01 開場白

自從我努力將所學知識以動圖的形態呈現給大家之後，我驚喜的發現我對知識點的理解變得更加的透徹了。這難道就是：

予人玫瑰，手留餘香！

泰勒公式是非常非常重要的一個工具，同時也是不容易理解消化的知識點。如果你認為這篇文章講解的好，請分享給身邊的大學生，不管是親戚、朋友。

02 cos(x)在0點附近的泰勒分解

當我們仔細觀察 g(x) = cos(x) 函式的時候，當 x = 0 處的圖形和拋物線的圖形（紅色）相似度極高。

紅色拋物線的公式可表示如下：

當 x = 0 時，g(0) = cos(0) = 1。 我們的目的是將拋物線 f(x) 和 cos(x) 的圖形儘量逼近。那麼，在 x = 0 時， f(0) = g(0) = 1。

x = 0處值

上圖所示，在我們定下 c = 1的情況下，第二項中 a 的值將會對拋物線在 x = 0 處切線斜率產生影響。cos(x) 在 x = 0 出的圖形切線斜率為 0（紅線所示）。自然，我們也需要將拋物線在 x = 0 處切線斜率逼近 0。

切線的斜率 = 切線函式的一階導數

一階導數

我們需要保證 f(x) 和 g(x) 在 x = 0 處的切線斜率相等，那麼 a = 0。

圖2：拋物線變換（二）

上圖所示拋物線公式中 b 對於圖形形狀的影響。二階導數是個很抽象的概念，有的表示式 切線斜率的變化率。這並不方便記憶，所以我們可以結合導數的物理意義來幫助記憶。

路程 S 的一階導數對應 速度 V；路程 S 的二階導數對應 速度 α；

圖3：拋物線變換（三）

我們分別在兩個圖形上定兩個小球，由於兩個圖形的一階導數（速度）為0，也就是初始速度都是0。之後，我們可以清楚的看到，紅色曲線上的小點運動加速度要大於藍色曲線上的小點。這就是 拋物線公式中 b 對整體的影響。

知道這一點後，我們就可以透過二階導數相等去求出 b 了。

二階導數

如上所示，2b = -1, b = -0.5。

所以拋物線的方程可以如下表示：f(x) = 1 - 0.5 * x^2

圖4：拋物線變換（四）

03 結果驗證

我們得到了 cos(x) 在 x = 0 處的泰勒公式近似公式，那麼是不是可以用該公式求cos(x)的近似值呢？

當 x = 0.1時：

cos(0.1) = 0.995994165

1 - 0.5 * x^2 = 0.995

當 x = 0.5時：

cos(0.5) = 0.877582562

1 - 0.5 * x^2 = 0.875

我們發現，當 x 的取值離 x = 0 越來越遠，則誤差越來越大。從圖4中也能看出，藍色和紅色小球之間的距離越來越遠。

這不代表我們的公式有問題，是因為我們的公式推導過程本身就是基於 x = 0 附近的點的近似求解。自然 x 的值裡0點越遠越不準。

那麼怎麼樣提高精度呢？我們可以不斷的在公式後面增加更高次冪的式子。

我們一起來看看我們不斷增加高次冪之後，兩個圖形的重合度有什麼變化吧。

圖5：拋物線變換（五）

在 x 取別的值的時候，我們依然可以按照上述過程進行泰勒展開。當我們 在 x = π 的時候做泰勒展開，圖形會如圖6般美妙。

圖6：拋物線變換（六）

泰勒公式通式：

泰勒公式

04 泰勒公式的幾何意義

圖7：泰勒公式幾何意義

那麼，藍色、紅色和綠色的面積分別為多少呢？

也就是說，泰勒公式中

第一項為藍色的面積區域；第二項為紅色的面積區域；第三項為綠色的面積區域；依次類推，不斷增進精度。05 總結

理解知識才能熟練掌握，而將數學、幾何和物理融會貫通才能所向披靡。

泰勒中值定理：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個餘項的和：

f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!??(x-x.)^2,+f"""(x.)/3!??(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!??(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!??(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）

證明：我們知道f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f"(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函式P(x)滿足P(x.)=f(x.),P"(x.)=f"(x.),P""(x.)=f""(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P"(x.)=A1,A1=f"(x.)；P""(x.)=2!A2,A2=f""(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項係數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!??(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!??(x-x.)^n.

接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),於是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn"(x.)=Rn""(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn"(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.之間；繼續使用柯西中值定理得Rn"(ξ1)-Rn"(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn""(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這裡ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由於P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數，故P(n+1)(x)=0，於是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，餘項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!??(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函式時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。

麥克勞林展開式：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和：

f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!??x^2,+f"""(0)/3!??x^3+……+f(n)(0)/n!??x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!??x^(n+1),這裡0<θ<1。

證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式：

f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!??x^2,+f"""(0)/3!??x^3+……+f(n)(0)/n!??x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!??x^(n+1)

由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。

麥克勞林展開式的應用：

1、展開三角函式y=sinx和y=cosx。

解：根據導數表得：f(x)=sinx , f"(x)=cosx , f""(x)=-sinx , f"""(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……

於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0，f"(0)=1, f""(x)=0, f"""(0)=-1, f(4)=0……

最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。）

類似地，可以展開y=cosx。

2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林展開式並捨棄餘項：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。

3、尤拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位）

證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。有興趣的話可自行證明一下。

泰勒

(2004-02-06)

18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。1709年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 後因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。 最後在1731年1 2月29日於倫敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於 1712年7月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內v為獨立變數的增量， 及 為流數。他假定z隨時間均勻變化，則 為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈裡－牛頓插值公式發展而成 的，當x＝0時便稱作馬克勞林定理。1772年 ，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹， 這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。

泰勒定理開創 了有限差分理論，使任何單變數 函式都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。 泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理 問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要 。他透過求解方程 匯出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先 河。此外，此書還包括了他於 數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率 問題之研究等。

1715年，他出版了另一名著《線性透 視論》，更發表了再版的《線性透視原理》（1719） 。他以極嚴密之形式展開其線性透 視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念， 這對攝影測量製圖學之發展有 一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發表於1793年。

泰勒公式就是在一點上用多項式逼近原函式，這樣的函式是解析的，函式是解析的是一個很強的條件，解析一點可導，反之不成立。我們的計算器算pi sin cos都是利用泰勒公式算的多項式值

泰勒公式可以理解為：用零階到無窮階的曲線進行加權來擬合目標曲線（自己組織的語言，只拿來理解用啊）。

簡單說，就是把一個複雜公式表示的曲線用簡單的公式表示，以方便計算和近似。

一般情況下，泰勒公式無法展開很多項，更不要說無窮項了，所以，會有一個餘項來彌補展開前後的誤差。

通常，展開的項越多，擬合的曲線就越逼近原始曲線：隨著自變數x的增大，擬合曲線漸漸偏離原始曲線。

以上。