一次函式的解題技巧

一次函式是初中數學最重要的內容之一，它的知識結構體系非常豐富，在具體的解題過程中會運用到許多重要的思想方法：如數形結合思想，函式思想，轉化和化歸的思想，綜合運用思想等，掌握一次函式的解題技巧，可以提高同學們的學習效率。

一：數形結合思想

例1 如圖，

直線y=ax+b經過點A（-1，-2）和B（-2，0），直線y=2x過點A，則不等式的解集是為：（ ）

A.x<-2 B.-2<x<-1 C.-2<x<0 D.-1<x<0

分析：根據不等式2x＜kx+b＜0體現的幾何意義得到：直線y=kx+b上，點在點A與點B之間的橫座標的範圍．

解答：

解：不等式2x＜kx+b＜0體現的幾何意義就是直線y=kx+b上，位於直線y=2x上方，x軸下方的那部分點，顯然，這些點在點A與點B之間．

故選B．

點評：

本題考查了一次函式與不等式（組）的關係及數形結合思想的應用．解決此類問題關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關鍵點（交點、原點等），做到數形結合．

練習1：

直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x+c在同一平面直角座標系中的圖象如圖所示，則關於x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集為（ ）

A．

x＞1

B．

x＜1

C．

x＞﹣2

D．

x＜﹣2

練習2：

如圖，L甲、L乙分別是甲、乙兩彈簧的長ycm與所掛物體質量xkg之間函式關係的圖象，設甲彈簧每掛1kg物體伸長的長度為k甲cm，乙彈簧每掛1kg物體伸長的長度為k乙cm，則k甲與k乙的關係是（ ）

A．k甲＞k乙 B．k甲=k乙 C．k甲＜k乙 D．不能確定

二：函式思想

透過學習函式使我們逐步用函式的觀點，方法去思考問題，將已知條件或所給數量關係進行轉化，藉助函式的影象或性質去解決問題。

例2 育才中學需要添置某種教學儀器．方案1：到商家購買，每件需要8元；方案2：學校自己製作，每件4元，另外需要製作工具的租用費120元．設需要儀器x件，方案1與方案2的費用分別為y1，y2（元）．

（1）分別寫出y1，y2的函式表示式；

（2）當購置儀器多少件時，兩種方案的費用相同？

（3）若學校需要儀器50件，問採用哪種方案便宜？請說明理由．

解：（1）y1=8x，y2=4x+120．

（2）y1=y2，則x=30．

（3）當x=50時，y1=400，y2=320，

∴y2<y1選用方案（2）便宜．

練習2 如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象（分別是正比例函式圖象和一次函式圖象），根據圖象解答下列問題：

（1）請分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函式解析式（不要求寫出自變數的取值範圍）；

（2）輪船和快艇在途中（不包括起點和終點）行駛的速度分別是多少？

（3）問快艇出發多長時間趕上輪船？

三：轉化和化歸的思想

轉化和化歸思想的核心是把生題轉化為熟題，將複雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題

例3 函式y=2x與y=x+1的圖象的交點座標為（ ）

分析：

根據兩條直線的交點座標，就是由這兩條直線相對應的一次函式表示式所組成的二元一次方程組的解，所以解方程組即可得到兩直線的交點座標（1，2）．

考點：1.兩條直線相交或平行問題；2.直線上點的座標與方程的關係．

練習1 過點（-1，7）的一條直線與x軸，y軸分別相交於點A，B，且與直線平行．則線上段AB上，橫、縱座標都是整數的點的座標是（ ）

練習2 已知一次函式y=kx+3的圖象與直線y=2x平行，那麼此一次函式的解析式為（ ）

一次函式是初中學段函式章節所學第一個也是最簡單的一個函式模型，是初中學段學好函式章節的敲門磚和鋪路石。因而，學習一次函式所獲得一些經驗和解題方法，可以直接作用於後續的函式模型：反比例函式/二次函式，甚至高中學段的冪函式/指數函式/對數函式等。本文與其說是在回答解答一次函式題時的一些注意事項（不是技巧，也沒有那麼多功利性的技巧，只是常規常法，通法。）倒不如說是在為後續學習其他函式模型，提供借鑑和參考。因而，我們可以透過這個回答，把眼光放大到整個函式章節，而不僅僅侷限於解答一次函式題。

一。關於一次函式的概念

【舉例1】下列圖示揭示x，y之間關係屬於一次函式的是（ ）

分析：僅從“形”看，三個圖形都是“直（折）線”型，知識點：一次函式的圖象是直線！

但其逆命題未必為真，也就是說，圖象（形）是直（折）線的，不一定是一次函式喲！

圖A，壓根就不是函式關係，當然更談不上一次函數了。存在一個特定的x的值，對應兩個不同y值的情形，俗稱“一對多”，而“一對多”在函式概念中是被禁止的！

圖C，是函式，但不是一次函式。圖中不同x的取值，都有y的值與之對應，並且這些y值都是相等的（沒有變化），因而是常函式，即y=k（k為常數）形式。

圖B，是函式，並且是一次函式，是分段函式。圖中從折線的“拐點”處分段，“拐點”的兩側分別對應不同的表示式，但兩個表示式都符合y=kx+b的形式。

所以舉例1的正確答案：圖B

綜述：一次函式的圖象是直線，但圖象是直線的函式不一定一次函式！

二。關於一次函式表示式

【舉例2】已知A(1,-5/2),B(-2,13/2),C(6,m)三點共線，求m的值。

分析：理解三點共線的含義：由已知點A，B確定直線AB，則點C必在直線AB上。直線AB是一次函式，設其表示式為y=kx+b，用待定係數法，可以求出k，b，進而求出直線AB的表示式；再將x=6代入該表示式，即可求出m的值。

實際操作：設直線AB的表示式為y=kx+b，依題意得方程組-5/2=k+b，13/2=-2k+b

解得k=-3，b=1/2，

因而直線AB為y=-3x+1/2，

又因為A,B,C三點共線，所以點C在直線AB：y=-3x+1/2上，

因而當x=6時，m=-3×6+1/2=-71/2

綜述：1.三點共線，即第三點一定在前兩個點所確定的直線上；

2.點在直線上（直線過某點），即點的座標滿足直線的表示式；

3.確定一次函式的表示式，只需要兩個已知點（兩組對應值）；

4.求一次函式的表示式，用待定係數法解決。

三。關於一次函式的實際應用

【舉例3】某工廠建有一大型蓄水池用於生產。蓄水池有進、出水管各一個，每晚注滿水，從上午8點時開始供水，當水池低於某水位時，進水管開始自動注水，水池的水量y（立方米）與時間x（時）之間的關係如圖所示。

（1）根據圖象提供的資訊寫出蓄水池最大蓄水量，並計算出水管每小時的流量；

（2）18時工廠停止生產後，蓄水池只注水，求此階段y與x的函式關係式，並求將水池注滿水時x的值。

分析：這是一道解決實際問題的應用題，表面看涉及到一次函式，其實不必生搬硬套待定係數法。利用數形結合，透過讀圖，理解問題背景的三個量：進（出）水量，進（出）水速度，時間三者之間關係：進（出）水速度=水量/時間，

進而根據題目所給時間進行分段，逐段弄清進出水的情況，利用算術方法即可解決。

實際操作：如下圖所示

AB段：y=500，0≤x≤8 水已注滿，蓄水量最大500立方米；

BC段：y=500－【（500－100）/（16－8）】（x－8）

=900－50x，8＜x≤16

在BC段，工廠開工用水，水量只出不進，逐漸減少，

出水管的出水速度=（500－100）/（16－8）=50立方米/時；

CD段： y=100＋【（200－100）/（18－16）】（x－16）

=50x－700，16＜x≤18

進水管開始自動注水，出水管還在出水，此段水量有進有出，進水量大於出水量，

進出水的速度差=（200－100）/（18－16）=50立方米/時，

所以進水速度=出水速度＋50=50＋50=100立方米/時；

DE段：停工注水，只進不出，將水池注滿（500立方米）需要增加300立方米，進水速度=100立方米/時

所以注滿水池的時間=300/100=3小時，注滿水的時刻x=18＋3=21時

綜述：1.分析清楚每個時間段進出水的情況，是決定本題成敗的關鍵；

2.死板套用待定係數法還是直接用算術方法解決，是考查一次函式知識點是否學活的試金石。

四。關於一次函式與幾何的綜合

【舉例4】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是邊BC的高，點E在高AD上（點E不與A，D重合），過點E作FG∥BC，分別交兩邊AB，AC 於點F，G，連結DG，過點F作FH∥DG，交邊BC於點H.已知BC=12，設AE=x，在點E的運動過程中，FG，DE隨x的變化的圖象如圖29-2所示（直線的一部分），根據圖29-1，圖29-2提供的資訊解決下列問題：

（1）求AD的值；

（2）求x的取值範圍，並求當x為何值時，四邊形FGDH的面積最大，最大面積是多少？（3）求AB，AC的值.

分析：這是一道典型數形結合，代數與幾何結合的動點問題，有一定的難度。突破點：

1.在點E運動過程中，有兩個事實：其一，△AFG∽△ABC；其二，平行四邊形FGDH；

2.結合圖形和圖象，發現一些特殊點（位置），解決特殊線段的長。

實際操作：

（1）由圖29-2可知，當AE=2時，DE=4，所以，AD=AE+DE=2+4=6；

因而，AD = m =6.

FG∥BC→∠AFG∠=ABC，∠BAC=∠BAC=>△AFG∽△ABC=>AE:AD=FG:BC =>FG=12AE/AD，即yFG=x，

由圖29-1得，當x=2時，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yFG=2x，

∴12/AD=2，即AD=6;

（2）由圖29-1可知，

∵AD=AE+DE，∴DE=AD－AE，即yDE=6－x，

∴m=6，由圖29-2可知，0<x≤n，

結合圖形分析得知，

當AE=x=n時，H點剛好與點B重合，此時HD=FG=BD，

設FG與x的函式關係式為yDE=kx，

∵當x=2時，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yDE=2x，

∵當x=n時，yFG=m=6，∴6=2n，即n=3，∴0<x≤3；

∵FG∥BC，DG∥FH， ∴平行四邊形FGDH，

∴平行四邊形FGDH的面積 =FG×DE=2x（6－x）=－2（x^2－6x）=－2（x^2－6x+9－9）=－2（x－3）^2+18≤18，

∴四邊形FGDH面積的最大值為18，此時，x=3，

即AE=3，即E為AD的中點時，面積最大為18.

（3）由（2）可知，當x=3時，H點剛好與點B重合，此時HD=FG=BD=m=6= BC，

∴D為BC的中點，又AD⊥BC，∴AB=AC，又∠BAC=90°，

∴由勾股定理得，AB=AC= BC/√2=12/√2=6√2.

綜述：1.這類代數幾何綜合，數形結合的題目，利用相似及勾股定理建立數學模型，其中可能涉及到所學函式一次函式，二次函式等；

2.動點問題，特別注意幾何直觀的運用，關注一些特殊點/特殊位置/特殊時刻。