平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，

推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得：

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理後得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，

推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，

代人上式整理後得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

擴充套件資料：

平方和就是2個或多個數的平方相加。通常是一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。

平方和公式：

，即

。

證法五 （拆分，直接推導法）：

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

...

(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+...+[2n-1]

求和得：

……(*)

因為前n項平方和與前n-1項平方和差為n²

代入(*)式，得：

此式即

分解步驟如下：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解題時常用它的變形：

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)和a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加：

正整數範圍中

注：可用數學歸納法證明