數學中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦稱向量）。　　注：線上性代數中的向量是指n個實陣列成的有序陣列，稱為n維向量。α=（a1，a2，…，an）稱為n維向量.其中ai稱為向量α的第i個分量。　　（"a1"的"1"為a的下標，"ai"的"i"為a的下標,其他類推）。　　在c++中，也有向量。

1、代數表示：一般印刷用黑體小寫字母α、β、γ…或a、b、c…等來表示，手寫用在a、b、c…等字母上加一箭頭表示。

　　2、幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。（若規定線段ab的端點a為起點，b為終點，則線段就具有了從起點a到終點b的方向和長度。這種具有方向和長度的線段叫做有向線段。）

　　3、座標表示：

　　1)在平面直角座標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為一組基底。a為平面直角座標系內的任意向量，以座標原點o為起點作向量op=a。由平面向量基本定理知，有且只有一對實數（x，y），使得a=向量op=xi+yj，因此把實數對（x，y）叫做向量a的座標，記作a=（x，y）。這就是向量a的座標表示。其中（x，y）就是點p的座標。向量op稱為點p的位置向量。

　　2)在立體三維座標系中,分別取與x軸、y軸,z軸方向相同的3個單位向量i，j,k作為一組基底。若a為該座標系內的任意向量，以座標原點o為起點作向量op=a。由空間基本定理知，有且只有一組實數（x，y,z），使得a=向量op=xi+yj+zk，因此把實數對（x，y,k）叫做向量a的座標，記作a=（x，y,z）。這就是向量a的座標表示。其中（x，y,k）,也就是點p的座標。向量op稱為點p的位置向量。

　　3)當然,對於空間多維向量,可以透過類推得到,此略.

向量的模和向量的數量　　向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)。向量a的模記作|a|。

　　注：

　　1、向量的模是非負實數，是可以比較大小的。

　　2、因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對於向量來說“大於”和“小於”的概念是沒有意義的。例如，“向量ab>向量cd”是沒有意義的。

編輯本段各種向量單位向量

　　長度為單位1的向量，叫做單位向量．與向量a同向且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a|。

零向量

　　長度為0的向量叫做零向量，記作0．零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的。

相等向量

　　長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．

　　規定：所有的零向量都相等．

　　當用有向線段表示向量時，起點可以任意選取。任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關．同向且等長的有向線段都表示同一向量。

自由向量

　　始點不固定的向量，它可以任意的平行移動，而且移動後的向量仍然代表原來的向量。

　　在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個向量。

　　數學中只研究自由向量。

滑動向量

　　沿著直線作用的向量稱為滑動向量。

固定向量

　　作用於一點的向量稱為固定向量（亦稱膠著向量）。

位置向量

　　對於座標平面內的任意一點p，我們把向量op叫做點p的位置向量，記作：向量p。

方向向量

　　直線l上的向量a以及與向量a共線的向量叫做直線l上的方向向量

相反向量

　　與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a。有-（-a）=a；

　　零向量的相反向量仍是零向量。

平行向量

　　方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量．向量a、b平行（共線），記作a∥b．

　　零向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，我們規定：零向量與任一向量平行．

　　平行於同一直線的一組向量是共線向量。若a=(x,y)b=(m，n)。

　　a//b=>a·b=xn-ym=0

共面向量

　　平行於同一平面的三個（或多於三個）向量叫做共面向量。

　　空間中的向量有且只有以下兩種位置關係：⑴共面；⑵不共面。

　　只有三個或三個以上向量才談共面不共面。

法向量

　　直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量。

編輯本段向量的運算

　　設a=（x，y），b=(x"，y")。

1、向量的加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

　　ab+bc=ac。

　　a+b=(x+x"，y+y")。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a；

　　結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

　　ab-ac=cb.即“共同起點，指向被減”

　　a=(x,y)b=(x",y")則a-b=(x-x",y-y").

3、數乘向量

　　實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

　　當λ＞0時，λa與a同方向；

　　當λ＜0時，λa與a反方向；

　　當λ=0時，λa=0，方向任意。

　　當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。

　　注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。

　　實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

　　當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

　　當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

　　數與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　數乘向量的消去律：①如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。②如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。

4、向量的數量積

　　定義：已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

　　定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的數量積的座標表示：a·b=x·x"+y·y"。

　　向量的數量積的運算律

　　a·b=b·a（交換律）；

　　(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；

　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

　　向量的數量積的性質

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

　　向量的數量積與實數運算的主要不同點

　　1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

　　2、向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

　　3、|a·b|≠|a|·|b|

　　4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量積

　　定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡並不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=|a||b|。

　　向量的向量積性質：

　　∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

　　a×a=0。

　　a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

　　向量的向量積運算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　a×（b+c）=a×b+a×c.

　　注：向量沒有除法，“向量ab/向量cd”是沒有意義的。

6、三向量的混合積

　　定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

　　混合積具有下列性質：

　　1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為稜的平行六面體的體積v，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εv（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）

　　2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0

　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

　　4、(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量積

　　由於二重向量叉乘的計算較為複雜，於是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：

向量的三角形不等式　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；

　　②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；

　　②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

編輯本段定比分點

　　定比分點公式（向量p1p=λ·向量pp2）

　　設p1、p2是直線上的兩點，p是l上不同於p1、p2的任意一點。則存在一個任意實數λ且λ不等於-1，使向量p1p=λ·向量pp2，λ叫做點p分有向線段p1p2所成的比。

　　若p1（x1,y1)，p2(x2,y2)，p(x,y)，則有

　　op=(op1+λop2)/(1+λ)；（定比分點向量公式）

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點座標公式）

　　我們把上面的式子叫做有向線段p1p2的定比分點公式

　　三點共線定理

　　若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,則a、b、c三點共線

　　三角形重心判斷式

　　在△abc中，若ga+gb+gc=o,則g為△abc的重心

編輯本段其他向量共線的條件

　　若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。

　　若設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。

　　零向量0平行於任何向量。

向量垂直的充要條件

　　a⊥b的充要條件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

　　零向量0垂直於任何向量.

　　平面向量的分解定理

　　平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一組基．