初等平面幾何
一 公理
1 任意不同的兩點確定透過它們的一條直線。
2 設AB是給定的線段，OX是已知的射線，則在射線OX上有且只有一點C，使得線段OC=AB。
3 幾何圖形可以遷移位置而不改變其形狀和大小。
4 平行公理：透過已知直線外一點至多可引一條直線和已知直線平行。
5 阿基米德公理：給定線段AB>CD, 當用後者去度量前者時，量了若干次後，總會超過前者，或者說，必定存在正整數n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd
二 軸對稱和中心對稱
1 軸對稱：沿某條直線對摺，在直線兩旁的部分完全重合。這條直線叫對稱軸，能重合在一起的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫軸對稱圖形。（如等腰三角形）
性質：對稱點的中垂線即為對稱軸。
2 中心對稱：兩個圖形繞某中心旋轉180°能彼此重合。該點叫對稱中心，能重合的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫中心對稱圖形。（如平行四邊形）
性質：對稱點的中點即為對稱中心。
三 基本概念
1 線段的中垂線和角的平分線
（1）中垂線的性質：
1°中垂線上任一點距線段兩端等遠
2°凡距線段兩端等遠的點都在中垂線上
（2）角平分線的性質：
1°角平分線上的任一點同角的兩邊等距
2°凡在角內同兩邊等距的點都在角平分線上
2視角
（1）線段的視角：自一點發出兩條射線使分別透過一已知線段的兩端，則這兩條射線所成的角，叫做該點對已知線段的視角。
（2）點對圓的視角：自圓外一點向圓所引的兩切線（視為射線），這兩切線的夾角叫做該點對圓的視角。
三 全等三角形
1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大邊邊角)
S.s.a: 兩三角形若有兩邊及其中大邊的對角對應相等，則它們必是全等的。
證：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均為大邊，a=a1, b=b1,且A=A1，則sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互補，但若是互補，那麼
max(B,B1)≥90°,這與b,b1是小邊矛盾，所以B=B1.
注意：小邊邊角不成立。
2 全等直角三角形：
（1）直角邊，直角邊（s.a.s）
（2）斜邊，直角邊(S.s.a)
（3）直角邊，相鄰或相對銳角(a.s.a, a.a.s)
（4）斜邊，銳角(a.a.s)
四 平行線
1存在定理：在一平面上，同垂直於一已知直線的兩條直線互相平行。
2判定定理：兩已知直線被第三條直線所截，若下列條件之一成立，則這兩已知直線互相平行：
1°同位角相等
2°內錯角相等
3°同旁內角互補
3性質定理：若兩直線被第三條直線所截，則所成
推論：（1）若兩條直線垂直於兩條平行線之一，則也垂直於另一條。
（2）相交直線的垂線也相交。
4平行截割定理：
（1）兩條直線被一組平行線所截，如果在一條直線截得的線段相等，那麼在另一條上截得的線段也相等。
如果兩條直線被一組截線各截出相等的線段，而且這組截線中有兩條平行，那麼全組截線都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理）
（2）角平行截割定理：角的兩邊被平行線所截，如果在一邊截得的線段相等，那麼在另一邊截得的線段也相等。
角平行截割定理逆定理：角的兩邊被一組截線各截出相等的線段，那麼全組截線都是互相平行的。
（3）關於比例的平行截割定理：
1°兩條直線被一條平行於第三邊的直線所截，截得的線段必成比例。
2°如果兩條直線被一組截線截出的線段成比例，而且這組截線中有兩條平行，那麼全組截線都是互相平行的。
3°三角形的兩邊被一組平行線所截，截得的線段必成比例。
4°逆定理：如果三角形的兩邊被一條直線截得的線段成比例，那麼這條直線平行於第三邊。
（4）中位線定理
1°三角形任一中位線平行於第三邊且等於該邊的一半。
2°梯形的中位線平行於底邊且等於兩底和的一半。
五 圖形
（一）三角形
1 外角定理：三角形的每個外角大於任一內對角。
2 等腰三角形：四線合一
3 三角形不等定理：
（1）大邊對大角，大角對大邊
（2）三角形中，任一邊小於其它兩邊之和而大於它們的差。
推論：對於任意三點A、B、C，總有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC
（3）若兩個三角形彼此有兩邊對應相等，則
1°夾角大的，對邊較大
2°第三邊大的，對角較大
4 五心
（1）外心：三邊中垂線之交點，也是外接圓之圓心
（2）重心：三邊中線之交點
（3）垂心：三邊高線之交點（與三頂點構成垂心組）
（4）內心：三內角平分線之交點，也是內切圓之圓心
（5）旁心：一內角與另外兩內角之外角的三條角平分線之交點，共有3點，也是旁切圓之圓心
5 內、外角平分線定理：設三角形某角及其外角的平分線同對邊及其延長線相交，則交點分別內分及外分對邊，所得分比等於兩鄰邊之比。（逆定理存在）
6 正三角形：PA≤PB+PC，當P位於其外接圓中A點所對的弧BC時取等號。
（二）平行四邊形
1 定義：兩雙對邊各互相平行的四邊形。
2 性質定理：
1°兩雙對邊各相等
2°兩雙對角各相等
3°兩對角線各互相平分
3 判定定理：四邊形若具有下列條件之一，則必是平行四邊形
4°一雙對邊平行且相等
4 矩形：等角的平行四邊形（兩對角線相等，對邊中點的連線為對稱軸）
菱形：等邊的平行四邊形（兩對角線互相平分，且對角線為對稱軸）
正方形：既是矩形又是菱形的四邊形（4條對稱軸）
（三）梯形
1 定義：有一雙對邊平行的四邊形。
2 等腰梯形：兩腰相等，兩底角相等，對角線相等，以兩底中點的連線為對稱軸。
（四）多邊形
1 內角和：（n-2）*180°,外角和：360°
2 正多邊形：每條邊、每個角都相等的多邊形
（五） 圓
1 對稱性：以圓心為對稱中心，以任一條直徑為對稱軸。
2 不等定理：弧、弦、圓心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR
3 切線定理
（1）圓的切線垂直於過切點的半徑
（2）經過圓半徑外端且垂直於這條半徑的直線，是圓的切線
（3）自圓外一點向圓所引的兩切線等長，且自該點至圓心所引的射線平分該點對圓的視角
（4）公切線定理：兩圓的兩條外公切線等長，兩條內公切線也等長
（5）兩圓相切定理：
1°相切兩圓的切點在連心線上，反之，兩圓過連心線上同一點必然相切
2°兩圓外切的充要條件是OO′= R+R′，內切的充要條件是OO′= ∣R-R′∣
4 圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角
（在一圓中，同弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半）
弦切角：一邊和圓相交，另一邊和圓相切於頂點的角
（圓的弦切角等於它包含的弧所對的圓周角）
圓內角：頂點在圓內的角
（圓的圓內角，等於它本身及其對頂角包含的弧所對的圓周角之和）
圓外角：頂點在圓外而兩邊和圓均有公共點的角
（圓的圓外角，等於它包含的兩弧所對的圓周角之差）
總結：1°同弧所對的：圓內角>圓周角=弦切角>圓外角
2°如果一個角的兩邊和圓均有公共點而且等於圓周角，那麼此角的頂點一定在圓上。
5 圓內接四邊形：對角互補。（逆定理存在）
圓外切四邊形：對邊和相等。（逆定理存在）
6 圓冪定理：已知一圓O，透過一點P任作一割線交圓於A、B，則
p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,這個p′值，叫做P點對於圓O的冪。具體的說，點在圓外冪為正，點在圓內冪為負，點在圓上冪為0
7 四點共圓的判斷：
（1）對角互補的四邊形
（2）兩點對一線段等視角
（3）圓冪定理：PA*PB=PC*PD
六 相似三角形
1 基本定理：平行於三角形的一邊而且和其它兩邊相交的直線，截得的三角形和原三角形相似。
2 判定定理：兩個三角形若具有下列條件之一，則它們必是相似的：
（1）兩雙對應角各相等（a.a）
（2）一雙對應角相等且其夾邊成比例(a.s.a)
（3）三雙對應邊成比例(s.s.s)
（4）兩雙對應邊成比例且其中大邊的對角相等(S.s.a)
3 相似三角形任一雙對應線段（如對應的高、中線、角平分線等）的比都等於相似比。
七 面積
S（平行四邊形）=ah=absinα
S（矩形）=ab
S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2
S（正方形）=a2= (1/2)l2
S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC
S（圓）=πR2
S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2
S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα）
貝利契納德公式：S(四邊形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2
卜拉美古嗒公式：S(圓內接四邊形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s為半周)
海倫公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2
八 基本軌跡：
1 距離兩個已知點等遠的點的軌跡，是這兩點間所連線段的中垂線。
2 在已知角內和兩邊等距的點的軌跡，是這個角的平分線。
3 同兩條平行的已知直線等距的點的軌跡是一條直線，它和這兩條已知直線平行，且同它們等距。
4 到一條已知直線距離為定長的點的軌跡，是在已知直線兩側並和它平行的一雙直線，其中每一條到已知直線的距離都等於定長。
5 到一個定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的一個圓。
6 對於一定線段的視角等於定角的點的軌跡，是以定線段為弦的一雙弓形弧。
7 對於一定線段的視角等於直角的點的軌跡，是以定線段為直徑的一個圓。
九 特別概念
1 尤拉線：三角形的外心、重心、垂心共線
（重心到一邊之距離等於對頂點到垂心距離之一半）
2 牛頓線：完全四邊形三條對角線的中點共線
3 密克點：完全四邊形各邊交成四個三角形，它們的外接圓共點。
4 西摩松線：
（1）某點在三角形三邊或其延長線上的正射影共線的充要條件是某點在三角形的外接圓上。三正射影所在的直線叫做叫做某點對於三角形的西摩松線。
（2）完全四邊形的密克點在四邊上的正射影共線。這直線叫做完全四邊形的西摩松線。
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初等平面幾何
一 公理
1 任意不同的兩點確定透過它們的一條直線。
2 設AB是給定的線段，OX是已知的射線，則在射線OX上有且只有一點C，使得線段OC=AB。
3 幾何圖形可以遷移位置而不改變其形狀和大小。
4 平行公理：透過已知直線外一點至多可引一條直線和已知直線平行。
5 阿基米德公理：給定線段AB>CD, 當用後者去度量前者時，量了若干次後，總會超過前者，或者說，必定存在正整數n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd
二 軸對稱和中心對稱
1 軸對稱：沿某條直線對摺，在直線兩旁的部分完全重合。這條直線叫對稱軸，能重合在一起的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫軸對稱圖形。（如等腰三角形）
性質：對稱點的中垂線即為對稱軸。
2 中心對稱：兩個圖形繞某中心旋轉180°能彼此重合。該點叫對稱中心，能重合的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫中心對稱圖形。（如平行四邊形）
性質：對稱點的中點即為對稱中心。
三 基本概念
1 線段的中垂線和角的平分線
（1）中垂線的性質：
1°中垂線上任一點距線段兩端等遠
2°凡距線段兩端等遠的點都在中垂線上
（2）角平分線的性質：
1°角平分線上的任一點同角的兩邊等距
2°凡在角內同兩邊等距的點都在角平分線上
2視角
（1）線段的視角：自一點發出兩條射線使分別透過一已知線段的兩端，則這兩條射線所成的角，叫做該點對已知線段的視角。
（2）點對圓的視角：自圓外一點向圓所引的兩切線（視為射線），這兩切線的夾角叫做該點對圓的視角。
三 全等三角形
1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大邊邊角)
S.s.a: 兩三角形若有兩邊及其中大邊的對角對應相等，則它們必是全等的。
證：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均為大邊，a=a1, b=b1,且A=A1，則sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互補，但若是互補，那麼
max(B,B1)≥90°,這與b,b1是小邊矛盾，所以B=B1.
注意：小邊邊角不成立。
2 全等直角三角形：
（1）直角邊，直角邊（s.a.s）
（2）斜邊，直角邊(S.s.a)
（3）直角邊，相鄰或相對銳角(a.s.a, a.a.s)
（4）斜邊，銳角(a.a.s)
四 平行線
1存在定理：在一平面上，同垂直於一已知直線的兩條直線互相平行。
2判定定理：兩已知直線被第三條直線所截，若下列條件之一成立，則這兩已知直線互相平行：
1°同位角相等
2°內錯角相等
3°同旁內角互補
3性質定理：若兩直線被第三條直線所截，則所成
1°同位角相等
2°內錯角相等
3°同旁內角互補
推論：（1）若兩條直線垂直於兩條平行線之一，則也垂直於另一條。
（2）相交直線的垂線也相交。
4平行截割定理：
（1）兩條直線被一組平行線所截，如果在一條直線截得的線段相等，那麼在另一條上截得的線段也相等。
如果兩條直線被一組截線各截出相等的線段，而且這組截線中有兩條平行，那麼全組截線都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理）
（2）角平行截割定理：角的兩邊被平行線所截，如果在一邊截得的線段相等，那麼在另一邊截得的線段也相等。
角平行截割定理逆定理：角的兩邊被一組截線各截出相等的線段，那麼全組截線都是互相平行的。
（3）關於比例的平行截割定理：
1°兩條直線被一條平行於第三邊的直線所截，截得的線段必成比例。
2°如果兩條直線被一組截線截出的線段成比例，而且這組截線中有兩條平行，那麼全組截線都是互相平行的。
3°三角形的兩邊被一組平行線所截，截得的線段必成比例。
4°逆定理：如果三角形的兩邊被一條直線截得的線段成比例，那麼這條直線平行於第三邊。
（4）中位線定理
1°三角形任一中位線平行於第三邊且等於該邊的一半。
2°梯形的中位線平行於底邊且等於兩底和的一半。
五 圖形
（一）三角形
1 外角定理：三角形的每個外角大於任一內對角。
2 等腰三角形：四線合一
3 三角形不等定理：
（1）大邊對大角，大角對大邊
（2）三角形中，任一邊小於其它兩邊之和而大於它們的差。
推論：對於任意三點A、B、C，總有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC
（3）若兩個三角形彼此有兩邊對應相等，則
1°夾角大的，對邊較大
2°第三邊大的，對角較大
4 五心
（1）外心：三邊中垂線之交點，也是外接圓之圓心
（2）重心：三邊中線之交點
（3）垂心：三邊高線之交點（與三頂點構成垂心組）
（4）內心：三內角平分線之交點，也是內切圓之圓心
（5）旁心：一內角與另外兩內角之外角的三條角平分線之交點，共有3點，也是旁切圓之圓心
5 內、外角平分線定理：設三角形某角及其外角的平分線同對邊及其延長線相交，則交點分別內分及外分對邊，所得分比等於兩鄰邊之比。（逆定理存在）
6 正三角形：PA≤PB+PC，當P位於其外接圓中A點所對的弧BC時取等號。
（二）平行四邊形
1 定義：兩雙對邊各互相平行的四邊形。
2 性質定理：
1°兩雙對邊各相等
2°兩雙對角各相等
3°兩對角線各互相平分
3 判定定理：四邊形若具有下列條件之一，則必是平行四邊形
1°兩雙對邊各相等
2°兩雙對角各相等
3°兩對角線各互相平分
4°一雙對邊平行且相等
4 矩形：等角的平行四邊形（兩對角線相等，對邊中點的連線為對稱軸）
菱形：等邊的平行四邊形（兩對角線互相平分，且對角線為對稱軸）
正方形：既是矩形又是菱形的四邊形（4條對稱軸）
（三）梯形
1 定義：有一雙對邊平行的四邊形。
2 等腰梯形：兩腰相等，兩底角相等，對角線相等，以兩底中點的連線為對稱軸。
（四）多邊形
1 內角和：（n-2）*180°,外角和：360°
2 正多邊形：每條邊、每個角都相等的多邊形
（五） 圓
1 對稱性：以圓心為對稱中心，以任一條直徑為對稱軸。
2 不等定理：弧、弦、圓心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR
3 切線定理
（1）圓的切線垂直於過切點的半徑
（2）經過圓半徑外端且垂直於這條半徑的直線，是圓的切線
（3）自圓外一點向圓所引的兩切線等長，且自該點至圓心所引的射線平分該點對圓的視角
（4）公切線定理：兩圓的兩條外公切線等長，兩條內公切線也等長
（5）兩圓相切定理：
1°相切兩圓的切點在連心線上，反之，兩圓過連心線上同一點必然相切
2°兩圓外切的充要條件是OO′= R+R′，內切的充要條件是OO′= ∣R-R′∣
4 圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角
（在一圓中，同弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半）
弦切角：一邊和圓相交，另一邊和圓相切於頂點的角
（圓的弦切角等於它包含的弧所對的圓周角）
圓內角：頂點在圓內的角
（圓的圓內角，等於它本身及其對頂角包含的弧所對的圓周角之和）
圓外角：頂點在圓外而兩邊和圓均有公共點的角
（圓的圓外角，等於它包含的兩弧所對的圓周角之差）
總結：1°同弧所對的：圓內角>圓周角=弦切角>圓外角
2°如果一個角的兩邊和圓均有公共點而且等於圓周角，那麼此角的頂點一定在圓上。
5 圓內接四邊形：對角互補。（逆定理存在）
圓外切四邊形：對邊和相等。（逆定理存在）
6 圓冪定理：已知一圓O，透過一點P任作一割線交圓於A、B，則
p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,這個p′值，叫做P點對於圓O的冪。具體的說，點在圓外冪為正，點在圓內冪為負，點在圓上冪為0
7 四點共圓的判斷：
（1）對角互補的四邊形
（2）兩點對一線段等視角
（3）圓冪定理：PA*PB=PC*PD
六 相似三角形
1 基本定理：平行於三角形的一邊而且和其它兩邊相交的直線，截得的三角形和原三角形相似。
2 判定定理：兩個三角形若具有下列條件之一，則它們必是相似的：
（1）兩雙對應角各相等（a.a）
（2）一雙對應角相等且其夾邊成比例(a.s.a)
（3）三雙對應邊成比例(s.s.s)
（4）兩雙對應邊成比例且其中大邊的對角相等(S.s.a)
3 相似三角形任一雙對應線段（如對應的高、中線、角平分線等）的比都等於相似比。
七 面積
S（平行四邊形）=ah=absinα
S（矩形）=ab
S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2
S（正方形）=a2= (1/2)l2
S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC
S（圓）=πR2
S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2
S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα）
貝利契納德公式：S(四邊形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2
卜拉美古嗒公式：S(圓內接四邊形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s為半周)
海倫公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2
八 基本軌跡：
1 距離兩個已知點等遠的點的軌跡，是這兩點間所連線段的中垂線。
2 在已知角內和兩邊等距的點的軌跡，是這個角的平分線。
3 同兩條平行的已知直線等距的點的軌跡是一條直線，它和這兩條已知直線平行，且同它們等距。
4 到一條已知直線距離為定長的點的軌跡，是在已知直線兩側並和它平行的一雙直線，其中每一條到已知直線的距離都等於定長。
5 到一個定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的一個圓。
6 對於一定線段的視角等於定角的點的軌跡，是以定線段為弦的一雙弓形弧。
7 對於一定線段的視角等於直角的點的軌跡，是以定線段為直徑的一個圓。
九 特別概念
1 尤拉線：三角形的外心、重心、垂心共線
（重心到一邊之距離等於對頂點到垂心距離之一半）
2 牛頓線：完全四邊形三條對角線的中點共線
3 密克點：完全四邊形各邊交成四個三角形，它們的外接圓共點。
4 西摩松線：
（1）某點在三角形三邊或其延長線上的正射影共線的充要條件是某點在三角形的外接圓上。三正射影所在的直線叫做叫做某點對於三角形的西摩松線。
（2）完全四邊形的密克點在四邊上的正射影共線。這直線叫做完全四邊形的西摩松線。
既然都喜歡數學 就一起加油