布豐投針實驗：利用機率求圓周率 布豐（Comte de Buffon）設計出他的著名的投針問題（needle problem）。依靠它，可以用機率方法得到π的近似值。假定在水平面上畫上許多距離為a的平行線，並且，假定把一根長為l＜a的同質均勻的針隨意地擲在此平面上。布豐證明：該針與此平面上的平行線之一相交的機率為：p=2l/(api) 把這一試驗重複進行多次，並記下成功的次數，從而得到P的一個經驗值，然後用上述公式計算出π的近似值，用這種方法得到的最好結果是義大利人拉澤里尼（Lazzerini）於1901年給出的。他只擲了3408次針，就得到了準確到6位小數的π的值。他的試驗結果比其他試驗者得到的結果準確多了，甚至準確到使人們對它有點懷疑。還有別的計算π的機率方法。例如，1904年，查爾特勒斯（R·Chartres）就寫出了應用下列例項的報告：如果寫下任意兩個整數測它們互素的機率為6／π2。 下面就是一個簡單而巧妙的證明。找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑恰恰等於平行線間的距離d。可以想象得到，對於這樣的圓圈來說，不管怎麼扔下，都將和平行線有兩個交點。因此，如果圓圈扔下的次數為n次，那麼相交的交點總數必為2n。 現在設想把圓圈拉直，變成一條長為πd的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時與平行線相交的情形要比圓圈複雜些，可能有4個交點，3個交點，2個交點，1個交點，甚至於都不相交。 由於圓圈和直線的長度同為πd，根據機會均等的原理，當它們投擲次數較多，且相等時，兩者與平行線組交點的總數可望也是一樣的。這就是說，當長為πd的鐵絲扔下n次時，與平行線相交的交點總數應大致為2n。現在轉而討論鐵絲長為l的情形。當投擲次數n增大的時候，這種鐵絲跟平行線相交的交點總數m應當與長度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例係數。為了求出k來，只需注意到，對於l=πk的特殊情形，有m=2n。於是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)從而π≈(2ln)/(dm) 見：http://www.zbsyzx.com/bbs/user1/294/archives/2006/1771.html
布豐投針實驗：利用機率求圓周率 布豐（Comte de Buffon）設計出他的著名的投針問題（needle problem）。依靠它，可以用機率方法得到π的近似值。假定在水平面上畫上許多距離為a的平行線，並且，假定把一根長為l＜a的同質均勻的針隨意地擲在此平面上。布豐證明：該針與此平面上的平行線之一相交的機率為：p=2l/(api) 把這一試驗重複進行多次，並記下成功的次數，從而得到P的一個經驗值，然後用上述公式計算出π的近似值，用這種方法得到的最好結果是義大利人拉澤里尼（Lazzerini）於1901年給出的。他只擲了3408次針，就得到了準確到6位小數的π的值。他的試驗結果比其他試驗者得到的結果準確多了，甚至準確到使人們對它有點懷疑。還有別的計算π的機率方法。例如，1904年，查爾特勒斯（R·Chartres）就寫出了應用下列例項的報告：如果寫下任意兩個整數測它們互素的機率為6／π2。 下面就是一個簡單而巧妙的證明。找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑恰恰等於平行線間的距離d。可以想象得到，對於這樣的圓圈來說，不管怎麼扔下，都將和平行線有兩個交點。因此，如果圓圈扔下的次數為n次，那麼相交的交點總數必為2n。 現在設想把圓圈拉直，變成一條長為πd的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時與平行線相交的情形要比圓圈複雜些，可能有4個交點，3個交點，2個交點，1個交點，甚至於都不相交。 由於圓圈和直線的長度同為πd，根據機會均等的原理，當它們投擲次數較多，且相等時，兩者與平行線組交點的總數可望也是一樣的。這就是說，當長為πd的鐵絲扔下n次時，與平行線相交的交點總數應大致為2n。現在轉而討論鐵絲長為l的情形。當投擲次數n增大的時候，這種鐵絲跟平行線相交的交點總數m應當與長度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例係數。為了求出k來，只需注意到，對於l=πk的特殊情形，有m=2n。於是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)從而π≈(2ln)/(dm) 見：http://www.zbsyzx.com/bbs/user1/294/archives/2006/1771.html