. 特徵值有且僅有 n 個（可以重複）;

2. 對於 每個 特徵值 λᵢ，設 sᵢ 是它的重複數，則 r(A - λᵢE) = n-s；

方陣 A 的特徵值是 特徵方程 |A - λE| = 0 這個 一元n次多項式方程的根。根據高等代數基本定理，一元 n 次多項式方程，在複數域 C 內必然有 n 個根（包括重根）。因此，只有保證 條件2 就可以保證 複數方陣 一定可以對角化。

然而，正交矩陣 A 定義為：

在實數域 R 上，如果 n 階 矩陣 A 滿足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我們稱 A 為 正交矩陣。

這個定義說明，正交矩陣是 實數域 R上，於是就要求其特徵值必須是實數。而，我們無法保證 正交矩陣的特徵方程的n個根 一定都是實數。進而，也無法保證 條件1，即，A 一定有n個實數根，來構成對角化矩陣，於是也就無法保證 A 一定可以對角化。當然，更談不上 條件2 了。

另一方面，n 維向量空間 Rⁿ 上定義了 內積 後就稱為 歐氏空間，設

e₁, e₂, e₃, ..., e_n

是歐氏空間 Rⁿ 的一組基，又設， Rⁿ 中向量 a， b 在 這組基下的座標 分別是 X 和 Y，則有：

(a, b) = XᵀGY

其中，

稱為，度量矩陣。

當 e₁, e₂, e₃, ..., e_n 是標準單位正交基時，

G = E