會解三元一次方程組．透過解三元一次方程組的學習，提高邏輯思維能力.培養抽象概括的數學能力．重點、難點： 三元一次方程組的解法．解法的技巧．重點難點分析：1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程組的概念 一般地，由幾個一次方程組成，並且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組. 例如， 等都是三元一次方程組. 三元一次方程組的一般形式是：3.三元一次方程組的解法 （1）解三元一次方程組的基本思想 解二元一次方程組的基本思想是消元，即把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，由此可以聯想解三元一次方程組的基本思想也是消元，一般地，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而變三元為二元，然後解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最後再求出另一個未知數. （2）怎樣解三元一次方程組？解三元一次方程組例題 1.解方程組 法一：代入法 分析：仿照前面學過的代入法，將（2）變形後代入（1）、（3）中消元，再求解． 解：由（2），得 x=y+1． （4） 將（4）分別代入（1）、（3）得 解這個方程組，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程組的解是 法二：加減法 解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4） 由（2），（4）組成方程組 解這個方程組，得 把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7． 因此，方程組的解是 法三：技巧法 分析：發現（1）＋（2）所得的方程中x與z的係數與方程（3）中x與z的係數分別對應相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到關於y的一元一次方程，求出y值後再代回，即可得到關於x、y的二元一次方程組 解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9． 把y=9代入（2），得 x=10． 把x=10，y=9代入（1），得 z=7． 因此，方程組的解是 注意： （1）解答完本題後，應提醒同學們不要忘記檢驗，但檢驗過程一般不寫出. （2）從上述問題的一題多解，使我們體會到，靈活運用代入法或加減法消元，將有助於我們迅速準確 求解方程組． 2.解方程組 分析：在這個方程組中，方程（1）只含有兩個未知數x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程組． 解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4） 把方程（1），（4）組成方程組 解這個方程組，得， 把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y= 因此，方程組的解是 3.解方程組 分析：用加減法解，應選擇消去係數絕對值的最小公倍數最小的未知數. 解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5） 由（4）與（5）組成方程組 解這個方程組，得 把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13， 所以 z=1． 因此，方程組的解是 4.解方程組 分析：題目中的y:x=3:2,即y= 法一：代入法 解：由（2）得x=y (4) 由（3）得z= (5) 將（4），（5）代入（1），得+y+y=111 所以 y=45． 把y=45分別代入（4）、（5），得x=30，z=36． 因此，方程組的解是 法二：技巧法 分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可設x=10k，y=15k，z=12k．將它們一起代入（1）中求出k值，從而求出x、y、z的值． 解：由（2），得x∶y=2∶3， 即x∶y=10∶15． 由（3），得y∶z=5∶4， 即y∶z=15∶12． 所以 x∶y∶z=10∶15∶12． 設x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111， 所以 k=3． 故x=30，y=45，z=36． 因此，方程組的解是 5.解方程組 分析： 1) 觀察原方程組，我們準備先消去哪一個未知數？ 2) 為什麼要先消去z?注意到三個方程中都含有三個未知數，而在方程(3)中z一項的係數是-1，所以未 知數z易消. 3) 怎樣在(1)和(2)中消去z? 4) 解這個關於x、y的方程組，求x和y的值是多少？ 5) 怎樣去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？ 解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4) (3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5) (4)、(5)組成方程組 解得 把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18, 所以z=-3, 所以 總結：解三元一次方程組的一般步驟： 1.利用代入法或加減法，把方程組中的某一個未知數消去，得到關於另外兩個未知數的二元一次方程 組； 2.解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數的值； 3.將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個係數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程； 4.解這個一元一次方程，求出最後一個未知數的值； 5.將求得的三個未知數的值用“｛”合寫在一起，即可.練習： 1．解方程組 2．解方程組 3．已知方程組 的解使代數式x-2y+3z的值等於-10，求a的值.練習答案 1． 分析：根據各方程中係數的特點，將方程(1)分別與方程(2)、方程(3)組成兩組，利用加減法消去y比較簡便. 解：(1)+(2), 有 5x-z=14 (4) (1)+(3), 有 4x+3z=15 (5) 再解由(4)、(5)構成的二元一次方程組 (4)×3, 得15x-3z=42 (6) (5)+（6），得19x=57, x=3. 把x=3代入(4)，得z=1. ∴ 把x=3, z=1代入(3)，得y=8. 因此，方程組的解是 注意：解三元一次方程組，要先根據各方程的特點，靈活地確定消元步驟和消元方法，不要盲目消元. 2． 法－：代入法 解：由(1)，得3y=2x, (4) 由(2)得 5z=y， (5) 把(4)和(5)代入(3)，得， 解得y=10. 把y=10分別代入(4)和(5)，得 因此，方程組的解是 法二：技巧法 解：由(1)，得x∶y=15∶10(根據分數的基本性質)， 由(2)，得y∶z=10∶2. ∴ x∶y∶z=15∶10∶2. 設x=15k, y=10k, z=2k 並代入(3)， 得15k+10k-2×2k=21,解得 k=1. ∴ x=15, y=10, z=2. ∴ 小結：此方程組是三元一次方程組，這類方程組一般有兩種基本解法，一是將比例式化為等積式，把(1)變為，(2)變為，然後代入(3)，可消去兩個未知數x和z，得到關於y的一元一次方程；二是把方程(1)和(2)的兩個比統一為x∶y∶z=15∶10∶2然後設每一份為k,即x=15k, y=10k, z=2k，代入方程(3)可求出k，進而求得x, y, z的值. 3． 分析：由題意可知，此方程組中的a是已知數，x、y、z是未知數，先解方程組，求出x、y、z（含有a的代數式），然後把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z=-10，可得關於a的一元一次方程.解這個方程，即可求得a的值. 法－： 解：(2)-(1)，得z-x=2a (4) (3)+(4)，得2z=6a, z=3a. 把z=3a分別代入(2)和(3)，得y=2a, x=a. ∴ 把x=a, y=2a, z=3a代入x-2y+3z=-10， 得a-2×2a+3×3a=-10, 解得. 法二：技巧解法 解：(1)+(2)+(3)，得2(x+y+z)=12a, 即x+y+z=6a (4) (4)-(1),得z=3a; (4)-(2),得x=a; (4)-(3),得y=2a. ∴以下同解法－，略. 注意：當方程組中三個方程的未知數的係數都相同時，可以運用此題解法二中的技巧解這類三元一次方程組.
會解三元一次方程組．透過解三元一次方程組的學習，提高邏輯思維能力.培養抽象概括的數學能力．重點、難點： 三元一次方程組的解法．解法的技巧．重點難點分析：1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程組的概念 一般地，由幾個一次方程組成，並且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組. 例如， 等都是三元一次方程組. 三元一次方程組的一般形式是：3.三元一次方程組的解法 （1）解三元一次方程組的基本思想 解二元一次方程組的基本思想是消元，即把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，由此可以聯想解三元一次方程組的基本思想也是消元，一般地，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而變三元為二元，然後解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最後再求出另一個未知數. （2）怎樣解三元一次方程組？解三元一次方程組例題 1.解方程組 法一：代入法 分析：仿照前面學過的代入法，將（2）變形後代入（1）、（3）中消元，再求解． 解：由（2），得 x=y+1． （4） 將（4）分別代入（1）、（3）得 解這個方程組，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程組的解是 法二：加減法 解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4） 由（2），（4）組成方程組 解這個方程組，得 把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7． 因此，方程組的解是 法三：技巧法 分析：發現（1）＋（2）所得的方程中x與z的係數與方程（3）中x與z的係數分別對應相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到關於y的一元一次方程，求出y值後再代回，即可得到關於x、y的二元一次方程組 解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9． 把y=9代入（2），得 x=10． 把x=10，y=9代入（1），得 z=7． 因此，方程組的解是 注意： （1）解答完本題後，應提醒同學們不要忘記檢驗，但檢驗過程一般不寫出. （2）從上述問題的一題多解，使我們體會到，靈活運用代入法或加減法消元，將有助於我們迅速準確 求解方程組． 2.解方程組 分析：在這個方程組中，方程（1）只含有兩個未知數x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程組． 解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4） 把方程（1），（4）組成方程組 解這個方程組，得， 把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y= 因此，方程組的解是 3.解方程組 分析：用加減法解，應選擇消去係數絕對值的最小公倍數最小的未知數. 解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5） 由（4）與（5）組成方程組 解這個方程組，得 把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13， 所以 z=1． 因此，方程組的解是 4.解方程組 分析：題目中的y:x=3:2,即y= 法一：代入法 解：由（2）得x=y (4) 由（3）得z= (5) 將（4），（5）代入（1），得+y+y=111 所以 y=45． 把y=45分別代入（4）、（5），得x=30，z=36． 因此，方程組的解是 法二：技巧法 分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可設x=10k，y=15k，z=12k．將它們一起代入（1）中求出k值，從而求出x、y、z的值． 解：由（2），得x∶y=2∶3， 即x∶y=10∶15． 由（3），得y∶z=5∶4， 即y∶z=15∶12． 所以 x∶y∶z=10∶15∶12． 設x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111， 所以 k=3． 故x=30，y=45，z=36． 因此，方程組的解是 5.解方程組 分析： 1) 觀察原方程組，我們準備先消去哪一個未知數？ 2) 為什麼要先消去z?注意到三個方程中都含有三個未知數，而在方程(3)中z一項的係數是-1，所以未 知數z易消. 3) 怎樣在(1)和(2)中消去z? 4) 解這個關於x、y的方程組，求x和y的值是多少？ 5) 怎樣去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？ 解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4) (3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5) (4)、(5)組成方程組 解得 把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18, 所以z=-3, 所以 總結：解三元一次方程組的一般步驟： 1.利用代入法或加減法，把方程組中的某一個未知數消去，得到關於另外兩個未知數的二元一次方程 組； 2.解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數的值； 3.將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個係數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程； 4.解這個一元一次方程，求出最後一個未知數的值； 5.將求得的三個未知數的值用“｛”合寫在一起，即可.練習： 1．解方程組 2．解方程組 3．已知方程組 的解使代數式x-2y+3z的值等於-10，求a的值.練習答案 1． 分析：根據各方程中係數的特點，將方程(1)分別與方程(2)、方程(3)組成兩組，利用加減法消去y比較簡便. 解：(1)+(2), 有 5x-z=14 (4) (1)+(3), 有 4x+3z=15 (5) 再解由(4)、(5)構成的二元一次方程組 (4)×3, 得15x-3z=42 (6) (5)+（6），得19x=57, x=3. 把x=3代入(4)，得z=1. ∴ 把x=3, z=1代入(3)，得y=8. 因此，方程組的解是 注意：解三元一次方程組，要先根據各方程的特點，靈活地確定消元步驟和消元方法，不要盲目消元. 2． 法－：代入法 解：由(1)，得3y=2x, (4) 由(2)得 5z=y， (5) 把(4)和(5)代入(3)，得， 解得y=10. 把y=10分別代入(4)和(5)，得 因此，方程組的解是 法二：技巧法 解：由(1)，得x∶y=15∶10(根據分數的基本性質)， 由(2)，得y∶z=10∶2. ∴ x∶y∶z=15∶10∶2. 設x=15k, y=10k, z=2k 並代入(3)， 得15k+10k-2×2k=21,解得 k=1. ∴ x=15, y=10, z=2. ∴ 小結：此方程組是三元一次方程組，這類方程組一般有兩種基本解法，一是將比例式化為等積式，把(1)變為，(2)變為，然後代入(3)，可消去兩個未知數x和z，得到關於y的一元一次方程；二是把方程(1)和(2)的兩個比統一為x∶y∶z=15∶10∶2然後設每一份為k,即x=15k, y=10k, z=2k，代入方程(3)可求出k，進而求得x, y, z的值. 3． 分析：由題意可知，此方程組中的a是已知數，x、y、z是未知數，先解方程組，求出x、y、z（含有a的代數式），然後把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z=-10，可得關於a的一元一次方程.解這個方程，即可求得a的值. 法－： 解：(2)-(1)，得z-x=2a (4) (3)+(4)，得2z=6a, z=3a. 把z=3a分別代入(2)和(3)，得y=2a, x=a. ∴ 把x=a, y=2a, z=3a代入x-2y+3z=-10， 得a-2×2a+3×3a=-10, 解得. 法二：技巧解法 解：(1)+(2)+(3)，得2(x+y+z)=12a, 即x+y+z=6a (4) (4)-(1),得z=3a; (4)-(2),得x=a; (4)-(3),得y=2a. ∴以下同解法－，略. 注意：當方程組中三個方程的未知數的係數都相同時，可以運用此題解法二中的技巧解這類三元一次方程組.