、y的二元一次方程－2x＋y＝0中，m＋n＝__________. 8. 若2ab與－ab是同類項，則x＝__________，y＝__________. 三. 解答題 1. 根據下列條件，設適當未知數列出二元一次方程或二元一次方程組. （1）甲、乙兩商店共有練習本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲、乙兩店所剩的練習本數相等； （2）甲數比乙數的2倍小1，試著寫出符合條件的一組解. 2. 用適當的方法解下列方程組： （1） （2） （3） **3. 設二元一次方程ax＋by＋2＝0的兩個解分別為，. 試判斷是否也是該方程的解. *4. 已知m－3n＝2m＋n－15＝1，求代數式m＋n－4mn＋3的值. *5. 嘗試用消元的思想，化三元為二元，化二元為一元，解方程組. 試題答案 一. 選擇題 1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二. 填空題 1. ；；2； 2. 2 3. 2 4. 3 －2 5. 1 6. 4 0 7. 0（提示：根據題意得，②－①得2m＋2n＝0，即m＋n＝0. 8. 1 5 三. 解答題 1. （1）設甲店有練習本x本，乙店有練習本y本，則. （2）設甲數為x，乙數為y，則x＝2y－1. 如 等. 2. （1）（2） （3） 3. 把、分