張量問題比較複雜，簡單說就是用多維座標表示空間某一物體隨時間的變化。如果有興趣的話可以查有關資料。這裡推薦清華大學出版的:彈性力學和張量分析。

張量是對具有各向異性的物理量所必不可少的一種表達形式，不同的空間指向具有不同的數值大小。譬如，應力、應變、轉動慣量、等等。

對於數域 K 上的 n 維線性空間 V，當給定一組基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 後，其中任意一個向量（也叫向量） α 都對應唯一的座標系數 (a₁, a₂, ..., a_n) 使得：

又有另外一個向量 β = b₁ε₁ + b₂ε₂ + ... + b_nε_n，將 α 和 β 自然相乘，有：

令，

則有：

稱 ω 為 二階（秩）張量，在 V 確定一組基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n}後，對應 一個係數方陣 Z。

當然，這個定義是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：

張量 和 向量對 並不一一對應，例如：下面的一組二維向量對

中任何一對之積都一樣，即，

如果令 z_{ij} = a_i b_j 則 z_{ij} 會受到限制，例如：對應二維線性空間，有

於是，得到 z_{ij} 之間的比例關係：

顯然

就不滿足上面的比例關係。

因此，考慮脫離乘法而用 (1) 的形式直接定義張量，但是顯然不能是任意 n² 個數就可以構成張量的係數矩陣，我們需要找到規律。

我們知道，n 維度線性空間中的向量 α ，其座標向量 (a₁, a₂, ..., a_n) 是依賴於基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，當基變為 {ε₁", ε₂", ..., ε_n"} 後就相應的變為 (a₁", a₂", ..., a_n")。若已知，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 到 {ε₁", ε₂", ..., ε_n"} 過渡矩陣是 T，即：

則，有：

於是，有：

等式兩邊左乘 (Tᵀ)⁻¹，整理後得到：

以上推導說明：向量 α 的座標向量 雖然 隨著基的不同而變化，但是向量 α 從未改變，是一個不變數，即：

並且，不同基下的座標向量之間滿足(2) 。

受此啟發，分析：ω 的係數矩陣 Z = (z_{ij}) 也是依賴於基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，當基變為 {ε₁", ε₂", ..., ε_n"} 後就相應的變為 Z" = (z_{ij}")，並且有：

於是，有：

等式兩邊左乘 (Tᵀ)⁻¹，右乘 T⁻¹，整理後得到：

於是，給出二階張量的正式定義：

與 n 維線性空間 V 有關的量 ω，線上性空間 V 的基變化時，具有不變性，滿足，

並且，不同基下的係數矩陣之間滿足 (3)，則稱 ω 為 二階張量。

依照以上思路我們可以定義三階張量，這時係數矩陣就已經不夠用了，於是我們只能老老實實用多項式表示，為了簡化書寫引入愛因斯坦和式：

在一項中同時出現兩次的上下標 i 稱為啞標表示該項是多項相加的縮寫，只出現一次的 j 是自由標，禁止多於兩次。

新設 V 中向量 γ = c₁ε₁ + c₂ε₂ + ... + c_nε_n 有：

令 ω = αβγ，z_{ijk} = a_ib_jc_k，則有（從這裡開始使用愛因斯坦和式）：

ω 就是三階張量。

設 V 的基從{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 變換到 {ε₁", ε₂", ..., ε_n"} 的過渡矩陣 T 以及其 轉置逆陣 S 分別為：

則有：

在新基下，令 ω = z"_{ijk}ε"_iε"_jε"_k，於是有：

最終得到：

於是我們定義：

與 n 維線性空間 V 有關的量 ω，線上性空間 V 的基變化時，具有不變性，滿足，

並且，不同基下分量之間滿足 (4)，則稱 ω 為 三階張量。

繼續延續以上思路，可以將張量擴充套件到任意 p 階。

對於 和 n 維線性空間 V 相關的量 ω，在 V 的基變化時，具有不變性，滿足：

並且，不同基下分量之間滿足：

則稱 ω 為 p 階張量。

注意到，當 p = 1 時有：

這和向量完全一致，因此 一階張量 就是 向量，向量就是一階張量。

規定，當 p = 0 時為：

即， 零階張量 就是 標量。

線性空間 V 上的函式 f: V → K，如果滿足線性：

f(α + β) = f(α) + f(β)；

f(kα) = kf(α)；

則稱 f 為線性函式。定義線性函式的加法和數乘運算：

(f+g)(α) = f(α) + g(α)；

(kf)(α) = kf(α)；

可以證明 V 上的全體線性函式構成一個新的線性空間，稱為 V 的對偶空間，記為 V*。

對於 V 中給定的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} ，如果 V* 中的一組函式 {ε¹, ε², ..., ε^n} 使得：

注：δ_{ij} 稱為 Kronecker 符號。

可以證明 滿足上式的 ε¹, ε², ..., ε^n 是 唯一的，並且 是V* 的一組基，稱 {ε¹, ε², ..., ε^n} 是 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的對偶基。

也就是說，對於 V* 中的任意線性函式 f ，有 f = a₁ε¹ + a₁ε² + ... + a_nε^n ，這和 V 中向量的性質完全相同。

當 V 的基變為 {ε’₁, ε"₂, ..., ε"_n} 對偶基變為 {ε"¹, ε"², ..., ε"^n} ，設， V 和 V* 中的過渡矩陣 分別為 T = (t_{ij}) 和 S = (s_{ij})，則有：

這說明 S(Tᵀ) = E 於是 S = (Tᵀ)⁻¹，S 和 T 互為轉置逆陣。

同時，對於線性函式 f 又有：

於是，得到：

由此可見，V* 的座標變換矩陣就是 V 的過渡矩陣 T。

綜上可以得出：

考慮，V* 的對偶空間 V** ，定義對映： ψ: V → V**，對於 V 中任意元素 α 對應 V** 中的唯一元素 ψ(α) : V* → K，使得：

可證明 ψ 是線性同構，也就是 V ≌ V**，於是我們將 V** 和 V 當做同樣的線性空間。這說明 V 和 V* 互為對偶空間，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 和 {ε¹, ε², ..., ε^n} 互為對偶基。

既然 V* 是線性空間，我們可以仿照 V 上定義 p 階張量，在 V** 上定義 q 階張量：

對於 和 n 維線性空間 V 的對偶空間 V* 相關的量 ω，在 V 的基變化（V* 中的對偶基跟著變化）時，具有不變性，滿足：

並且，不同對偶基下分量之間滿足：

則稱 ω 為 q 階張量。

因為 V** 上的 q 階張量的座標變換就是 V 過渡矩陣 T 的元素相乘，而 V 上的 p 階張量的座標變換時 過渡矩陣 的轉置逆陣 S 的元素相乘，因此稱 V** 上的 q 階張量，為 q 階協變張量，稱 V 上的 p 階張量 為 p 階逆變張量。

最終，將 V* 和 V 混在一起定義混合型張量：

對於 和 n 維線性空間 V 以及 其對偶空間 V* 相關的量 ω，在 V 的基變化 以及 V* 中的對偶基跟著變化 時，具有不變性，滿足：

並且，不同基和對偶基下分量之間滿足：

則稱 ω 為 (p,q) 型混和張量，p 為逆變階數，q 為協變階數。

在基確定的情況下，向量 和 座標向量 一一對應，我們可以將座標向量當做向量；同理，在基確定的情況下，(p, q) 型混合張量 和 一組數 {z_{i₁i₂...i_pj₁j₂...j_q}} 一一對應，我們可以將 這組數 當做張量。於是有如下張量的第二種定義：

對於 n 維線性空間 V 以及對偶空間 V*，對於任意給定 的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 指定 n^{p+q} 個數 :

如果這組數在基變換時的變換，符合 (5) 的變化規律，則稱這組隨著基改變的數，為 (p, q) 型混合張量。

這就 G.Ricci 最初引入張量概念時所下的定義。

再進一步觀察發現，在 V 基給定下，每一個 (p, q) 型混合張量，都可以用 基和對偶基的乘積組：

進行線性表示，這說明 所有的 (p, q) 型混合張量 構成一個線性空間，那麼這個線性空間是什麼？

考慮：

與一階逆變張量是 V 中的向量類似，一階協變張量是 V* 中的元素，於是 一階協變張量就是線性函式 f: V → K；

一階逆變張量是 V 中的向量，而 V 就是 V**，於是 一階協變張量就是線性函式 f: V* → K；

受此啟發，可以證明：(p, q) 型混合張量，就是多元線性函式 V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 個 V*， q 個 V）。所有多元函式組成的集合記為 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K)，可以證明 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 是一個線性空間。定義，

它就是

ε_{i₁}ε_{i₂}...ε_{i_p}ε^{j₁}ε^{j₂}...ε^{j_q}

在 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 中對應的基。

注：多元線性函式的定義和 線性函式類似。

於是，就有了第三種定義張量的方法：

稱 一個 多元線性函式 V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 個 V*， q 個 V）為 (p, q) 型混合張量。

最後，回到最初，我們知道 兩個 向量 α, β 的乘積 是一個二階逆變張量，而向量就是一階逆變張量，於是這種乘積就是張量之間的乘積，稱為張量積，為了明確用 ⊗ 表示。

對於 V 中任意兩向量 α, β 的 都有張量積 α ⊗ β ，令 X 是所有這些 α ⊗ β 組成的集合。一開始我們提到的 向量 α, β 的乘積的缺陷問題導致 X 不能構成線性空間，但是 X 可以生產一個線性空間，記為 V ⊗ V ，稱為 V 和 V 的張量積。

以上是從張量引入了張量積，其實數學上是脫張量，直接用範疇的語言定義張量積如下：

對於K 域上的線性空間 U, V, W ，如果 雙線性對映 ψ : U × V → W ， 對於 K 上的任意 線性空間 W" 以及線性對映 ψ" : U × V → W" 都存在 唯一的 線性對映 σ: W → W" 使得 ψ" = σψ 則稱 (W, ψ) 為 從 U 到 V 的一個張量。

可以證明 (W, ψ) 線上性同構意義下唯一，於是令 U ⊗ V = W, u ⊗ v = ψ(u, v)。

於是，就有了張量的第四種定義：

稱 張量積 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* （p 個 V， q 個 V*）中的元素為 (p, q) 型混合張量。

第一種定義中的

在這裡就是

就是說，第四種定義是對第一種定義的嚴謹化。

而 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 恰恰就是 一個 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* 張量積，於是第四種定義和第三種定義保持一致。

引入張量的最樸素動機是為了描述具有各向異性特徵物件的不同特性之間的關係。例如，在刻畫各向異性電介質的極化行為時，需要用一組9個極化係數才能完整地表達極化強度與電場強度之間的關係。這一組極化係數就構成了一個2階張量。