圓的周長從圓心做三角形頂點到圓上可以分割n個三角直角三角形，一個直角邊是半徑，另外是圓周長上的微分.1/2r△x,所有的△x加起來正好是圓周長，所以圓面積等於∏r2

（應邀，小石頭嘗試著來回答這個問題）

圓的周長公式

我們知道在二維幾何平面上，對於 以原點為圓心，R為半徑的 圓 C，在笛卡爾直角座標下，曲線方程為：

x² + y² = R²

在 極座標下，曲線方程為：

ρ = R， θ ∈ (-π, π]

兩者結合，就得到 一個笛卡爾直角座標下引數方程（θ ∈ (-π, π]）：

x = R cosθ

y = R sinθ

利用，關於弧長的曲線積分公式：

令， f(x, y) = 1，就是 計算 曲線 L 的 弧長 的公式。

這裡，我們 將C 看成 從 a = (-R, 0) 點 出發 按照逆時針方向 旋轉一週 又回到 a 點的曲線，

於是，計算 C 的 弧長為：

這個弧長就是 C 的周長，這樣，我們就得到了，所熟悉的 圓的周長公式：

C = 2πR

考慮，C 位於 X 之上的部分 C"，

令，t = x，則 C" 的引數方程為（t ∈ [-R, R]）：

x = t

y = √(R²-t²)

同樣，利用上面的弧長公式，計算 C" 的弧長為：

而 C 的周長顯然是 C" 弧長的 2 倍，於是，我們就又得到了圓的周長公式：

C = 2C" = 2πR

圓的面積公式

設，圓 C 的內部圓盤 為：

S = {(x, y) | x² + y² ≤ R² }

在 平面極座標下，圓盤 S 可以被分割為無數的 "小扇形 "，

每個 小扇形 的面積 近似等於 以弧長 Δl = R Δθ 為底 以半徑 R 為高的 三角形面積：

ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ

這些 ΔS 全部加起來，然後讓 每個 ΔS 儘量小，即， Δθ 取 0 的極限，這樣，就得到一個黎曼積分，

這個結果就是 全部小扇形 的面積 之和，即，S 的面積，於是我們得到，圓的面積公式：

S = πR²

上面的結果，告訴我們，其實，在 關於弧長的曲線積分公式 中，令 F(x, y) = (R²/2)，對 圓周 C 進行 弧長積分，就可以得到 圓的面積 S。

反正都是常數，不妨讓 f(θ) = (R²/2)，則 S 面積 為 如下黎曼積分：

同樣在 平面極座標下，我們還可以將 S 分成無數的 小圓環，

將周長公式中半徑設為變數 ρ 於是得到周長函式：

f(ρ) = 2πρ

這樣，每個小圓環的面積 近似的等於，以 周長為高 以 內徑為底的矩形面積（想象將小圓環 從 極軸處水平剪開，然後上下拉直，由於圓環很薄因此內外周長幾乎相等，構成矩形的左右兩個邊， 而內徑本來就相同，構成矩形的上下兩個邊）：

ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ

其中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁, ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ, i = 1, ..., n} 於是我們又得到一個標準的黎曼積分：

這個結果就是 全部小圓環 的面積 之和，即，S 的面積，於是我們又得到圓的面積公式：

S = πR²

上面的結果說明一個事實：

以半徑 ρ 為變數的，面積函式 F(ρ) = πρ² 是 周長函式 f(ρ) = 2πρ 的原函式，並且 有條件 F(0) = 0，使得不定積分常數 C = 0，即，

繪製成圖如下：

反過來，這同樣說明：圓的周長函式 f(ρ) = 2πρ 是 面積函式 F(ρ) = πρ² 的導數，所以，我們其實可以從圓的面積公式透過求導得到圓的周長公式，即，

從 S 的面積公式透過求導得到 C 的周長公式，這要求 求得 S 面積時 不使用 C 的周長公式，可以考慮，平面直角座標系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，

C 的這部分的函式為：

y = f(x) = √(R² - x²)

於是直接利用 黎曼積分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S" 的面積 如下：

注意：為了節約篇幅，從這裡開始，複雜的不定積分推導過程均省略，有興趣大家可以自行推導。

而根據 對稱性，S 的面積 是 S" 的 4 倍，於是我們就雙得到了圓面積公式：

S = 4S" = 4(πR²/4) = πR²

還可以利用，格林公式：

這裡，D 就是 S，L 就是 C，只要設，

Q(x, y) = x, P(x, y) = 1

於是，格林公式左邊為：

這就是 S 的面積。接著 利用，兩類曲線積分的關係：

結合 上面 C 的 第一個引數方程，格林公式右邊為：

格林公式左右聯立，於是我們叒得到圓的面積公式：

S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) = πR²

其實，也可以直接 求 上面的 二重黎曼積分，

另外，在平面極座標下，考慮 二重黎曼積分 更一般的形式：

可以將 S 的內部 分為 許多 ”小扇面“，

每一個小扇面的面積，近似等於紅色梯形面積（大三角形減去小三角形）：

Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ + ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ"ᵢ Δρᵢ Δθᵢ

其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁, Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ, i= 1, 2, ..., n = m²}，並取小扇面 的中心點 (ρ"ᵢ, θ"ᵢ) 處 的 二元函式值 f(ρ"ᵢcosθ", ρ"ᵢsinθ")，於是就得到了 極座標下的二重積分計算公式：

注意：以上的推導過程，可以 從 圓盤 S 擴充套件到 任意 有界封閉區域 D。

利用，上面的 二重積分計算公式，有：

這樣，我們就叕得到了圓的面積公式。

球的表面積公式

在三維空間中，以 圓點為 球心，以 R 為半徑的 球面 B，在笛卡爾直角座標下，曲面方程為：

x² + y² + z² = R²

於是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B" 對應的二元函式為：

z = f(x, y) = √(R² - x² - y²)

對於 XOY平面 上 的任意 中心 為 (x, y) 的 一小塊 Δσ 沿著Z軸（垂直於 XOY平面），投影到 B" 上的面積，近似於 投影 到 B" 在 (x, y, f(x, y)) 處 切面 上的面積 Δm , 設 r 是 該切面 與 XOY平面 的夾角，則有：

Δm = Δσ / cos r

為什麼呢？因為：Δσ 可以分成 無數個小矩形：

Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ

讓 aᵢ 邊 與 切面 與 XOY平面 交線 平行，於是 bᵢ 邊 就與 交線 垂直，

這樣 aᵢ 邊 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 邊在切面上的投影 則是 bᵢ / cos r，於是 每個小矩形 在切面上的投影 面積 為 (aᵢ × bᵢ) /cos r，進而有：

Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r

另外，根據立體幾何知識，我們知道：

B" 在 (x, y, f(x, y)) 處 的切面 與 XOY 平面 的夾角 等於 B" 在 (x, y, f(x, y)) 點 切面法線 和 Z 軸 的夾角，

又因為，B" 在 (x, y, f(x, y)) 點的 切面法線向量 為：

n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)

Z 軸 單位向量 為：

k = (0, 0, 1)

所以，根據內積的定義，有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² + 1)

注意：上面的結論（以及證明過程）適用於，任何可表示為 函式 z = f(x, y) 形式的 正則曲面，而非僅僅是 B"。

對於曲面 B" 來說，有：

∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) , ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)

帶入上面得到：

cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) + y² / (R² - x² - y²) + 1) = √(R² - x² - y²) / R

於是，曲面B" 面積 的 二重黎曼積分為：

再利用，前面推匯出來的 極座標下二重積分的計算公式，有：

最後，根據對稱性 B 的表面積 是 B" 的兩倍，於是我們得到 球的表面積公式：

B = 2B" = 4πR²

考慮，沿著 X 軸，並垂直於 X 軸 將 球體 切成 無數 薄片，

和上面類似，對於每一個薄片，外圈表面積 ΔBᵢ 同樣是 頂面半徑 為 √(R² - x²) 的 圓柱體 圓面 面積 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍數，

這裡的 r 是，曲線 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x, f(x)) 點 處切線 和 X 軸的 夾角，也等於 曲線 在該點 處 切線法線 n = (-f", 1) 和 Y軸 單位向量 j = (0, 1) 的夾角。

同樣，根據內積公式有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f"² + 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² + 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) + 1) = √(R² - x²) / R

於是，

ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ

進而，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} 使用黎曼積分，就得到 B 的表面積：

球的體積公式

設，球面 B 內部球體 為：

V = {(x, y, z) | x² + y² + z² ≤ R² }

與上面類似，沿著 X 軸，並垂直於 X 軸 將 球體 V 切成 無數 薄片，則每個厚度為 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的體積 近似等於 半徑為 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]） 的 同樣厚度的圓柱體的體積：

ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ

接著，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} ，使用 黎曼積分，就得到 V 的體積：

當然我們也可使用三重積分計算球的體積。利用，柱面座標計算三重積分和上面的方法類似，這裡略。

利用，球面座標下的三重積分計算公式：

對於，P 點的 球面座標 定義為：

ρ ∈ [0, R]為 |OP|，φ ∈[0, π] 為 OP 於 Z 軸夾角，θ ∈[-π, π] 為 OP 在 XOY 平面上的投影 與 X 軸的夾角，

則，有，

這個公式的推導，和上面 極座標下二重重積分計算公式的推導非常類似，有興趣大家可以自己試一試。

對於 球體 V 的體積，來說：

f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1, ρ(φ, θ) = R

於是，有：

最後，大家需要知道，為了不分散注意力，以上所有積分均忽略了 函式 是否在 區域邊界處有意義問題！如果，函式在邊界無定義，則可以透過 有定義的閉區域 極限逼近 的方法求得，一般來說，最後結果和不考慮其實一樣。

例如，f(x) 在 [a, b) 有定義，在 b 點無定義，則 f(x) 在 [a, b] 上的積分 可以定義為：