利用立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

所以：n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1

則：

1³=3×1²-3×1+1

2³-1³=3×2²-3×2+1

……

n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1

上述等式相加得到：n³=3×(1²+2²+3²+……+n²)-3×(1+2+3+……+n)+n

==> n³=3∑n²-3×[n(n+1)/2]+n

==> 3∑n²=n³+[3n(n+1)/2]-n=(2n³+3n²+3n-2n)/2

==> 3∑n²=[n(2n²+3n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/2

所以，∑n²=n(n+1)(2n+1)/6

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6

推導：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把這n個等式兩端分別相加：

(n+1)^3－1=

3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n

又有

1+2+3+...+n=(n+1)n/2

代入上式並整理得

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。