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  • 1 # 小飛飛的小朋友

    同角三角函式間的基本關係式:

    ·平方關係:

    sin^2(α)+cos^2(α)=1cos^2a=(1+cos2a)/2

    tan^2(α)+1=sec^2(α)sin^2a=(1-cos2a)/2

    cot^2(α)+1=csc^2(α)

    ·積的關係:

    sinα=tanα*cosα

    cosα=cotα*sinα

    tanα=sinα*secα

    cotα=cosα*cscα

    secα=tanα*cscα

    cscα=secα*cotα

    ·倒數關係:

    tanα·cotα=1

    sinα·cscα=1

    cosα·secα=1

    直角三角形ABC中,

    角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,

    餘弦等於角A的鄰邊比斜邊

    正切等於對邊比鄰邊,

    ·三角函式恆等變形公式

    ·兩角和與差的三角函式:

    cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

    cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

    sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

    ·三角和的三角函式:

    sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

    cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

    tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

    ·輔助角公式:

    Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

    sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

    cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

    tant=B/A

    Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

    ·倍角公式:

    sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

    cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

    tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

    ·三倍角公式:

    sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

    cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

    ·半形公式:

    sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

    cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

    tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

    ·降冪公式

    sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

    cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

    tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

    ·萬能公式:

    sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

    cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

    tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

    ·積化和差公式:

    sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

    cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

    cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

    sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

    ·和差化積公式:

    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    ·推導公式

    tanα+cotα=2/sin2α

    tanα-cotα=-2cot2α

    1+cos2α=2cos^2α

    1-cos2α=2sin^2α

    1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

    ·其他:

    sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

    cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

    sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

    tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

    cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

    證明:

    左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

    =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx(積化和差)

    =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

    等式得證

    sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

    證明:

    左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

    =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

    =-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊

    等式得證

    編輯本段三角函式的角度換算

    公式一:

    設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:

    sin(2kπ+α)=sinα

    cos(2kπ+α)=cosα

    tan(2kπ+α)=tanα

    cot(2kπ+α)=cotα

    公式二:

    設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:

    sin(π+α)=-sinα

    cos(π+α)=-cosα

    tan(π+α)=tanα

    cot(π+α)=cotα

    公式三:

    任意角α與-α的三角函式值之間的關係:

    sin(-α)=-sinα

    cos(-α)=cosα

    tan(-α)=-tanα

    cot(-α)=-cotα

    公式四:

    利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:

    sin(π-α)=sinα

    cos(π-α)=-cosα

    tan(π-α)=-tanα

    cot(π-α)=-cotα

    公式五:

    利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:

    sin(2π-α)=-sinα

    cos(2π-α)=cosα

    tan(2π-α)=-tanα

    cot(2π-α)=-cotα

    公式六:

    π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:

    sin(π/2+α)=cosα

    cos(π/2+α)=-sinα

    tan(π/2+α)=-cotα

    cot(π/2+α)=-tanα

    sin(π/2-α)=cosα

    cos(π/2-α)=sinα

    tan(π/2-α)=cotα

    cot(π/2-α)=tanα

    sin(3π/2+α)=-cosα

    cos(3π/2+α)=sinα

    tan(3π/2+α)=-cotα

    cot(3π/2+α)=-tanα

    sin(3π/2-α)=-cosα

    cos(3π/2-α)=-sinα

    tan(3π/2-α)=cotα

    cot(3π/2-α)=tanα

    (以上k∈Z)

    編輯本段正餘弦定理

    正弦定理是指在一個三角形中,各邊和它所對的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

    餘弦定理是指三角形中任何一邊的平方等於其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bccosA

    編輯本段部分高等內容

    ·高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):

    sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

    cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

    tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

    泰勒展開有無窮級數,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

    此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。

    ·三角函式作為微分方程的解:

    對於微分方程組y=-y"";y=y"""",有通解Q,可證明

    Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。

    補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。

    編輯本段特殊三角函式值

    a0`30`45`60`90`

    sina01/2√2/2√3/21

    cosa1√3/2√2/21/20

    tana0√3/31√3None

    cotaNone√31√3/30

    編輯本段三角函式的計算

    冪級數

    c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

    c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

    它們的各項都是正整數冪的冪函式,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數,這種級數稱為冪級數.

    泰勒展開式(冪級數展開法):

    f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

    實用冪級數:

    ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

    ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

    sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

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