一、我們先來研究一下完全平方公式的幾個關鍵變式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
這四個公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意兩個式子，就可以求出另外兩個式子.
二、完全平方公式還有個非負性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那麼x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式如：a²+6a+10=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例題
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】結論中的a²+ab +b²，與完全平方公式還有一點區別，如果直接用公式，無法實現. 觀察這個式子的特點發現，式子裡蘊含了a²+b²，ab兩個式子，我們分開求這兩個式子，題目就變得簡單了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²與m+n，mn之間的關係，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此時要透過條件，求出a+b和a-b，觀察條件的特點，我們發現，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分別求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此題，第一反應往往是想透過對那一長串式子進行變形，變化出x+y. 但是，透過多次嘗試，一般是不能實現的. 這個時候，我們還可以考慮分別求出x和y，然後再求x+y. 像這種一個式子裡同時含有兩個字母，而且每個字母都有平方的情況，我們考慮用完全平方公式對它進行變化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出來.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴條件可以變化為：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它們相加為0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求證：無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
【分析】觀察這個式子，x²-4x+5裡存在著完全平方公式，或者說，我們可以用“配方法”給這個式子配出完全平方公式.
證明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
例6 計算：503².
【分析】此題如果直接計算，計算量比較大，我們可以考慮使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.
一、我們先來研究一下完全平方公式的幾個關鍵變式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
這四個公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意兩個式子，就可以求出另外兩個式子.
二、完全平方公式還有個非負性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那麼x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式如：a²+6a+10=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例題
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】結論中的a²+ab +b²，與完全平方公式還有一點區別，如果直接用公式，無法實現. 觀察這個式子的特點發現，式子裡蘊含了a²+b²，ab兩個式子，我們分開求這兩個式子，題目就變得簡單了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²與m+n，mn之間的關係，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此時要透過條件，求出a+b和a-b，觀察條件的特點，我們發現，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分別求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此題，第一反應往往是想透過對那一長串式子進行變形，變化出x+y. 但是，透過多次嘗試，一般是不能實現的. 這個時候，我們還可以考慮分別求出x和y，然後再求x+y. 像這種一個式子裡同時含有兩個字母，而且每個字母都有平方的情況，我們考慮用完全平方公式對它進行變化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出來.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴條件可以變化為：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它們相加為0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求證：無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
【分析】觀察這個式子，x²-4x+5裡存在著完全平方公式，或者說，我們可以用“配方法”給這個式子配出完全平方公式.
證明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
例6 計算：503².
【分析】此題如果直接計算，計算量比較大，我們可以考慮使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.