方程求解中的難題　　方程論是古典代數的中心課題。早在公元3世紀的希臘數學家丟番圖和9世紀的阿里·花拉子米，均求得一元二次方程ax2+bx+c=0的解。　　到了16世紀，義大利數學家卡丹和他的學生費拉里相繼發表了用根式求解三次方程和四次方程的方法。這個被後來數學界稱為卡丹公式的三次方程求解公式，實際是公元1500年左右波侖亞的數學家非爾洛最先研究出的，後來幾經轉折被塔塔利亞掌握，卡丹保證保密後，塔塔利亞告訴給卡丹，但6年後，卡丹給出證明發表了。　　由於不超過四次的方程都能透過根式求得它的一般解，那麼高於四次的方程能否用根式求解，便成為人們關注的重大問題。很多數學家爭相研究和尋找根式求解五次方程的公式。從16世紀後半葉直到19世紀初，許多數學家和數學愛好者，都把它作為檢驗自己才能的試金石，可是毫無例外的都失敗了。　　根式解法雖然沒有找到，但人們卻積累了經驗和知識。1799年，年僅22歲的高斯在作博士論文時，他沒有去計算方程的根，而是證明它的存在性。他把方程與曲線聯絡起來，透過對曲線作定性研究，證明了每一個實係數多項式至少有一個實根或一個復根，這個結論被稱為代數學基本定理。高斯的方法開創了探討數學中整個存在問題的新途徑。 　　接著，他研究了分圓方程，於1801年證明了這種方程可用根式求解，這表明某些高於四次的方程能用根式解出。那麼，可用根式求解的是所有的高次方程，還是部分高次方程？這便成為擺在數學家面前的一個難題。阿貝爾的成果轟動了世界　　就在高斯證明了代數學基本定理3年後的1802年，又一數學新星阿貝爾在挪威的芬諾誕生了。阿貝爾有著較優裕的家庭，更幸運的是，他在中學時代遇上了一位傑出的教師霍姆伯。霍姆伯是挪威天文學家漢斯頓的助教，他使阿貝爾第一次感受了數學的意義和樂趣。霍姆伯也看到了阿貝爾不尋常的才能，給他找來尤拉、拉格朗日、拉普拉斯等大師們的原著，一起討論疑難問題，使阿貝爾迅速瞭解當代數學的前沿課題。　　阿貝爾在中學的最後一年，就開始了對五次方程的研究。起初他還是致力於尋求一般五次方程的解法，後來受丹麥著名數學家戴根的啟發，他意識到一般五次方程可能根本就不存在類似於二、三、四次方程那樣的求根公式。他想，如果這類求根公式存在，就該有無窮多個，這顯然不可能。要麼這些公式最終被統一起來，要麼從某次方程起就不存在求根公式。既然尋找求根公式已屢遭失敗，何不考慮五次方程沒有根式解呢？經過5年的努力，1824年，22歲的阿貝爾證明了一般五次以上的代數方程，它們的根式解法是不存在的（除了某些特殊的方程）。　　阿貝爾的成果轟動了世界，因為他解決了困擾數學界300年的難題。留下的問題是，能用根式解或不能用根式解的方程，到底用什麼來判斷？阿貝爾還沒有來得及解決這一問題，1829年，過度勞累導致他的肺病再次發作，不到27歲的阿貝爾就匆匆離開了人世。阿貝爾 伽羅瓦伽羅瓦理論的誕生　　阿貝爾未竟的事業，由一位比阿貝爾小9歲的極富傳奇色彩的法國青年伽羅瓦擔當起來。　　伽羅瓦於1811年10月26日生於巴黎附近的雷因堡，父親是鎮長，母親是一個法官的女兒，受過正統教育。中學時代，數學教師範涅爾的出色講授喚起伽羅瓦對數學的興趣。他自學了勒讓德、拉格朗日、柯西等名師的著作，對前輩大師們的工作有了一定的瞭解，從16歲起，就致力於高次方程根式解法的研究。　　對數學的迷戀和自信，伽羅瓦報考巴黎理工大學，但是兩次都沒考上。1829年，他考入巴黎師範大學。　　他只上了一年大學，但這一年卻是他在數學研究中最有成就的一年。他相信，方程是否有根式解與方程根的排列的性質有內在聯絡。他首先考慮一個n次方程的n個根x1，x2，…，xn所有可能的排列，由根經過有限次四則運算所得到的一切數的集合，再考慮方程的係數經過有限次四則運算所得到的一切數的集合，然後來研究這兩個集合之間的某種對應關係，產生了一個“群”的概念，並得出結論：方程有根式解的充分必要條件是它的群為可解群。二、三、四次方程的群是可解群，因此這些方程能用根式求解，高於四次的一般方程的群不是可解群，因而它們不能用根式求解。 　　伽羅瓦的這一理論，是極富創新性的偉大發現。1829年，他把自己的論文送交有很多當代第一流數學家的法蘭西科學院，可是負責審稿的大數學家柯西根本不重視這件事，把伽羅瓦的論文給弄丟了。1830年，伽羅瓦又重寫了一篇論文，該文送到著名數學家付立葉那裡，可是62歲的付立葉，就在那年離開了人世，這篇論文又杳無音信。科學院院士泊松勸他再寫一份。1831年，伽羅瓦把重寫的論文《關於用根式解方程的可能性條件》，第三次交給法國科學院。熱心的泊松親自審查了這份多災多難的論文。他審查了四個月可怎麼也看不懂，只好簽署“完全不能理解”的審查意見，退回文稿並建議他把論文寫得通俗詳盡一些。　　此時，法國爆發了“七月革命”。生氣勃勃的伽羅瓦是個激進的共和主義者，他積極參加了對路易——菲力蒲王朝的鬥爭，學校因此開除了他。伽羅瓦被學校開除後，以給人補習數學為業，但他仍堅持革命鬥爭，先後兩次被捕入獄。不久，1832年5月31日，在與一個反動軍官決鬥時飲彈身亡。一個不滿21歲的天才數學家，像一閃而過的明星殞落了。近世代數學的確立　　決鬥前夕，伽羅瓦趕寫了份說明研究工作的信件，託朋友把文稿交給兩位大數學家，信中說：“你可以公開要求雅可比或高斯對於這些定理的重要性（而不是對其真實性）表示意見。在這之後，我相信將會有人發現把它們註釋出來是有益的。”可這些資料在當時並沒有交給這兩位數學家。　　在伽羅瓦逝世後14年的1846年，法國數學家劉維爾在自己主辦的數學雜誌上才刊登了伽羅瓦的部分手稿。從此，伽羅瓦的思想才逐漸引起人們的注意和理解。不長的論文中，從很簡單而又極深刻的想法出發，解開了許多著名數學家為之毫無成效地奮鬥過的、關於用根式解高次方程的困難的癥結。首次在嚴格意義上使用超越同時代的“群”這個概念，為19世紀數學提出了全新的數學概念。為紀念他，人們把伽羅瓦發現的這個“群”稱作“伽羅瓦群”。此後，數學家投入了這個全新的領域，開始註釋、追蹤、研究和發展伽羅瓦所開創的工作，使群論系統化。　　到19世紀末葉，群、環、域的理論大步邁進，伽羅瓦所開創的數學工作，逐漸形成了數學的一個重要分支——近世代數學，又叫抽象代數學，使傳統代數學的研究物件發生了很大的變化，抽象代數已經成了近世代數學的主要內容。　　伽羅瓦理論，是近世代數學的偉大成就，並且在幾何學、物理學、化學等許多科學技術領域有廣泛的應用。它的附產品是給出了尺規作圖不能解決問題的判別法。伽羅瓦理論，對於近世代數學的發展產生了十分深遠的影響。

方程求解中的難題　　方程論是古典代數的中心課題。早在公元3世紀的希臘數學家丟番圖和9世紀的阿里・花拉子米，均求得一元二次方程ax2+bx+c=0的解。　　到了16世紀，義大利數學家卡丹和他的學生費拉里相繼發表了用根式求解三次方程和四次方程的方法。這個被後來數學界稱為卡丹公式的三次方程求解公式，實際是公元1500年左右波侖亞的數學家非爾洛最先研究出的，後來幾經轉折被塔塔利亞掌握，卡丹保證保密後，塔塔利亞告訴給卡丹，但6年後，卡丹給出證明發表了。　　由於不超過四次的方程都能透過根式求得它的一般解，那麼高於四次的方程能否用根式求解，便成為人們關注的重大問題。很多數學家爭相研究和尋找根式求解五次方程的公式。從16世紀後半葉直到19世紀初，許多數學家和數學愛好者，都把它作為檢驗自己才能的試金石，可是毫無例外的都失敗了。　　根式解法雖然沒有找到，但人們卻積累了經驗和知識。1799年，年僅22歲的高斯在作博士論文時，他沒有去計算方程的根，而是證明它的存在性。他把方程與曲線聯絡起來，透過對曲線作定性研究，證明了每一個實係數多項式至少有一個實根或一個復根，這個結論被稱為代數學基本定理。高斯的方法開創了探討數學中整個存在問題的新途徑。 　　接著，他研究了分圓方程，於1801年證明了這種方程可用根式求解，這表明某些高於四次的方程能用根式解出。那麼，可用根式求解的是所有的高次方程，還是部分高次方程？這便成為擺在數學家面前的一個難題。阿貝爾的成果轟動了世界 　　就在高斯證明了代數學基本定理3年後的1802年，又一數學新星阿貝爾在挪威的芬諾誕生了。阿貝爾有著較優裕的家庭，更幸運的是，他在中學時代遇上了一位傑出的教師霍姆伯。霍姆伯是挪威天文學家漢斯頓的助教，他使阿貝爾第一次感受了數學的意義和樂趣。霍姆伯也看到了阿貝爾不尋常的才能，給他找來尤拉、拉格朗日、拉普拉斯等大師們的原著，一起討論疑難問題，使阿貝爾迅速瞭解當代數學的前沿課題。　　阿貝爾在中學的最後一年，就開始了對五次方程的研究。起初他還是致力於尋求一般五次方程的解法，後來受丹麥著名數學家戴根的啟發，他意識到一般五次方程可能根本就不存在類似於二、三、四次方程那樣的求根公式。他想，如果這類求根公式存在，就該有無窮多個，這顯然不可能。要麼這些公式最終被統一起來，要麼從某次方程起就不存在求根公式。既然尋找求根公式已屢遭失敗，何不考慮五次方程沒有根式解呢？經過5年的努力，1824年，22歲的阿貝爾證明了一般五次以上的代數方程，它們的根式解法是不存在的（除了某些特殊的方程）。　　阿貝爾的成果轟動了世界，因為他解決了困擾數學界300年的難題。留下的問題是，能用根式解或不能用根式解的方程，到底用什麼來判斷？阿貝爾還沒有來得及解決這一問題，1829年，過度勞累導致他的肺病再次發作，不到27歲的阿貝爾就匆匆離開了人世。 阿貝爾 伽羅瓦伽羅瓦理論的誕生　　阿貝爾未竟的事業，由一位比阿貝爾小9歲的極富傳奇色彩的法國青年伽羅瓦擔當起來。　　伽羅瓦於1811年10月26日生於巴黎附近的雷因堡，父親是鎮長，母親是一個法官的女兒，受過正統教育。中學時代，數學教師範涅爾的出色講授喚起伽羅瓦對數學的興趣。他自學了勒讓德、拉格朗日、柯西等名師的著作，對前輩大師們的工作有了一定的瞭解，從16歲起，就致力於高次方程根式解法的研究。　　對數學的迷戀和自信，伽羅瓦報考巴黎理工大學，但是兩次都沒考上。1829年，他考入巴黎師範大學。　　他只上了一年大學，但這一年卻是他在數學研究中最有成就的一年。他相信，方程是否有根式解與方程根的排列的性質有內在聯絡。他首先考慮一個n次方程的n個根x1，x2，…，xn所有可能的排列，由根經過有限次四則運算所得到的一切數的集合，再考慮方程的係數經過有限次四則運算所得到的一切數的集合，然後來研究這兩個集合之間的某種對應關係，產生了一個“群”的概念，並得出結論：方程有根式解的充分必要條件是它的群為可解群。二、三、四次方程的群是可解群，因此這些方程能用根式求解，高於四次的一般方程的群不是可解群，因而它們不能用根式求解。 　　伽羅瓦的這一理論，是極富創新性的偉大發現。1829年，他把自己的論文送交有很多當代第一流數學家的法蘭西科學院，可是負責審稿的大數學家柯西根本不重視這件事，把伽羅瓦的論文給弄丟了。1830年，伽羅瓦又重寫了一篇論文，該文送到著名數學家付立葉那裡，可是62歲的付立葉，就在那年離開了人世，這篇論文又杳無音信。科學院院士泊松勸他再寫一份。1831年，伽羅瓦把重寫的論文《關於用根式解方程的可能性條件》，第三次交給法國科學院。熱心的泊松親自審查了這份多災多難的論文。他審查了四個月可怎麼也看不懂，只好簽署“完全不能理解”的審查意見，退回文稿並建議他把論文寫得通俗詳盡一些。　　此時，法國爆發了“七月革命”。生氣勃勃的伽羅瓦是個激進的共和主義者，他積極參加了對路易――菲力蒲王朝的鬥爭，學校因此開除了他。伽羅瓦被學校開除後，以給人補習數學為業，但他仍堅持革命鬥爭，先後兩次被捕入獄。不久，1832年5月31日，在與一個反動軍官決鬥時飲彈身亡。一個不滿21歲的天才數學家，像一閃而過的明星殞落了。近世代數學的確立　　決鬥前夕，伽羅瓦趕寫了份說明研究工作的信件，託朋友把文稿交給兩位大數學家，信中說：“你可以公開要求雅可比或高斯對於這些定理的重要性（而不是對其真實性）表示意見。在這之後，我相信將會有人發現把它們註釋出來是有益的。”可這些資料在當時並沒有交給這兩位數學家。　　在伽羅瓦逝世後14年的1846年，法國數學家劉維爾在自己主辦的數學雜誌上才刊登了伽羅瓦的部分手稿。從此，伽羅瓦的思想才逐漸引起人們的注意和理解。不長的論文中，從很簡單而又極深刻的想法出發，解開了許多著名數學家為之毫無成效地奮鬥過的、關於用根式解高次方程的困難的癥結。首次在嚴格意義上使用超越同時代的“群”這個概念，為19世紀數學提出了全新的數學概念。為紀念他，人們把伽羅瓦發現的這個“群”稱作“伽羅瓦群”。此後，數學家投入了這個全新的領域，開始註釋、追蹤、研究和發展伽羅瓦所開創的工作，使群論系統化。　　到19世紀末葉，群、環、域的理論大步邁進，伽羅瓦所開創的數學工作，逐漸形成了數學的一個重要分支――近世代數學，又叫抽象代數學，使傳統代數學的研究物件發生了很大的變化，抽象代數已經成了近世代數學的主要內容。　　伽羅瓦理論，是近世代數學的偉大成就，並且在幾何學、物理學、化學等許多科學技術領域有廣泛的應用。它的附產品是給出了尺規作圖不能解決問題的判別法。伽羅瓦理論，對於近世代數學的發展產生了十分深遠的影響。