可以呀。前兩天我和朋友聊天正好說過這件事，於是把那次的聊天記錄粘來得了：

我們對於數的理解是有問題的。這句話可能也不對，因為至今我們似乎對於數還沒有一個明確的理解。就是說還沒有人能夠說清數是什麼東西，儘管我們在這個說不清的基礎上建立了高等數學。要想說清這個東西需要做很多的鋪墊，這就如同你要給玩手機的人介紹手機的設計和生產過程一樣，要介紹的東西和玩手機一點關係都沒有，因此，需要做許多的鋪墊，是一個道理。我們把數學玩的溜溜轉，但古人是如何發明輸入的，我們卻一點也不知道。古人做的那些工作和我們現在的高等數學一點關係都沒有。因此，我問你數是什麼，你答不上來，是再正常不過的了，沒必要臉紅。因為這個問題非常複雜，涉及的面又廣，和高等數學又沒有什麼直接的關係，更何況他是一個非常小眾的研究方向，100年來好像也沒有人在這方面取得實質性的成果，因為羅素以後好像就沒有專門研究數學哲學的哲學家了。人類最後一批思想家基本都生活在愛因斯坦生活的那個年代，人類最後一批思想家基本都生活在愛因斯坦生活的那個年代，包括物理學家數學家邏輯學家哲學家等等，隨便拿出一個來就比剛死的霍金在世楊振寧他們強百倍，科學的出路沒在當代科學家的頭腦中，科學的出路依然在百年前那些思想家和科學家的靈魂中。科學的進步已經斷檔了一百年，人類應該從100年前爬起，因為基礎還在那裡。前兩天我說過，愛因斯坦生活在哲學高度發達的年代，別的我不知道，我知道他跟那個叫哥德爾哲學家關係非常好。到了霍金就不行了他沒有哲學家的朋友，也沒有可配做他朋友的哲學家，於是他詛咒哲學已死。愛因斯坦說他的成績得益於馬赫思想，而依我看，要走出當代物理學的困境，仍然需要馬赫或者類似馬赫的思想。哲學真的太墮落了，這樣的話也只能出自於處在前沿的物理學家的口中，一般的科學家根本體會不到沒有哲學幫助的困惑，一般的科學家根本體會不到沒有哲學家在一旁出主意瞎攪和的困惑和孤獨。一般的科學家把三百年前的知識都學到一輩子都學不完。他們根本就不會感到孤獨，他們有的是該看的教科書作倍伴，有的是該學的前人知識，有的是需要重複做的實驗。剛才是誰呀，回答的我那句話體現的就是這種狀態，他說什麼哲學呀我就知道物理。 伽利略當初做那個落球實驗的時候，他在那個斜坡上標了一些個數，那些個數他研究過，但是他沒有最後形成理論，這是一件非常遺憾的事情。馬赫不認為自己是哲學家，更不會認可自己是個唯心論者。他怎麼辯解的我記不清了，反正他死不承認自己是哲學家，並且得非常討厭哲學。我想如果說他是一個考慮身心問題的科學家，也許他會承認吧。如果是這樣的話，在他那個時代研究這類問題的科學家有很多，德國有個科學家叫費希納，他工作後不久身體就不好，一直在屋裡邊思考問題，他的著作後來被列為心理學經典。現在很少有做這樣研究的人了。華人對唯心論存在一種偏見，一百年前的那些科學家中很少有像華人這樣對唯心唯物如此敏感的。你沒看嗎？量子力學似乎在呼喚著某種應該叫唯心論的東西，這是他們的傳統。

數是用來計數客觀事物的。一個蘋果兩個蘋果是客觀事物，勻速直線運動也是一種客觀事物，勻加速運動當然是一種客觀事物。自然數對於計數勻加速運動顯得無能為力。於是伽利略在他那個斜坡上標註的是另外一種數。這種數屬於函式範籌。函式也是一種數，如果能夠把自然數歸屬於一種特殊的函式，那麼，所有的數(包括自然數)就都統一在函式之內了。我的研究表明，用函式的觀念來理解和定義自然數會更方便。數就是唯心的東西，自然界中沒有數。數是人類在觀察自然時，由心靈給出的一種尺度，沒有這個尺度，人類就無法觀察這個世界。沒有出於純粹理性的尺度，人們就無法認識這個世界，康德在他的《純粹理性批判》中主要論述的就是這一點，他說理性為自然立法。他也曾反問自己，我這是唯心論嗎？他自己的答覆是：不。如果我這是唯心論的話，那也是科學的唯心論。需要強調的是，他否認自己是純粹的唯心主義，並非出於我們現在的華人對唯心主義的那種反感。相反，他是為強調自己學說的獨特性，才與純粹唯心主義劃清界線的。事實上，在他那個年代唯物主義就如同唯心主義在當今中國一樣臭名昭著。

數的發展大體經歷了兩個階段了。第一個階段從遠古就開始了，第二個階段大致從公元前3000年開始了，之後是兩個階段並行的時代，一直沿續到了今天。因此，今天的我們對於最定義也要分成兩個層次。對應第一階段，數的定義是：數被計數事物的等量物的符號。第二個階段是：數是被計數事物等量物的“切割面”的符號。數最重要的特點是它的符號特性。一個人是自然的，他的名字叫晴雪是人為的，不能因為世上有一個叫晴雪的人，就認為晴雪是自然的。數也是一樣。被計數的事物是自然的，與它一一對應的等量物也是自然的，數作為等量物的符號是人們後加上去的，是人為的。我們在說數的時候，其實並沒有說那些被計數事物或者與這些被計數事物對應的那些等量物，而是在說這些等量物的符號。我們的數學事實上也僅僅是在操作這些符號而已。沒人這樣地定義過數，也沒人用其他的方法明確地說過數是什麼。除非她本人的觀點，否則她拿不出第三方證人來證明我說的不對。 我在給數定義時，加入了“被計數事物”、“一一對應”、“等量物”、(“分割面”)、“符號”這些基本的概念不是為了故弄玄虛，而是為了更好地理解數是什麼。早期的數不存在分割面的問題，數就是等量物的符號，就像美式檯球上標註的符號一樣。在這個定下的數，我們還一直在沿用著。自從人類有了計量以後，應該是在古埃時代開始，一直到後來的古希臘的幾何以及現代數學的中的座標系，數有了新的用途。數的定義就應該擴充套件為：被計量事物等量物的分割面的符號。這個定義適用於現代數學下所有關於數的定義。這個定義有一個最大的特點，那就是它所定義的數，無論有多少個，也無論這些數分佈在哪裡，都不會對等量物的形狀(式)產生任何影響，因為所謂“切割面”是一個厚度為0的二維面。我們現在所用的數軸上那些用於標註單位的小短線就可以視為是這種切割面的剖面。在數軸上，線們給那些小短線標註的東西就是數。你能發現這種數與美式檯球上所標註的數是有所區別的，這涉及到數的功能，輸了功能大致有三種，一種是計數，這是最原始的功能，一種是計量，這也是現代數學的功能，還有一種是排序，就是確定事物前承後繼關係的功能。關於數的功能還有很多內容，這裡我就不說了。對，被計數的事物往往沒有相同的，它的等量物也不必相同。現代數學把這類被計數的事物一併納入到被計量的事物中了，於是牲畜的存欄數也可以表示在座標系中了。關於數的這些不太被人注意的現象的發生與演化，使得我們對數的理解造成了極大的困難。 一開始我說數是人為的，或者乾脆說它是一種形而上學。這種形而上學的直接反映就是我們在紙上畫的那個座標系。反對形而上學的人如果說：“誰讓你這麼畫的？”我們將無言以對。除了剛才那種形而上學的數以外，還有一種屬於知識的數。當然這種數是建立在形而上學基礎上的，我們之所以稱為知識是因為他是有形而上學的基礎。形而上學本身不必要有基礎，但知識的基礎可以是形而上學。座標系上的函式就屬於這種知識的數。請你記住吧！座標系，就是一種形而上學，座標系上的函式就是建立在這種形而上學基礎上的知識，因此函式也就屬於知識的數了。知識的數是透過一問一答的形式來實現的，函式就是這種“一問一答”的表現形式。函式是這樣實現的：ｘ軸不僅標註著形而上學的數，還掌握著這些數的法則。這些遵循的一定法則的數是透過ｙ軸對x軸的詢問來實現的，ｙ軸從ｘ軸所獲得的結果標註在座標系上，最終形成函式的影象。這些影象不再是人為規定，而是按照一定的法則來決定的了，於是我們說它屬於知識的數，不是胡來的。這些知識的數就是現代數學的基礎。按照現在數學分類，數有兩種，一種是常量函式，一種是變數函式。自然數是常量函式中的一種特殊的數，特殊在於它的法則很簡單，就是個“1”。在座標系中，自然數是過原點的一條45度的斜線。從本質上講，所謂“數學”指的就是研究各種函式以及各種函式之間關係的學問。這些函式包括常量函式和變數函式，當然也包括自然數，於是所謂數學的“數”指的就是函數了。函式與算術中的數是有區別的，這種區別體現在計量和計數的不同，也就是說體現在數的功能差異上。當數僅體現其計數的功能時，關於它的學問就屬於算術，算術是用不著座標系的，更用不著函式，有個數軸就夠了。我們說過，數軸上的數是屬於形而上學的數，那麼我們是否可以說算術也是一種形而上學呢？答案是肯定的，至今我們無法證明1+1=2就充分說明了這個道理。 現在我們把所有的數都歸結為函數了，並且我們可以放心的接納它們，因為它的已經被我們認為是知識的數了。接下來我們就可以集中精力去分析研究那些形而上學的數，也就那些標註在數軸上的數了。我必須強調，接下來的分析是形而上學的，並非老虎所說的自然的。這些分析的最終成果將形成更為基礎的形而上學，它是用來說明數軸上的數的，是為了使數軸上的數擺脫它那個層次的形而上學而成為我們的知識。 我發現，由於歷史的原因，我們關於數的知識是極其的匱乏的，造成今天，當我要給數下定義的時候顯得詞彙不夠用。我想說，我最終所要下定義的數是數軸上那些表示單位的小豎線的符號，前面我已經說過，那些小豎線實質上是一個個二維的面的側投影。這段話的意思是：數並非數軸上的點，也不是數軸上的單位，不是標註單位的那些小線段，也不是那些小線段所反應的二維切面，而是這些二維切面的符號。論述中，我不可避免地會經常提到數，要注意它們與我要給其下定義的數的區別。 不僅數這個詞彙不夠用，單位這個詞其實也不夠用。單位有兩種，你說的那個米、公斤屬於計量上的單位。數也是有單位的，數的單位和數里的“1”也是有區別的。羅素在他的《數理哲學導論》中用了很長的篇幅介紹數和數的單位，我看他也沒有把這個問題說得很清楚。不過，當我在說單位的時候，指的就是數的單位，不是計量單位。我再給數做定義時涉及不到計量單位。 另外，我還要強調，數有自己的發展史的，但是我的論述將不會顧及這些歷史的脈絡關係，因為畢竟我是在試圖建立一種關於數的形而上學體系，而非講述數學史，儘管它可能要涉及某些數的歷史內容。

數是符號。在數軸上，這符號就是給那些標註單位長度的小豎線所起的名字。那些小豎線實際上是一個二維面的投影，他原本的二維面是插在緊挨著的兩條直經為1/∞長度為1的線段之間的面，於是符號實質上便是給那些二維的面所起的名字了。 每個兩個相鄰二維面之間，是由∞多個上述線段一條緊挨著一條平鋪而成的正方形，這個正方形的一條邊的長度就是上述線段的長度1，另一條也是1，只不過這個1是由∞多個1/∞所構成的。我們的數軸就是由∞多個如此相鄰二維面和∞²個那樣的線段構成的一條寬度為1，厚度為1/∞的一條數帶。只不過，我們在畫數軸的時候僅僅畫了數帶的側投影，於是，在數軸上，我們只能看見前面說的那些小豎線以及小豎線之間∞個一條緊挨著一條平鋪著的直徑為1/∞、長度為1的線段的縱向投影。在兩個相鄰小豎線之間，這投影是由∞個1/∞為直徑的點構成的。由於有∞個那樣的小豎線，也就有∞²多個那樣的點，數軸的“軸”就是由這些點構成的。每一個點就是一個有理數，數軸上有∞²個那樣的點，就有∞²個有理數。每加兩個相鄰二維面之間都有∞個那樣的點，又由於那些點的直徑是1/∞，所以兩個每兩個相近的二維面之間的距離均為1。 由於無理數不在數軸上，而是在數帶上。因此，無理數比有理數多∞多倍。由於數軸只能表現數帶的一條長邊，無理數也不能在數軸上表現出來。 關於數軸還有很多內容可以說，例如，數軸上無論有多少二維的面都不會影響有理數的位置。事實上，允許由有∞²多個二維的面，在此種情況下，每兩個相鄰二維面之間又只有一個有理數和∞多個無理數了。好了，這已經讓人很頭疼了，當然這裡一定包含了我表達上的缺陷。我們說的是，我把看似簡單的數軸說得的如此複雜，目的是把所有的數都統一在一個形而上學的基礎上，於是這個基礎要足夠結實和寬綽。在這上面花點功夫是值得的。 複數由虛數發展來的，虛數是由√1發展來的。只要仔細觀察一下複述的發展歷史就會發現，它的每一步的離奇程度都不亞於我咋天說的那些內容。數學史上，類似的事情比比皆是。我的意思不是說我昨天說的那些話有多偉大，是說可以寬容地看待它。數學是在一次次的危機和一次次的掩蓋中度過的，是在一個個看似匪夷所思的創意想法和一個個離奇古怪的解決方案中發展起來的。說起來太麻煩，我就畫了一張圖，這樣是不是能夠把極限的那個數學危機給解決了

仔細分析極限的概念，我發現，我昨天給數下的兩個層次的定義，似乎被他們同時使用著。他們既要在2上找切線，又認為這個2就是理方法或許就是那次危機的真正根源。這裡的關鍵是，數不是曲線上的某個點，而是曲線上緊挨著的兩個點之間的那張二維面的符號。我們所求的導數是這個面的導數，因為這個面是數，數不是那些曲線上的點。這個面的導數就是隔著這個二維面而緊挨著的兩個點的斜率。所謂求導也就是找出這兩個點所在的斜線。 關於極限的這些話題本不應該現在就說，因為還有許多關於數的概念沒有介紹清楚，比如關於零是什麼，無窮大和無窮小是什麼，以及變數函式和常量函式，當我們有了這些知識以後，並且在提到這些知識的應用時再談剛才的話題也不晚。 依著第二種定義數的方法，重新定義一下切點，對於數學的理論和應用沒有任何影響。那個圖畫的有點比例太大了。在分析極限時，那個二維面兩側的數不是自然數，應該是兩個緊挨著的分母為無窮大的分數，於是，圖中第二種方法中二維面下邊那個數應該是(2∞-1)/∞，上邊那個數應該是(2∞+1)/∞。所以我覺得，在沒有說清楚無窮大和無窮小以及0之前，還不適合說極限這個的事情。 讓“曲線與直線只有一個點重合”是不可能的。第二次數學危機好像就是讓貝克萊抓住了這個尾巴造成的引發的，後來有一個人引出了極限概念，他們說把這個問題解決了，但實際上那個人說的一踏糊塗，我估計懂數學的人99%的人都不知道他在說什麼。數學的三次危機實際上一個都沒有度過，都是馬虎過去了。我那種關於導數的思想，是用±1/∞精確性換來了100/100確定性。 說起來挺奇怪的，數學家現在誰都不敢說無窮小。數學家在好多關於數基本問題上的態度都是非常搞笑的。我記得以前說過這句話，忘了在哪裡說的了。有人聽了之後感覺特別彆扭，為此我修改了半天，就為這麼一句。 說起來挺奇怪的，數學家現在誰都不敢說無窮小。數學家在好多關於數基本問題上的態度都是非常搞笑的。我記得以前說過這句話，忘了在哪裡說的了。有人聽了之後感覺特別彆扭，為此我修改了半天，就為這麼一句。無窮大起先也是沒人敢說。康托爾就困為說了無窮大，最後精神分裂了。我不知道將來有人說無窮小時侯，他會不會精神分裂。沒有無窮小哪來的無窮大？所謂的“無窮大”指的是什麼東西在無窮大？沒有還好，如果有，那樣的東西相對於無窮大來說，不就是無窮小嗎？無窮大和無窮小都應該是數學理論中的重要資源，一百年前開發了一半，不知道怎麼了，一百年來，另一半一直沒有得到開發。數學在它的基礎方面一點也不像在高等數學方面表現得那麼優雅，特猥瑣。