一、牛吃草模型的概念

原有一片草場，有草M份，草的生長速度為x;此時來了N頭牛，每頭牛每天吃1份草;則可能存在時間t，牛吃完所有的草。

二、牛吃草模型的解題思路

說有一片草場，總共有草量M，有N頭牛來吃，且草每天以均勻的速度生長，這些牛一共花了t天把草吃完了。

現在我讓你們給這個實際問題建立數學模型，怎麼建立?

我們一起來看這個問題，首先我們來簡單的畫出來這個圖形：

當然這是個二維圖形，你看不出來有什麼規律，現在我們把這個模型轉化為一維圖形，再來看看：

我們把草量化為AB段，即AB段等於M，草在勻速地生長，在一維中就是使AB段變長，我們假設草在B點開始生長，長到C點後牛把草吃完了，牛把草怎麼吃才能算吃完呢?就是牛先從A點開始吃先把AB段吃完後再吃BC段，過程如圖所示，那麼大家看這個模型是不是特別眼熟，這個模型不就是追及問題的模型麼。

所以到這裡就清楚了，牛吃草問題可以轉化為我們行程問題裡面的追及問題來描述，即牛和草以一定的速度同向跑，終於過了t時間，牛把草追上了，模型就是上面那個模型，但大家一定要理解AB,BC代表著什麼實際意義。

同理我們來推導牛吃草問題轉化為追及問題的公式。我們知道追及問題的公式是，那麼AB段對應的是草量M，甲對應的是牛，乙對應的是草，所以這個公式就可以變成 ,其中，我們可以設草每天的生長速度是x份/天，每頭牛每天吃草的速度是1份/天，那麼上個公式可以轉化為：，這個公式就是牛吃草問題轉化為追及問題的公式，其中需要注意的是用牛的頭數把牛的速度替換掉了。

三、牛吃草問題轉化為相遇模型

1.模型： 牛 C 草

假如我現在說草不生長了，反而在勻速地枯萎，那麼類似於我們上面講到的追及模型,草邊消失，牛邊吃，那麼在C點的時候牛把草吃完了，這不就是我們前面講過的相遇模型麼，即換種說法就是草和牛在兩地相向而行，在C點相遇了，相遇了就是代表著牛把草吃完了。

2.公式：，公式的推跟追及問題一模一樣，這裡就不再贅述。

牛吃草的應用

【例題1】有一片草場，草以均勻的速度生長，15只羊可以在20周內吃光，18只羊可以在15周內吃光，問如果有24只羊一起吃，則需要幾周吃光?

A.10周 B.11周 C.12周 D.13周

【答案】A。

【中公解析】設一隻羊一週吃草量為1，牧草一週的生長量為x，草場可供24只羊吃t周。根據題意可得(15-x)×20=(18-x)×15=(24-x)×t，由第一個等式解得x=6，代入x解得t=10周，故正確選項為A。

【例題2】蓄水池每分鐘流入的水量都相同，如開啟5個水龍頭，2.5小時把水放盡;如開啟8個水龍頭，1.5小時把水放盡。現開啟13個水龍頭，幾個小時可以把水放盡?

A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.1.0

【答案】C。

【中公解析】設1個水龍頭1小時的進水量為1，蓄水池每小時流入的水量為x，則根據牛吃草公式2.5×(5-x)=1.5×(8-x)=t×(13-x)，解得x=0.5，t=0.9小時，故正確選項為C。

【例題3】 一隻船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內，如果6人淘水，3小時淘完;如果8人淘水，2小時淘完。如果要求水永遠淘不完，則要最多安排多少人淘水?

A.2人 B.4人 C.5人 D.6人

【答案】A。

【中公解析】牛吃草問題。設每個人的淘水效率為1，水勻速進入船內的速率為k，則有3(6-k)=2(8-k)，解得k=2，要求水永遠淘不完，則要最多安排2人淘水，故正確選項為A。

行測備考中，高深的理科題叫人頭大，比如行程問題、工程問題、容斥問題、排列組合問題、機率問題……行程問題中有一個經典題型——牛吃草，要想掌握這類題型的技巧並不難，現在跟著中公教育專家的步伐，教你一招，輕鬆解決牛吃草問題。

一、問題描述。

牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓問題，草在不斷的生長且生長的速度固定不變，牛在不斷的吃草且每頭牛每天吃的草量相同，供不同數量的牛吃，需要不同的時間，給出牛的數量，求時間問題。

例1：牧場上一片青草，每天牧草都在勻速的生長。這片草可供10頭牛吃20天，或者15頭牛吃十天，問：可供25頭牛吃幾天?

A.4天 B.5天 C.6天 D.7天

對於這種問題我們應該怎麼去進行思考和解答呢?我們想象一下，牛在不停的吃草，草也在不停的，如果是平面模型，不好去研究與解題，不妨試試把平面二維的模型換成一維的座標模型去研究，我們把草場原有的草量設為M，有N頭牛，草自然增長的速度單位時間為X，一頭牛單位時間吃草量為1.這個時候大家對這個題型熟不熟悉呢?

其實牛吃草模型不僅僅是這一種題型，接下來我們就一個個開始研究。

二、常見題型

例2.由於天氣逐漸冷起來，牧場上的長不僅不生長，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或者可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天?

A.4 B.5 C.6 D.7

3. 極值型牛吃草。要想草吃不完，最多放多少頭牛。

例3.牧場上有一片青草，每天牧草都在勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問為了保持草永遠吃不完，最多能放多少頭牛?

A.4 B.5 C.6 D.7

到這相信大家對牛吃草問題掌握的都比較好了，那麼請大家思考一個問題，牛吃草一定要有牛和草嗎?不是的，牛和草知識問題中的兩個代名詞，用其他事物也可代替。例如：

例4.某演唱會檢票前若干分鐘就有觀眾開始排隊等候入場，而每分鐘來的觀眾人數一樣多。從開始檢票到等候隊伍消失，若同時開4個入場口需50分鐘，若同時開6個入場口則需30分鐘。問如果同時開7個入場口需幾分鐘?

A.18分鐘 B.20分鐘 C.22分鐘 D.25分鐘

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一、問題描述。

牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓問題，草在不斷的生長且生長的速度固定不變，牛在不斷的吃草且每頭牛每天吃的草量相同，供不同數量的牛吃，需要不同的時間，給出牛的數量，求時間問題。

例1：牧場上一片青草，每天牧草都在勻速的生長。這片草可供10頭牛吃20天，或者15頭牛吃十天，問：可供25頭牛吃幾天?

A.4天 B.5天 C.6天 D.7天

對於這種問題我們應該怎麼去進行思考和解答呢?我們想象一下，牛在不停的吃草，草也在不停的，如果是平面模型，不好去研究與解題，不妨試試把平面二維的模型換成一維的座標模型去研究，我們把草場原有的草量設為M，有N頭牛，草自然增長的速度單位時間為X，一頭牛單位時間吃草量為1.這個時候大家對這個題型熟不熟悉呢?

其實牛吃草模型不僅僅是這一種題型，接下來我們就一個個開始研究。

二、常見題型

例2.由於天氣逐漸冷起來，牧場上的長不僅不生長，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或者可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天?

A.4 B.5 C.6 D.7

3. 極值型牛吃草。要想草吃不完，最多放多少頭牛。

例3.牧場上有一片青草，每天牧草都在勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問為了保持草永遠吃不完，最多能放多少頭牛?

A.4 B.5 C.6 D.7

到這相信大家對牛吃草問題掌握的都比較好了，那麼請大家思考一個問題，牛吃草一定要有牛和草嗎?不是的，牛和草知識問題中的兩個代名詞，用其他事物也可代替。例如：

例4.某演唱會檢票前若干分鐘就有觀眾開始排隊等候入場，而每分鐘來的觀眾人數一樣多。從開始檢票到等候隊伍消失，若同時開4個入場口需50分鐘，若同時開6個入場口則需30分鐘。問如果同時開7個入場口需幾分鐘?

A.18分鐘 B.20分鐘 C.22分鐘 D.25分鐘

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牛吃草問題雖然現在出現的頻率沒有那麼高了，但是在近幾年的國家公務員考試中還是偶有出現，因此大家仍然不可以忽略這種題型。牛吃草問題本身難度就很大，近期考查中又出現了多種變形，因此需要考生更加細緻地去掌握這些知識。

一、典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的總量隨牛吃的天數不斷地變化。

牛吃草問題存在兩個不變數：草地最初的總草量和每天生長出來的草量。

二、技巧方法

(一)推導法

推導法的步驟：

①假設1頭牛1天吃的草量為1，根據不同頭數的牛所吃草的天數不同，計算出草地每天長草的量;

②計算草地原有的草量;

(二)公式法

三、例題精講

例題1：有一個牧場，每天都生長相同數量的草，若放50頭牛，則9天吃完牧場的草;若放40頭牛，則12天吃完。問若放30頭牛，則多少天吃完?

A.15 B.18 C.20 D.24

解析：設每頭牛每天吃的草量為1，則每天長的草量為(40×12-50×9)÷(12-9)=10，最初的草量為(50-10)×9=360。若放30頭牛，則360÷(30-10)=18天吃完。

例題2：牧場有一片青草，每天生長速度相同。現在這片牧場可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一頭牛一天的吃草量等於4只羊一天的吃草量，那麼10頭牛與60只羊—起吃可以吃多少天?

A.7 B.8 C.12 D.15

解析：題幹中存在兩種動物，計算時很不方便，根據“一頭牛一天吃草量等於4只羊一天的吃草量”，將所有動物轉化為牛，從而將原問題轉化為標準問題：“牧場有一片青草，每天生成速度相同。現在這片牧場可供16頭牛吃20天，或者供20頭牛吃12天，那麼25頭牛一起吃可以吃多少天?”

設每頭牛每天的吃草量為1，則每天的長草量為(16×20-20×12)÷(20-12)=10，原有的草量為(16-10)×20=120，故可供25頭牛吃120÷(25-10)=8天。

例題3：有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完，21頭牛8天可以將草吃完，要使牧草永遠吃不完，至多可以放牧多少頭牛?

A.8 B.10 C.12 D.14

解析：要使牧草永遠吃不完，那麼牛最多隻能吃完每天所長的草量。設每頭牛每天吃的草量為1，則每天新長的草量為(21×8-24×6)÷(8-6)=12，可最多供12頭牛吃1天，因此要使牧草永遠吃不完，至多可放牧12頭牛。

牛吃草問題是行測當中經常會考到的題型，在2017省考中還出現了一道牛吃草問題的變形題，難倒了很多考生。但是其實牛吃草問題已經是相對來說比較固定的模型了，解題方法和思路也是比較固定的，如果能將這些解題思路和公式熟練掌握，牛吃草問題也就迎刃而解了;反之，如果不能掌握相應的解題方法的話，這一個相對來說比較容易的知識點就會變成公考路上的攔路虎。今天中公教育專家就帶大家一起來探究下相遇型牛吃草問題的解題思路。

一、題型特徵

相遇型牛吃草問題的典型題型特徵：

1、題目呈排比句式

2、原始量受兩個因素影響，且相遇型牛吃草的兩個因素對原始量都是消耗

二、模型求解方法

原始草量M=(牛吃草的速度﹢草生長的速度)×時間

(其中：M為原始草量，N為牛的數量，x為草枯萎的速度，t為時間)

三、例題剖析

例題1.由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天?

A.3 B.5 C.6 D.7

【中公解析】B。這道題目題幹主體呈排比句式，並且草場上的草在勻速枯萎，與此同時牛也在均勻的吃草，牛吃草與草均勻枯萎對於原始草量都是在消耗，故這是一道典型的相遇型牛吃草問題。設每頭牛每天吃1份草，則牛吃草的速度可轉換為牛的數量，並且設草生長的速度為x，可供n頭牛吃10天。則原始草量M=(20+x)×5=(15+x)×6=(n+x)×10 ，解得x=10，n=5，即如果放5頭牛，10天可以吃完牧草。