排列組合的公式是排列的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1組合的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列與組合公式 從n個元素中取出m個元素的迴圈排列數=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1,n2,

...nk

這n個元素的全排列數為 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m）。

標準的排列組合

先看一個例子 (1)：

三個城市 A，B，C，從 A 到 B 有三條路 a₁, a₂, a₃ ，從 B 到 C 有兩條路 b₁, b₂，問 從 A 到 C 有多少種走法？

解：

要 從 A 到 C 就 必須選擇一條 A 到 B 的路 a 和 一條 B 到 C 的路 b，然後連成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a₁, a₂, a₃ 有3種選法，b 可以是 b₁, b₂ 有3種選法，於是根據日常的經驗，ab 的可能有：

所有 ab 總共有 3 × 2 = 6 種可能。

這個例子就是 乘法法則：

若具有性質 a 的事件有 m 個，具有性質 b 的事件有 n 個，則 同時具有 性質 a 和 b 的事件有 m × n 個。

因為，

令 a 的 m 個事件為 a₁, a₂, ..., a_m，b 的 n 個事件為 b₁, b₂, ..., b_m，則根據日常的經驗，ab 的可能有：

乘法法則，還可以從 兩項 擴充套件到 任意有限多項：

若具有性質 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件分別有 m₁, m₂, m₃, ..., m_n 個，則 同時具有 性質 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件有 m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_n 個。

因為，

然後利用 兩項的乘法法則，就得到：

再看一個例子 (2)：

解：

挑出兩個排成一列，分兩步，

先從三個球 中任意 挑出一個球 a 放在序列的第一位；

再從挑剩下的 二個球 中 中任意 挑出一個球 a 放在序列的第二位；

這樣就組成了 ab 的序列。構建 ab 序列的過程 和 例子 (1) 組成路線的過程 類似，因此 也 符合乘法法則。因為 a 是 3 選 1 有 3 種可能，b 是 2 選 1 有 2 種可能，所以 構建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 種可能，具體如下：

例子 (2) 就是 從 3 中取出 2 的排列，更一般地定義為：

從 n 個元素 中取出 m(≤ n) 個元素 排成一列，稱為 從 m 中取出 n 的 排列，排列的方案個數稱為排列數，記為 P(n, m)。

從 m 中取出 n 的 排列的構建過程如下：

根據 乘法法則，有：

P(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)! = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n, m) = n!/(n-m)!

比較特別的是：

從 n 中取出 n 個 的排列，就是 對 n 個元素進行各種排列，稱為 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；

從 n 中取出 0 個 的排列，稱為 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；

將 例子 (2)，改為 (2")：

總共有三個球，從中挑選出兩個不考慮順序，問有多少種挑選方案？

解：

我們前面已經 計算出了序列 ab 的排列數 P(3, 2)，所謂不考慮順序，也就是說，兩個元素 a, b 的各種排列：ab, ba 算一種方案。

兩個元素 a, b 的各種排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。於是 只需要 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：

P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3

例子 (2") 就是 從 3 中取出 2 的組合，更一般地定義為：

從 n 個元素 中取出 m(≤ n) 個元素 不考慮順序，稱為 從 m 中取出 n 的 組合，組合的方案個數稱為組合數，記為 C(n, m)。

根據例子 (2") 中的分析，有：

C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)

比較特別的：

從 n 中取出 n 個 的組合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；

從 n 中取出 0 個 的組合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；

一些特殊的排列組合

考慮，問題 (3)：3 個人去飯店吃飯，圍坐在一張圓桌前，問有多少種坐法？

圍坐成圈不同於排成一列，這是一種新的排列方式，於是定義：

從 n 個元素 中取出 m 個元素 排成一圈，稱為 圓周排列，將 圓周排列數 記為 Q(n, m)。

分析：

對於標準排列，可得到的序列：

若將序列排成一圈，

則顯然，下面的 m 個排列只能算一種：

故，

Q(n, m) = P(n, m) / m

根據上面的分析結果，顯然，問題(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，順時針坐 和 逆時針左。

在排列組合中，預設挑選出來的m個元素是不能重複，但如果允許重複呢？

將 例子 (2")，改為：

總共有三個球，從中挑選出兩個不考慮順序，不過每次挑選時會將球的號碼記錄然後將球放回，問有多少種挑選方案？ (2""-1)

有兩個箱子，每個箱子裡裝著完全相同的三個球，從每個箱子裡挑選1個不考慮順序 ，問有多少種挑選方案？ (2""-2)

(2""-1) 和 (2""-2) 本質是相同的，下面以 (2""-1) 為例。

分析：

共有 6 種。

其次，可以將 有重複組合 轉化為 無重複組合，方法如下：

對於任何一次的有重複組合結果，按照 從小到大的排列：

a₁ ≤ a₂

讓 原來三個小球中 號碼比 a₂ 大的小球的號碼 都加 1， 然後 將 小球 a₂ 的號碼 也加 1 並 新增到 三個小球 中。

這樣以來，就將 從 3 個小球中 有放回的挑選 2 個組合 變為 從 4 個小球 中 無放回的挑選 2個組合。

具體操作如下（黑底為修改過的球）：

a₁ < a₂

讓 原來 4 個小球 中 號碼大於 a₂ 的小球的號碼 都減 1，然後 將 a₂ 從 4 個小球 中 去除，並將 a₂ 的號碼也 減 1。

這樣以來，就將 從 4 個小球中 無放回的挑選 2 個組合 變為 從 3 個小球 中 有放回的挑選 2個組合。

具體操作如下（黑底為修改過的球）：

上面的事實說明：

3 取 2 有重複的組合數 ≡ 4 取 2 無重複的組合數，即，C(4, 2) = 6。

將 3 取 2 的情況 擴充套件到 n 取 m 有：

將 n 個數 取 m(≤ n) 個 有重複的組合 的結果，按照 從小到大的排列：

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_m (4)

對每個 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重複一下操作：

讓 被挑選數集 以及 (4) 中 所有比 aᵢ 大的數都加 1， 然後 將 aᵢ 加 1，並將 aᵢ 新增到 被挑選數集 中取；

這樣以來，就將 n 個數 取 m(≤ n) 個 有重複的組合 變為 n+(m-1) 個數 取 m(≤ n) 個 無重複的組合。

反過來，對於 n+(m-1) 個數 取 m(≤ n) 個 無重複的組合 的結果，按照 從小到大的排列順序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (5)

對每個 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重複一下操作：

這樣以來，n+(m-1) 個數 取 m(≤ n) 個 無重複的組合 變為 就將 n 個數 取 m(≤ n) 個 有重複的組合 。

綜上，就證明了：

n 個數 取 m(≤ n) 個 有重複的組合 ≡ n+(m-1) 個數 取 m(≤ n) 個 無重複的組合

最終結果：

從 n 個元素 中取出 m 個元素，有重複組合 的組合數為：C(n+(m-1), m)。

題目： 從 A = {1,2, ..., n} 個數 中取 m(≤ [n / 2]) 個，不相鄰組合，即，不存在包括 i 和 i + 1 的組合，問組合數是多了？

分析：

這裡使用類似 有重複組合 的思路，將 不相鄰組合 轉化為 等價 的 標準組合。方法如下：

對於 從 A 個數 中取 m 個 的不相鄰組合 的結果，按照從小到大的順序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (6)

對每個 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重複一下操作：

這樣以來，就將從 A 中取 m 個 的不相鄰組合 變為 從 A’ = {1, 2, ..., n - (m-1) } 中取 m 個 的標準組合。

反過來，對於 從 A’ 中取 m 個 的標準組合 的結果，按照從小到大的順序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (7)

對每個 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重複一下操作：

讓 A" 以及 (7) 中 所有大於 aᵢ 的數都加上 1，並將 aᵢ 也加上1 然後新增到 A" 中。

這樣以來，就將 從 A’ 中取 m 個 的標準組合 變成 A 中取 m 個 的不相鄰組合 。

綜上，就證明了：

從 A = 中取 m 個 的不相鄰組合 ≡ 從 A’ 中取 m 個 的標準組合

最終結果：

從 A = {1,2, ..., n} 個數 中取 m(≤ [n / 2]) 個，不相鄰組合　的組合數為：C(n－(m-1), m)。

最後，除了以上介紹的這些較為基礎的排列組合外，還有大量的排列組合問題存在，例如：

將 被選擇集合 進行分類，比如：分為男女， 然後 對排列組合結果進行限制，比如：男女相等，男女相鄰；

總之 排列組合的演算法根據 具體問題不同而異，具體在進行解題時要發揮聰明才智，做到靈活多變，不要強行照搬套路。

由於篇幅有限，只能回答到這裡了。