除了初等數學、微積分、複分析等以外，還需要熟練掌握與電動力學相關的向量場與標量場的操作基本功。摘要如下。以下分享一些最重要的。
理論簡介：
光電動力學的超對稱原理，主要是指電荷參量(E,D,H,B)與光子參量(m₀,r₀,λ,f)之間的超對稱關係，進而可以把電動力學方程，變成以光子為計算單元的量子力學方程。
理論依託：
1.1 向量乘法
兩個向量A與B在正交軸的分向量是(A₁A₂A₃)與(B₁B₂B₃)，記作：
A=A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃=ΣAiεi (i=1~3)
B=B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃=ΣBiεi (i=1~3)......(1.1-1)
式中，εi是基矢。基矢下標(1,2,3)代表直角座標(x,y,z)或球面座標(r,θ,φ)。
向量乘法包括：點乘、叉乘、張量積。
1.1.1 點乘或標量積→標量
A·B=ABcosθ......(1.1-2)
AB叫標量積或模之積，θ叫轉角或幅角。
交換律：A·B=B·A......(1.1-3)
結合律：mA·nB=mnAB......(1.1-4)
分配律：A·(B+C)=A·B+A·C......(1.1-5)
Rt系中：A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃......(1.1-6)
1.1.2 叉乘或向量積→向量
A×B=ABsinθn......(1.1-7)
n是從A轉向B且按右手螺旋前進的單位向量。
互反律：A×B=-B×A......(1.1-8)
分配律：A×(B+C)=A×B+A×C......(1.1-9)
Rt系中：A×B=△₁ε₁+△₂ε₂+△₃ε₃......(1.1-10)
其中：
△₁=A₂B₃-A₃B₂, △₂=A₃B₁-A₁B₃, △₃=A₁B₂-A₂B₁
例1. 點差乘=標量
A·(B×C)=C·(A×B)=B·(C×A)......(1.1-11)
按迴圈次序輪換，三向量有輪換對稱性。
例2. 三叉乘=向量
A×B×C=B(A·C)-C(A·B)......(1.1-12)
1.1.3 向量的張量積=度規張量積
又叫並矢，即兩向量A,B並列,中間無點叉。
τ=AB=ΣAiBjεiεj......(1.1-13)
詳見張量簡介。
1.2 標量場的梯度=向量
物理參量的空間分佈叫場。標量場，如溫度場、能量場、電勢場。向量場，如電場強度之E場、磁感應強度之B場。
溫度場描述空間各點溫度，T(xyz)是溫度場函式，若從某點出發經過dl之後，有
dT=əT/əxdx+əT/əydy+əT/əzdz......(1.2-1)
∵ dl=dxεx +dyεy+dzεz，ε是單位向量
∴ dT=(əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz)·dl
即：dT=(▽T)·dl=|▽T||dl|cosθ......(1.2-2)
式中▽T=əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz，叫溫度場T(xyz)的梯度。
當dl沿▽T方向徑向運動時θ=0，dT最大。▽T值，就是場T(xyx)在該點的最大變化率。最大變化率的方向就是▽T的方向。
梯度▽是帶單位向量的微分算符，只能對右方函式有意義。▽既是向量又是算符。
寫成：▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz
或：▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.2-3)
1.3 向量場的(高斯)散度定理
場F(xyz)透過曲面的通量=場對各點P(xyz)面元dS的積分：
開曲面的場通量：Φ=ʃʃ F·dS......(1.3-1)
閉曲面的場通量：Φ=ʃʃ₀F·dS......(1.3-2)
1.3.1 單位空間通量極限——散度(標量)
▽·F=ʃʃ₀F·dS/△V(→0)......(1.3-3)
若▽·F>0，叫有源場；
若▽·F=0，叫無源場；
若▽·F<0，叫漏或匯。
在Rt座標系中的散度：
▽·F=əFx/əx+əFy/əy+əFz/əz...(1.3-4)
1.3.2 高斯散度定理
由(1.3-3)的散度定義，可以得到：
Φ=ʃʃ₀F·dS=ʃʃʃ▽·FdV......(1.3-5)
表明：向量場F在閉曲面S的通量=內空間V內散度▽·F的體積分，即：面通↹體通。
1.4 向量場的旋度
1.4.1 向量場的環流量
F(xyz)走的閉曲線積分叫該場的環流量，即：
Γ=ʃ₀F·dl=ʃ₀Fxdx+Fydy+Fzdz......(1.4-1)
旋度，是單位面積環流量的極限，即：
▽×Fₙ=ʃ₀F·dl/△S(→0)......(1.4-2)
其▽×Fₙ是場F法向最大渦旋量，n=正法向。
若▽·F≠0，叫有旋場；
若▽·F=0，叫無旋場。
在Rt座標系中的旋度：
▽×F=(əFz/əy-əFy/əz)εx+(əFx/əz-əFz/əx)εy+(əFy/əx-əFx/əy)εz......(1.4-3)
1.4.2斯托克斯旋度定理
按旋度定義(1.4-2)，可以得到：
ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS.....(1.4-4)
場環流的線積分=場旋度▽×F的面積分。
1.5 向量場的判定條件
1.5.1 兩類向量場
純源場=無旋場=法向場=縱場，特徵：
①旋度為零：▽×A=0......(1.5-1)
②等於另一標量場梯度：A=▽φ......(1.5-2)
純旋場=無源場=切向場=橫場，特徵：
①散度為零：▽·A=0......(1.5-3)
②等於另一向量場旋度：A=▽×F......(1.5-3)
1.5.2 兩個恆等式
凡叉乘標量場梯度的必為零，即：
▽×(▽·φ)≡0......(1.5-4)
凡點乘向量場旋度的必為零，即：
▽·(▽×F)≡0......(1.5-5)
1.5.3 亥姆赫茲定理
①開放中的向量場，要考慮散度與旋度，
②封閉中的向量場，還考慮邊界的法向分量。
1.6 算符對函式的運算
1.6.1 微分算符▽作用於三種(場)函式：
①標量場φ(xyz)梯度：▽φ
②向量場F(xyx)散度：▽·F
1.6.2 ▽的定義，在直角座標系中，
▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz，或
▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz......(1.6-1)
1.6.3 ▽的兩個性質：
①向量性：使右方函式變成向量。例如▽·F是F的散度，F·▽因右方無函式故為非向量。
②微分性：三維偏導數的代號。
1.6.4 ▽的符號讀法
①▽=梯/nabla/del=哈符，
②△=▽▽=▽²=梯梯/delsquare=拉符
△=(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)=ə²/əx²+ə²/əy²+ə²/əz²
∵靠的cosθ=1，∴靠≤點。
1.6.5 ▽的運算規則
①梯靠→標靠標：▽(αβ)=α▽β+β▽α
②梯點→標靠矢：▽·(αA)=▽α·A+α▽·A
④梯點→矢叉矢：▽·(A×B)=
=(▽×A)·B-A·(▽×B)
⑤梯叉→矢叉矢：▽×(A×B)=
=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]
⑥梯靠→矢點矢：▽(A·B)=
=[A×(▽×B)+(A·▽)B]+[B×(▽×A)+(B·▽)A]
⑦梯點→梯靠標：▽·(▽α)=▽²α
1.6.6 ▽作用於複函式
①梯點→標覆函：▽·α(β)=əα/əβ▽β
②梯點→矢覆函：▽·A(β)=▽β·əA/əβ
1.6.7 ▽作用於R函式
向量：R=r-r"=(x-x")εx+(y-y")εy+(z-z")εz
標量：|R|=√[(x-x")²+(y-y")²+(z-z")²]
梯靠：▽R=R/|R|，
推廣1：▽Rⁿ=n|R|ⁿ⁻²R
推廣2：▽"R=-R/|R|=-▽R，
推廣3：▽·R=3，▽×R=0
例：證明ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS，其中m為常向量，變向量r=xεx+yεy+zεz，ε為基矢。
證明如下：
根據斯托克斯定理：ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS，
取：F=m×r，
得：ʃ₀(m×r)·dl=ʃʃ▽×(m×r)·dS，
根據梯叉矢叉矢：▽×(A×B)=
=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]，
代入有：▽×(m×r)=2m
所以有：ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS。
1.7 張量簡介
1.7.1 張量的概念
兩個向量場A(123)與B(123)的座標矩陣乘積，簡稱“並矢/並積”讀作A並B，寫成：
AB=(A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃)(B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃)
=A₁B₁ε₁ε₁+A₁B₂ε₁ε₂+A₁B₃ε₁ε₃+A₂B₁ε₂ε₁+A₂B₂ε₂ε₂+A₂B₃ε₂ε₃+A₃B₁ε₃ε₁+A₃B₂ε₃ε₂+A₃B₃ε₃ε₃......(1.7-1)
通常：AB≠BA......(1.7-2)
並矢有9個分向量(Ai靠Bi)，寫成行列式：
A₁B₁(=T₁₁) A₁B₂(=T₁₁) A₁B₃(=T₁₁)
A₂B₁(=T₂₁) A₂B₂(=T₂₂) A₂B₃(=T₂₃)
A₃B₁(=T₃₁) A₃B₂(=T₃₂) A₃B₃(=T₃₃)......(1.7-3)
在三維空間中的9分物理量叫二階張量。並矢是一般二階張量的測度規範，簡稱“度規”。
一般二階張量：T=ΣTijεiεj......(1.7-4)
其中，並矢εiεj，可作為T的9個基矢，T的分量=Tij，標量=0階張量，向量=1階張量。
案例——彈性體應力的張量解釋。
受力的彈性體，內部分子有複雜的作用力，相鄰之間的相互作用力叫內應力。
▲此例只是虛構，真實應力應從分子結構的電子雲所激發的光子分佈來探討。
任取微小四面體，斜面為面元dσ，有一P點透過dσ，相鄰dσ面的分子受到互反作用力df。其它三面是dσx,dσy,dσz沿三座標軸，大小分別為：|dσx|=dσ·εx,|dσy|=dσy·εy,|dσz|=dσz·εz，相應的作用力為：dfx,dfy,dfz。
四面體內物質受力平衡：
df-dfx-dfy-dfz=0......(1.7-5)
令dσx上應力dfx的分量為dfxx,dfxy,dfxz。考慮到dfx的大小與dσx的大小成正比，有：
dfx=dfxxεx+dfxyεy+dfxzεz，即
dfx=dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)，同理
dfy=dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)，
dfz=dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-6)
式中，Txy是沿x軸的單位面積的前方分子對後方分子作用力的y分量，其餘類推，有：
df=dfx+dfy+dfz=
dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)+
dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)+
dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-7)
引入T=ΣTijεiεj，並規定：向量從左點乘T中的第一個單位向量，即：df=dσ·T......(1.7-8)
這裡的T是一個張量，分量是Tij，i下標是應力面的法向，j下標j是應力面的切向。
對沿x軸的應力面而言，Txx是法應力(張力/伸縮力)，Txy,Txz是切應力(剪力/扭轉力)。
若Tij的9個分量已知，則對任意方向的dσ對應的df皆可求出，P點的應力就完全清楚了。
1.7.2 張量的性質
①Tij=Tji,叫對稱張量/矩陣,有6獨分量。
②Tij=-Tji,反對稱,對角元素=0,有3獨分量。
1.7.3 張量的運算，有度規T=AB
換點基：f·(εiεj)=(f·εi)εj......(1.7-10)
換叉基：f×(εiεj)=(f×εi)εj......(1.7-11)
同階張：T±D=Σ(Tij±Dij)εiεj......(1.7-12)
標靠張：αT=Σ(αTij)εiεj......(1.7-13)
矢點張：f·T=ΣTf·(εiεj)......(1.7-14)
矢點張：f·T=f·(AB)=(f·A)B......(1.7-15)
張點矢：T·f=(AB)·f=A(B·f)......(1.7-16)
對稱點：Tij=Tji，f·T=T·f......(1.7-17)
反對點：Tij=-Tji，f·T=-T·f......(1.7-18)
矢叉張：f×T=ΣTij×(εiεj)......(1.7-19)
矢叉並：f×T=f×(AB)=(f×A)B......(1.7-20)
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除了初等數學、微積分、複分析等以外，還需要熟練掌握與電動力學相關的向量場與標量場的操作基本功。摘要如下。以下分享一些最重要的。
理論簡介：
光電動力學的超對稱原理，主要是指電荷參量(E,D,H,B)與光子參量(m₀,r₀,λ,f)之間的超對稱關係，進而可以把電動力學方程，變成以光子為計算單元的量子力學方程。
理論依託：
1.1 向量乘法
兩個向量A與B在正交軸的分向量是(A₁A₂A₃)與(B₁B₂B₃)，記作：
A=A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃=ΣAiεi (i=1~3)
B=B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃=ΣBiεi (i=1~3)......(1.1-1)
式中，εi是基矢。基矢下標(1,2,3)代表直角座標(x,y,z)或球面座標(r,θ,φ)。
向量乘法包括：點乘、叉乘、張量積。
1.1.1 點乘或標量積→標量
A·B=ABcosθ......(1.1-2)
AB叫標量積或模之積，θ叫轉角或幅角。
交換律：A·B=B·A......(1.1-3)
結合律：mA·nB=mnAB......(1.1-4)
分配律：A·(B+C)=A·B+A·C......(1.1-5)
Rt系中：A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃......(1.1-6)
1.1.2 叉乘或向量積→向量
A×B=ABsinθn......(1.1-7)
n是從A轉向B且按右手螺旋前進的單位向量。
互反律：A×B=-B×A......(1.1-8)
分配律：A×(B+C)=A×B+A×C......(1.1-9)
Rt系中：A×B=△₁ε₁+△₂ε₂+△₃ε₃......(1.1-10)
其中：
△₁=A₂B₃-A₃B₂, △₂=A₃B₁-A₁B₃, △₃=A₁B₂-A₂B₁
例1. 點差乘=標量
A·(B×C)=C·(A×B)=B·(C×A)......(1.1-11)
按迴圈次序輪換，三向量有輪換對稱性。
例2. 三叉乘=向量
A×B×C=B(A·C)-C(A·B)......(1.1-12)
1.1.3 向量的張量積=度規張量積
又叫並矢，即兩向量A,B並列,中間無點叉。
τ=AB=ΣAiBjεiεj......(1.1-13)
詳見張量簡介。
1.2 標量場的梯度=向量
物理參量的空間分佈叫場。標量場，如溫度場、能量場、電勢場。向量場，如電場強度之E場、磁感應強度之B場。
溫度場描述空間各點溫度，T(xyz)是溫度場函式，若從某點出發經過dl之後，有
dT=əT/əxdx+əT/əydy+əT/əzdz......(1.2-1)
∵ dl=dxεx +dyεy+dzεz，ε是單位向量
∴ dT=(əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz)·dl
即：dT=(▽T)·dl=|▽T||dl|cosθ......(1.2-2)
式中▽T=əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz，叫溫度場T(xyz)的梯度。
當dl沿▽T方向徑向運動時θ=0，dT最大。▽T值，就是場T(xyx)在該點的最大變化率。最大變化率的方向就是▽T的方向。
梯度▽是帶單位向量的微分算符，只能對右方函式有意義。▽既是向量又是算符。
寫成：▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz
或：▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.2-3)
1.3 向量場的(高斯)散度定理
場F(xyz)透過曲面的通量=場對各點P(xyz)面元dS的積分：
開曲面的場通量：Φ=ʃʃ F·dS......(1.3-1)
閉曲面的場通量：Φ=ʃʃ₀F·dS......(1.3-2)
1.3.1 單位空間通量極限——散度(標量)
▽·F=ʃʃ₀F·dS/△V(→0)......(1.3-3)
若▽·F>0，叫有源場；
若▽·F=0，叫無源場；
若▽·F<0，叫漏或匯。
在Rt座標系中的散度：
▽·F=əFx/əx+əFy/əy+əFz/əz...(1.3-4)
1.3.2 高斯散度定理
由(1.3-3)的散度定義，可以得到：
Φ=ʃʃ₀F·dS=ʃʃʃ▽·FdV......(1.3-5)
表明：向量場F在閉曲面S的通量=內空間V內散度▽·F的體積分，即：面通↹體通。
1.4 向量場的旋度
1.4.1 向量場的環流量
F(xyz)走的閉曲線積分叫該場的環流量，即：
Γ=ʃ₀F·dl=ʃ₀Fxdx+Fydy+Fzdz......(1.4-1)
旋度，是單位面積環流量的極限，即：
▽×Fₙ=ʃ₀F·dl/△S(→0)......(1.4-2)
其▽×Fₙ是場F法向最大渦旋量，n=正法向。
若▽·F≠0，叫有旋場；
若▽·F=0，叫無旋場。
在Rt座標系中的旋度：
▽×F=(əFz/əy-əFy/əz)εx+(əFx/əz-əFz/əx)εy+(əFy/əx-əFx/əy)εz......(1.4-3)
1.4.2斯托克斯旋度定理
按旋度定義(1.4-2)，可以得到：
ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS.....(1.4-4)
場環流的線積分=場旋度▽×F的面積分。
1.5 向量場的判定條件
1.5.1 兩類向量場
純源場=無旋場=法向場=縱場，特徵：
①旋度為零：▽×A=0......(1.5-1)
②等於另一標量場梯度：A=▽φ......(1.5-2)
純旋場=無源場=切向場=橫場，特徵：
①散度為零：▽·A=0......(1.5-3)
②等於另一向量場旋度：A=▽×F......(1.5-3)
1.5.2 兩個恆等式
凡叉乘標量場梯度的必為零，即：
▽×(▽·φ)≡0......(1.5-4)
凡點乘向量場旋度的必為零，即：
▽·(▽×F)≡0......(1.5-5)
1.5.3 亥姆赫茲定理
①開放中的向量場，要考慮散度與旋度，
②封閉中的向量場，還考慮邊界的法向分量。
1.6 算符對函式的運算
1.6.1 微分算符▽作用於三種(場)函式：
①標量場φ(xyz)梯度：▽φ
②向量場F(xyx)散度：▽·F
1.6.2 ▽的定義，在直角座標系中，
▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz，或
▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz......(1.6-1)
1.6.3 ▽的兩個性質：
①向量性：使右方函式變成向量。例如▽·F是F的散度，F·▽因右方無函式故為非向量。
②微分性：三維偏導數的代號。
1.6.4 ▽的符號讀法
①▽=梯/nabla/del=哈符，
②△=▽▽=▽²=梯梯/delsquare=拉符
△=(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)=ə²/əx²+ə²/əy²+ə²/əz²
∵靠的cosθ=1，∴靠≤點。
1.6.5 ▽的運算規則
①梯靠→標靠標：▽(αβ)=α▽β+β▽α
②梯點→標靠矢：▽·(αA)=▽α·A+α▽·A
④梯點→矢叉矢：▽·(A×B)=
=(▽×A)·B-A·(▽×B)
⑤梯叉→矢叉矢：▽×(A×B)=
=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]
⑥梯靠→矢點矢：▽(A·B)=
=[A×(▽×B)+(A·▽)B]+[B×(▽×A)+(B·▽)A]
⑦梯點→梯靠標：▽·(▽α)=▽²α
1.6.6 ▽作用於複函式
①梯點→標覆函：▽·α(β)=əα/əβ▽β
②梯點→矢覆函：▽·A(β)=▽β·əA/əβ
1.6.7 ▽作用於R函式
向量：R=r-r"=(x-x")εx+(y-y")εy+(z-z")εz
標量：|R|=√[(x-x")²+(y-y")²+(z-z")²]
梯靠：▽R=R/|R|，
推廣1：▽Rⁿ=n|R|ⁿ⁻²R
推廣2：▽"R=-R/|R|=-▽R，
推廣3：▽·R=3，▽×R=0
例：證明ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS，其中m為常向量，變向量r=xεx+yεy+zεz，ε為基矢。
證明如下：
根據斯托克斯定理：ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS，
取：F=m×r，
得：ʃ₀(m×r)·dl=ʃʃ▽×(m×r)·dS，
根據梯叉矢叉矢：▽×(A×B)=
=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]，
代入有：▽×(m×r)=2m
所以有：ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS。
1.7 張量簡介
1.7.1 張量的概念
兩個向量場A(123)與B(123)的座標矩陣乘積，簡稱“並矢/並積”讀作A並B，寫成：
AB=(A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃)(B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃)
=A₁B₁ε₁ε₁+A₁B₂ε₁ε₂+A₁B₃ε₁ε₃+A₂B₁ε₂ε₁+A₂B₂ε₂ε₂+A₂B₃ε₂ε₃+A₃B₁ε₃ε₁+A₃B₂ε₃ε₂+A₃B₃ε₃ε₃......(1.7-1)
通常：AB≠BA......(1.7-2)
並矢有9個分向量(Ai靠Bi)，寫成行列式：
A₁B₁(=T₁₁) A₁B₂(=T₁₁) A₁B₃(=T₁₁)
A₂B₁(=T₂₁) A₂B₂(=T₂₂) A₂B₃(=T₂₃)
A₃B₁(=T₃₁) A₃B₂(=T₃₂) A₃B₃(=T₃₃)......(1.7-3)
在三維空間中的9分物理量叫二階張量。並矢是一般二階張量的測度規範，簡稱“度規”。
一般二階張量：T=ΣTijεiεj......(1.7-4)
其中，並矢εiεj，可作為T的9個基矢，T的分量=Tij，標量=0階張量，向量=1階張量。
案例——彈性體應力的張量解釋。
受力的彈性體，內部分子有複雜的作用力，相鄰之間的相互作用力叫內應力。
▲此例只是虛構，真實應力應從分子結構的電子雲所激發的光子分佈來探討。
任取微小四面體，斜面為面元dσ，有一P點透過dσ，相鄰dσ面的分子受到互反作用力df。其它三面是dσx,dσy,dσz沿三座標軸，大小分別為：|dσx|=dσ·εx,|dσy|=dσy·εy,|dσz|=dσz·εz，相應的作用力為：dfx,dfy,dfz。
四面體內物質受力平衡：
df-dfx-dfy-dfz=0......(1.7-5)
令dσx上應力dfx的分量為dfxx,dfxy,dfxz。考慮到dfx的大小與dσx的大小成正比，有：
dfx=dfxxεx+dfxyεy+dfxzεz，即
dfx=dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)，同理
dfy=dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)，
dfz=dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-6)
式中，Txy是沿x軸的單位面積的前方分子對後方分子作用力的y分量，其餘類推，有：
df=dfx+dfy+dfz=
dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)+
dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)+
dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-7)
引入T=ΣTijεiεj，並規定：向量從左點乘T中的第一個單位向量，即：df=dσ·T......(1.7-8)
這裡的T是一個張量，分量是Tij，i下標是應力面的法向，j下標j是應力面的切向。
對沿x軸的應力面而言，Txx是法應力(張力/伸縮力)，Txy,Txz是切應力(剪力/扭轉力)。
若Tij的9個分量已知，則對任意方向的dσ對應的df皆可求出，P點的應力就完全清楚了。
1.7.2 張量的性質
①Tij=Tji,叫對稱張量/矩陣,有6獨分量。
②Tij=-Tji,反對稱,對角元素=0,有3獨分量。
1.7.3 張量的運算，有度規T=AB
換點基：f·(εiεj)=(f·εi)εj......(1.7-10)
換叉基：f×(εiεj)=(f×εi)εj......(1.7-11)
同階張：T±D=Σ(Tij±Dij)εiεj......(1.7-12)
標靠張：αT=Σ(αTij)εiεj......(1.7-13)
矢點張：f·T=ΣTf·(εiεj)......(1.7-14)
矢點張：f·T=f·(AB)=(f·A)B......(1.7-15)
張點矢：T·f=(AB)·f=A(B·f)......(1.7-16)
對稱點：Tij=Tji，f·T=T·f......(1.7-17)
反對點：Tij=-Tji，f·T=-T·f......(1.7-18)
矢叉張：f×T=ΣTij×(εiεj)......(1.7-19)
矢叉並：f×T=f×(AB)=(f×A)B......(1.7-20)
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