5世紀至12世紀，是印度數學發展的鼎盛時期。這一時期最有代表性的印度數學家，除阿耶波多外，還有婆羅摩笈多、馬哈維拉、婆什迦羅。在上面我們已經介紹了阿耶波多，在這一章我們簡單介紹一下婆羅摩笈多與婆什迦羅。
婆羅摩笈多（約598～670），古印度最著名的數學家、天文學家之一。
大約在598年，婆羅摩笈多出生於印度北部。後來他一生的大部分研究生涯都在當時印度數學、天文學活動中心之一的烏賈因度過。628年，大約30歲的婆羅摩笈多完成了其主要著作《婆羅摩修正體系》。這本書也是以當時印度最傳統、最常見的詩體形式編排的。全書共24章，大多數章節是關於天文學研究的，但在其中涉及數學知識。專論數學的有兩章（第12章“算術”與第18章“代數”）。
婆羅摩笈多的這一著作問世後，許多學者對其進行過研究。8世紀時，婆羅摩笈多的這本著作又被帶到巴格達，在皇室的支援下譯成阿拉伯文，對當時阿拉伯的天文學和數學產生了很大影響。比如印度的十進位制記數法就是透過此書而被阿拉伯世界所瞭解並接受的，而且據傳花拉子密的《代數學》一書也是根據婆羅摩笈多的著作寫成的。
在這本著作中，婆羅摩笈多作出了許多重要數學貢獻，其中許多在世界數學史上有較高的地位。如：比較完整地敘述了零的運演算法則；在印度最早認識負數概念，用負數表示欠債，提出了負數的四則運演算法則，其中負數的乘除法則是歷史上第一次提出；給出二次方程的求根公式；在數學符號方面，用不同顏色名稱的頭一個音節表示未知數……在三角學與幾何學，特別是不定方程方面婆羅摩笈多也有令人矚目的發現。
在不定方程方面，婆羅摩笈多對阿耶波多研究過的一次不定方程ax±by=c做了進一步探討，並將結果推廣到聯立不定方程及多個未知量的情形。但他更突出的貢獻是他在歷史上最早研究了佩爾方程，並得到許多結果。有意思的是，為了表示解這類方程在他心目中的重要，他曾向他同時代的人提出挑戰，讓他們找出方程92x2+1=y2的最小整數解。他聲稱，只能那些能在一年之內解決這個問題的人才有資格稱為數學家。
現在一般認為，對佩爾方程的研究是婆羅摩笈多在數學上取得的最重要成就。下面，我們就以他提出的挑戰問題為例來介紹一下他這方面所做的工作。
求解婆羅摩笈多方程：92x2+1=y2。婆羅摩笈多的解法如下：
第一步，先求解一個與所求方程相關的，但更易求解的不定方程92x2+b0=y2，設這一新方程的解為（x0，y0）。顯然，可選取b0=8，即92x2+8=y2，而這一新方程有一個非常顯然的特解：x0=1，y0=10。
第二步，求即92x2+64=y2的一個特解。為此，需要藉助於最早由婆羅摩笈多發現的一個命題。
命題1 如果α、β是方程Nx2+k=y2的解，且α′、β′是方程Nx2+k′=y2的解。那麼x=αβ′+α′β，y=Nαα′+ββ′是新方程Nx2+kk′=y2的解。
這一結果被稱為婆羅摩笈多引理。在18世紀，這一結果又被尤拉（1764）、拉格朗日（1765）重新發現。下面考慮這一引理的一種特殊情況：若α、β是方程Nx2+k=y2的解，那麼x=2αβ，y=Nα2+β2是Nx2+k2=y2的解，這一結論稱為婆羅摩笈多推論。把婆羅摩笈多推論應用於上面的具體例子。
因為x0=1，y0=10是92x2+8=y2的一個解，於是可得到92x2+64=y2的一個特解2x0y0=2·1·10=20，。
第三步，因為（20，192）是92x2+64=y2的一個特解，即92（20）2+82=1922。方程兩邊同除以82，於是得到92（20/8）2+12=（192/8）2，這一式子意味著（20/8=5/2，192/8=24）是方程92x2+1=y2的一個解。
事實上，一般的有如下命題。
命題2 如果α、β是方程Nx2±k2=y2的解，則（α/k，β/k）是Nx2±1=y2的解。
然而，由此得到的解並不一定是整數解，因此可能不滿足我們的要求。如上面得到的解中的5/2不是整數。
第四步，由（5/2，24）是方程92x2+1=y2的一個解，可得（5，48）是方程92x2+4=y2的一個解。為了進而找到92x2+1=y2的一個整數解，需要藉助婆羅摩笈多的另一個命題。
命題3 如果α、β是方程Nx2+4=y2的解，則x=1/2αβ，y=1/2（β2-2）是Nx2+1=y2的解。
應用這一命題，我們最終得到婆羅摩笈多方程的求解結果：
x=1/2·5·48=120，y=1/2（482-2）=1151是92x2+1=y2的一個特解。
在介紹了婆羅摩笈多關於特殊方程92x2+1=y2的求解之後，下面我們再對他的解題思路作一總結與補充。
第一步，選擇適當的整數k，並得到Nx2+k=y2的一個特解（α，β）。第二步，利用命題1的結論，得到Nx2+k2=y2的一個特解（2αβ，Nα2+β2）。第三步，利用命題2的結論，得到Nx2
+1=y2的一個解。
最好的情況，至此得到的解中的值都已是整數，則原方程Nx2+1=y2的整數解已直接求得，而且這種求解過程具有一般性。對任何佩爾方程都適用。但問題是，如果解中的值不都是整數，怎麼處理？
對此，婆羅摩笈多得到了部分結果。他指出，如果Nx2±2=y2，或Nx2±4=y2這兩種形式的方程有整數解，那麼一定可以找到Nx2±1=y2的整數解。
若k=2，Nx2+k=y2的一個特解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解為。注意，因為此時，恰都為整數。這表明，只要找到Nx2+2=y2的一個特解（α，β），那麼我們馬上就可以得到Nx2+1=y2的一個特解（αβ，β2-1）。
若k=-2，情況與上面完全類似。
若k=4，Nx2+4=y2的一個整數解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解為。
此時。
若β為偶數，那麼x, y恰都為整數，於是x=1/2αβ，y=1/2（β2-2）已是Nx2+1=y2的解。上面所舉的婆羅摩笈多方程正屬於這種情況。
若β為奇數，則x, y都不是整數，對此可做如下處理：因為（α，β）是Nx2+4=y2的一個特解，那麼是Nx2+1=y2的一個特解。又已是Nx2+1=y2的一個特解，於是應用婆羅摩笈多引理，可得：
也是Nx2+1=y2的解。因為β為奇數，易知此時的x, y恰都為整數。這一結果是上述婆羅摩笈多命題3的補充。
設Nx2-4=y2的一個整數解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解。此時。顯然，這一解中的x也可換作αβ/2。
若β為偶數，那麼x, y恰都為整數，於是x=-1/2αβ，y=1/2（β2+2）已是Nx2+1=y2的解。若β為奇數，則x, y都不是整數，我們做如下處理：因為（α，β）是Nx2-4=y2的一個特解，那麼（α/2，β/2）是Nx2-1=y2的一個特解。又x=1/2αβ，y=1/2（β2+2）也是Nx2+1=y2的根，應用婆羅摩笈多引理，可得：
也是Nx2-1=y2的解。為了得到
Nx2+1=y2的解，對此結果再應用一次婆羅摩笈多引理，並以整理則可得到：
是Nx2+1=y2的解。由β為奇數，易知此時的x, y恰都為整數。
於是，我們得到了婆羅摩笈多關於佩爾方程研究的命題4：如果α、β是方程Nx2-4=y2的解，則是Nx2+1=y2的解。
5世紀至12世紀，是印度數學發展的鼎盛時期。這一時期最有代表性的印度數學家，除阿耶波多外，還有婆羅摩笈多、馬哈維拉、婆什迦羅。在上面我們已經介紹了阿耶波多，在這一章我們簡單介紹一下婆羅摩笈多與婆什迦羅。
婆羅摩笈多（約598～670），古印度最著名的數學家、天文學家之一。
大約在598年，婆羅摩笈多出生於印度北部。後來他一生的大部分研究生涯都在當時印度數學、天文學活動中心之一的烏賈因度過。628年，大約30歲的婆羅摩笈多完成了其主要著作《婆羅摩修正體系》。這本書也是以當時印度最傳統、最常見的詩體形式編排的。全書共24章，大多數章節是關於天文學研究的，但在其中涉及數學知識。專論數學的有兩章（第12章“算術”與第18章“代數”）。
婆羅摩笈多的這一著作問世後，許多學者對其進行過研究。8世紀時，婆羅摩笈多的這本著作又被帶到巴格達，在皇室的支援下譯成阿拉伯文，對當時阿拉伯的天文學和數學產生了很大影響。比如印度的十進位制記數法就是透過此書而被阿拉伯世界所瞭解並接受的，而且據傳花拉子密的《代數學》一書也是根據婆羅摩笈多的著作寫成的。
在這本著作中，婆羅摩笈多作出了許多重要數學貢獻，其中許多在世界數學史上有較高的地位。如：比較完整地敘述了零的運演算法則；在印度最早認識負數概念，用負數表示欠債，提出了負數的四則運演算法則，其中負數的乘除法則是歷史上第一次提出；給出二次方程的求根公式；在數學符號方面，用不同顏色名稱的頭一個音節表示未知數……在三角學與幾何學，特別是不定方程方面婆羅摩笈多也有令人矚目的發現。
在不定方程方面，婆羅摩笈多對阿耶波多研究過的一次不定方程ax±by=c做了進一步探討，並將結果推廣到聯立不定方程及多個未知量的情形。但他更突出的貢獻是他在歷史上最早研究了佩爾方程，並得到許多結果。有意思的是，為了表示解這類方程在他心目中的重要，他曾向他同時代的人提出挑戰，讓他們找出方程92x2+1=y2的最小整數解。他聲稱，只能那些能在一年之內解決這個問題的人才有資格稱為數學家。
現在一般認為，對佩爾方程的研究是婆羅摩笈多在數學上取得的最重要成就。下面，我們就以他提出的挑戰問題為例來介紹一下他這方面所做的工作。
求解婆羅摩笈多方程：92x2+1=y2。婆羅摩笈多的解法如下：
第一步，先求解一個與所求方程相關的，但更易求解的不定方程92x2+b0=y2，設這一新方程的解為（x0，y0）。顯然，可選取b0=8，即92x2+8=y2，而這一新方程有一個非常顯然的特解：x0=1，y0=10。
第二步，求即92x2+64=y2的一個特解。為此，需要藉助於最早由婆羅摩笈多發現的一個命題。
命題1 如果α、β是方程Nx2+k=y2的解，且α′、β′是方程Nx2+k′=y2的解。那麼x=αβ′+α′β，y=Nαα′+ββ′是新方程Nx2+kk′=y2的解。
這一結果被稱為婆羅摩笈多引理。在18世紀，這一結果又被尤拉（1764）、拉格朗日（1765）重新發現。下面考慮這一引理的一種特殊情況：若α、β是方程Nx2+k=y2的解，那麼x=2αβ，y=Nα2+β2是Nx2+k2=y2的解，這一結論稱為婆羅摩笈多推論。把婆羅摩笈多推論應用於上面的具體例子。
因為x0=1，y0=10是92x2+8=y2的一個解，於是可得到92x2+64=y2的一個特解2x0y0=2·1·10=20，。
第三步，因為（20，192）是92x2+64=y2的一個特解，即92（20）2+82=1922。方程兩邊同除以82，於是得到92（20/8）2+12=（192/8）2，這一式子意味著（20/8=5/2，192/8=24）是方程92x2+1=y2的一個解。
事實上，一般的有如下命題。
命題2 如果α、β是方程Nx2±k2=y2的解，則（α/k，β/k）是Nx2±1=y2的解。
然而，由此得到的解並不一定是整數解，因此可能不滿足我們的要求。如上面得到的解中的5/2不是整數。
第四步，由（5/2，24）是方程92x2+1=y2的一個解，可得（5，48）是方程92x2+4=y2的一個解。為了進而找到92x2+1=y2的一個整數解，需要藉助婆羅摩笈多的另一個命題。
命題3 如果α、β是方程Nx2+4=y2的解，則x=1/2αβ，y=1/2（β2-2）是Nx2+1=y2的解。
應用這一命題，我們最終得到婆羅摩笈多方程的求解結果：
x=1/2·5·48=120，y=1/2（482-2）=1151是92x2+1=y2的一個特解。
在介紹了婆羅摩笈多關於特殊方程92x2+1=y2的求解之後，下面我們再對他的解題思路作一總結與補充。
第一步，選擇適當的整數k，並得到Nx2+k=y2的一個特解（α，β）。第二步，利用命題1的結論，得到Nx2+k2=y2的一個特解（2αβ，Nα2+β2）。第三步，利用命題2的結論，得到Nx2
+1=y2的一個解。
最好的情況，至此得到的解中的值都已是整數，則原方程Nx2+1=y2的整數解已直接求得，而且這種求解過程具有一般性。對任何佩爾方程都適用。但問題是，如果解中的值不都是整數，怎麼處理？
對此，婆羅摩笈多得到了部分結果。他指出，如果Nx2±2=y2，或Nx2±4=y2這兩種形式的方程有整數解，那麼一定可以找到Nx2±1=y2的整數解。
若k=2，Nx2+k=y2的一個特解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解為。注意，因為此時，恰都為整數。這表明，只要找到Nx2+2=y2的一個特解（α，β），那麼我們馬上就可以得到Nx2+1=y2的一個特解（αβ，β2-1）。
若k=-2，情況與上面完全類似。
若k=4，Nx2+4=y2的一個整數解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解為。
此時。
若β為偶數，那麼x, y恰都為整數，於是x=1/2αβ，y=1/2（β2-2）已是Nx2+1=y2的解。上面所舉的婆羅摩笈多方程正屬於這種情況。
若β為奇數，則x, y都不是整數，對此可做如下處理：因為（α，β）是Nx2+4=y2的一個特解，那麼是Nx2+1=y2的一個特解。又已是Nx2+1=y2的一個特解，於是應用婆羅摩笈多引理，可得：
也是Nx2+1=y2的解。因為β為奇數，易知此時的x, y恰都為整數。這一結果是上述婆羅摩笈多命題3的補充。
設Nx2-4=y2的一個整數解為（α，β），那麼應用上面的結論，Nx2+1=y2的一個解。此時。顯然，這一解中的x也可換作αβ/2。
若β為偶數，那麼x, y恰都為整數，於是x=-1/2αβ，y=1/2（β2+2）已是Nx2+1=y2的解。若β為奇數，則x, y都不是整數，我們做如下處理：因為（α，β）是Nx2-4=y2的一個特解，那麼（α/2，β/2）是Nx2-1=y2的一個特解。又x=1/2αβ，y=1/2（β2+2）也是Nx2+1=y2的根，應用婆羅摩笈多引理，可得：
也是Nx2-1=y2的解。為了得到
Nx2+1=y2的解，對此結果再應用一次婆羅摩笈多引理，並以整理則可得到：
是Nx2+1=y2的解。由β為奇數，易知此時的x, y恰都為整數。
於是，我們得到了婆羅摩笈多關於佩爾方程研究的命題4：如果α、β是方程Nx2-4=y2的解，則是Nx2+1=y2的解。