費馬(Fermat，1601．8．17一1665．1．12)是法國數學家，生於法國南部圖盧茲(Toulouse)附近的波蒙"德"羅曼(Beaumont-de-Lomagne)。他的父親多米尼客“費馬在當地開了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產業．使得費馬從小生活在富裕舒適的環境中。父親由於富有和經營有道，頗受人們尊敬，並因此而獲得了地方事務顧問的頭銜。但費馬小時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。費馬的母親名叫克拉萊"德"羅格，出身穿袍貴族。多米尼客的大富與羅格的大貴構築了費馬極富貴的身價。

費馬小時候就教於他叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時，費馬才進入波蒙一德一羅曼公學。畢業後先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。17世紀的法國，男子最講究的職業是當律師，因此，男子學習法律成為時髦，也使人敬羨。

有趣的是，法國為那些有產的而缺少資歷的“準律師”儘快成為律師創造了很好的條件。1523年，佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關，名叫“bureau des parties casuellcs”，公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生，便應時代的需要而一發不可收拾，且彌留今日。鬻賣官職，一方面迎合了那些富有者，使其獲得官位從而提高社會地位，另一方面也常使政府的財政狀況得以好轉。因此，到了17世紀，除了宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日，法院的書記官、公證人、傳達人等職務，仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產，使許多中產階級從中受惠。費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業，便在波蒙"德"羅曼買好了“律師”和“參議員”的職位。等到費馬畢業返回家鄉以後，他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員，時值1631年。

儘管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職，而且逐年得到提升。但是據記載，費馬沒有什麼政績，應付官場的能力極普通，也談不上領導才能。不過，費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了7年的地方議會議員之後，費馬升任丁調查參議員。這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。1642年，有一位權威人士叫勃里斯亞斯，他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭。這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年，費馬升任議會首席發言人。以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道，不過，費馬從不利用職權向人們勒索，從不受賄，為人敦厚，公開廉明，贏得了人們的信任和稱讚。

費馬的婚姻使費馬一躍而躋身於穿袍貴族的行列。費馬娶了他的舅表妹露伊絲"德"羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬，如今乾脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標誌“de”。費馬生有三女二男，除了大女兒克拉萊出嫁之外，四個子女都使費馬而感到體面。兩個女兒當牧師，次子當上了菲瑪雷斯的副主教。尤其是長子克萊曼特"薩摩爾，他不僅繼承了費馬的公職，在1665年當上了律師，而且還整理了費馬的數學論著。如果不是費馬長子積極出版費馬的數學論著，很難說，費馬能對數學產生如此重大的影響，因為大部分論文都是在費馬死後，由其長子負責發表的。從這個意義上說，薩摩爾也稱得上是費馬事業上的繼承人。

對費馬來說，真正的事業是學術，尤其是數學。費馬通曉法語、義大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語；而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利，使他有能力學習和了解阿拉伯和義大利的代數以及古希臘的數學。如此這些，可能為費馬在數學上的造詣莫定了良好基礎。在數學上，費馬不僅可以在數學王國裡自由馳騁，而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。這也不能絕對歸於他的數學天賦，與他的博學多才多少也是有關係的。

費馬生性內向，謙抑好靜。不善推銷自己，不善展示自我。因此他生前極少發表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版。他發表的一些文章，也總是隱姓埋名。《數學論集》(Varia OPera mathematica)還是費馬去世後，由其長子將其筆記、批註及書信整理成書而出版的。我們現在早就認識到時間性對於科學的重要，即使在l7世紀，這個問題也是突出的。費馬的數學研究成果不愛及時發表，得不到傳播和發展，並不是個人的名譽損失，而是影響了那個時代的數學前進的步伐。

費馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過，費馬開始感到身體有變，因此於1月l0日停職。第三天，費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯(Castres)公墓。後來，改葬在圖盧茲的家族墓地中。

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵6他是解析幾何的發明者之一；微積分的成就僅次於牛頓、萊布尼茨(G"W"Leibniz)的締造者，機率論的主要創始人，以及獨承17世紀數論天地的人。費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大才，費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。

17世紀伊始，就預示了一個頗為壯觀的數學前景。而事實上，這個世紀也正是數學史上一個輝煌的時代。幾何學首先成了這一時代最引入注目的引玉之明珠。由於幾何學的新方法——代數方法在幾何學上的應用，直接導致瞭解析幾何的誕生；射影幾何作為一種嶄新的方法開闢了新的領域；由古代的求積問題導致的極微分割方法引入幾何學，使幾何學產生了新的研究方向，並最終促進了微積分的發明。幾何學的重新崛起是與一代勤于思考、富於創造的數學家是分不開的。費馬就是其中的一位。

(一)對解析幾何的貢獻

費馬獨立於笛卡兒(R．Descartes)發現瞭解析幾何的基本原理。

1629年以前，費馬便著手重寫公元前3世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯(APollonius)失傳的《平面軌跡》。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古希臘幾何學、尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有8頁的論文《平面與立體軌跡引論》(Introdnction anx Lieux PLanes es Selides，“立體軌跡”指不能用尺規作出的曲線，和現代的用法不同)。費馬於1636年與大數學家梅森(M．Mersenne)、羅貝瓦爾(G．P．RobervaI)開始通訊，對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事，因而1679年以前，很少有人瞭解到費馬的工作。而費馬的工作卻是開創性的。

《平面與立體軌跡引論》中，道出了費馬的發現。他指出：“兩個未知量決定的—個方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費馬的發現比笛卡爾發現解析幾何基本原理(1637)還早7年。費馬對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。

笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發來研究軌跡的。這正是解析幾何的基本原則的兩個相反的方面。

在1643年的一封信裡，費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面。指出：含有三個未知量的方程表示一個曲面，並對此做了進一步地研究。

(二)對微積分的貢獻

16、17世紀，微積分是繼解析幾何之後的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，並且在其之前，至少有數十位科學家為微積分的發明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中，費馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示，以致於在微積分領域，在牛頓和萊布尼茨之後再加上費馬作為創立者，也會得到數學界的認可。

曲線的切線問題和函式的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時期。阿基米德(Archimedes)為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙，後來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由於開普勒在探索行星運動規律時，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。儘管這種方法並不完善，但卻為自卡瓦列裡(B．cavalieri)到費馬以來的數學家開闢廠一個十分廣闊的思考空間。

費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。

(三)對機率論的貢獻

早在古希臘時期，偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論，但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期，義大利出現了卡爾達諾(G．cardano)等數學家研究骰子中的博弈機會，在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀，法國的帕斯卡(B．Psscal)和費馬研究了義大利的帕喬裡(L.Pacioli)的著作《摘要》，建立了通訊聯絡，從而建立了機率學的基礎。

費馬考慮到4次賭博可能的結局有2"2"2"2＝16種，除了一種結局即4次賭博都讓對手贏。其餘情況都是第一個賭徒獲勝。費馬此時還沒有使用機率一詞，但他卻得出了使第一個賭徒贏得機率是l 5／16，即有利情形數與所有可能情形數的比。在此很自然地假定所有的情形都為可能。這個條件在組合問題中一般均能滿足，例如紙牌遊戲，擲銀子和從罐子裡模球。其實，這項研究為機率的數學模型一機率空間的抽象奠定了博弈基礎、儘管這種總結是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。

費馬和怕斯卡在相互通訊中以及著作中建立了機率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的：在一個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一箇中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論：一個博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多4次就能決定勝負。

一般機率空間的概念，是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看，有限機率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。

(四)對數論的貢獻

17世紀初，歐洲流傳著公元3世紀古希臘數學家丟番圖(Diophantus)所寫的《算術》一書。l621年費馬在巴黎買到此書，他利用業餘時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數範圍內，從而開始了數論這門數學分支。

費馬在數論領域中的成果是巨大的，其中主要有：

(1)全部素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。

(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。

(3)沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和。

(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。

(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。

(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和；5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數之和，以此類推，直至無窮。

（五）對光學的貢獻

費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後，這個定律逐漸被擴充套件成自然法則，並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的“大自然以最短捷的可能途徑行動”的結論最終得出來，並影響了費馬。費馬的高明之處則在於變這種的哲學的觀念為科學理論。

費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時，其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是尤拉(L．Euler)，競用變分法技巧把這個原理用於求函式的極值。這直接導致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個質點而言，其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值；即對該質點所取的實際路徑來說，必須是極大或極小。