音樂和數學之間一直都有著密切的聯絡。從畢達哥拉斯時代到古希臘，從巴赫的作曲到複雜的樂譜（滿是四分音符、音階和節拍），音樂與數學的聯絡少有其他領域可比。從某種意義上說，音樂的數學性是顯而易見的—數字在音樂中無處不在。

例如：

1.音樂中的拍號：常見的4／4拍，華爾茲和蘇聯歌曲常用的3／4拍，甚至有些斯拉夫音樂則是12／16拍。有的音，音長為一個音節，而有的音只佔一個音節的1／16。節奏是指每分鐘的拍數，節拍可以讓音樂家知道，每個音節中有多少拍，以及每拍是什麼音符。這些規範性的東西都是在數學框架裡的。

2.音程：音程的定義充滿了數學的特徵，音程即音與音之間的距離，這個距離就是以半音為最小單位來計算和定義的。3.音程的聽感：甚至在音程的聽感上都可以用數學的方式計算出好還是不好。最動聽的一個雙音階組合（或者說音程）是八度音程。看一下鋼琴鍵盤，八度音程的一個例子就是同時彈奏中音C和與其緊挨著的高音C或低音C（這兩個C音之間隔著六個白鍵）。八度音程可以用比率來表示，八度音程中一個音階的頻率是另一個音階的2倍，兩個音階的比率就是2∶1。其他音程也有各自的比率，以及“完美”“升調”“降調”這樣的形容詞（“完美”常指那些大部分人聽起來十分悅耳的音程，“升調”指增加了半音程的完美音程。例如，同時彈奏C和G，就會形成一個完美的五度音程，同時彈奏C和升G則會形成一個增五度音程———升G即在G的基礎上增加一個黑鍵或半個音程）。完美的五度音程的比率是3∶2，而完美的大三度（由四個半音程組成）的比率為5∶4。以上的三個例子只是音樂與數學之間關係的一小部分體現，實際上還有很多。希望回答可以幫助到您。

從小上音樂課，老師就教我們do、re、mi、fa、sol、la、si，大家知道這七個音都是怎麼來的嗎？這裡面其實有很有趣的數學和物理原理，我們一起來了解一下。

五度相生法

從2000多年以前，文明誕生之初，音樂就產生了。古希臘時代，有一位著名的音樂家，同時也是數學家和哲學家，他就是畢達哥拉斯。

傳說有一次畢達哥拉斯在街上走路，聽到有鐵匠在打鐵，打鐵的節奏非常優美。回到家之後，畢達哥拉斯細心的研究鐵匠打鐵的節奏，發現當打鐵的頻率是2：1，3：2和4：3的三種比例時，聲音配合起來非常好聽。於是，畢達哥拉斯決定使用這三種比例創造一種音律系統，這就是五度相生法。

我們知道，聲音的音調高低取決於聲音的頻率，所謂頻率就是指每秒鐘振動的次數。頻率越高，音調就越高，頻率越低，音調也越低。人的耳朵能夠聽到的頻率範圍是20Hz到20000Hz，稱之為可聞波。頻率低於20Hz叫做次聲波，次聲波聽不到，但是卻會引起人內臟的共振，對人產生傷害，在地震、原子彈爆炸等情況下會產生次聲波。頻率高於20000Hz稱為超聲波，超聲波可以用來透視人體內部、擊碎人體內的結實等，醫療上有很大的用處。有些動物能夠聽到的頻率範圍比人大得多。

對於絃樂器，聲音的頻率取決於弦長、拉力和線密度三個因素。畢達哥拉斯設計了一種類似古琴的樂器。每根弦的粗細不同，再掛上不同的重物改變拉力，就可以獲得不同的發聲頻率。也可以控制重物的重量不變，改變弦長，同樣可以改變發聲頻率。

於是，畢達哥拉斯出於對美的追求，規定了7個音節的頻率關係，這就是五度相生法。一個不太嚴格的步驟是：

如果兩個音差8度，則高低音的頻率比為2：1；

如果兩個音差5度，則高低音的頻率比為3：2；

如果兩個音差4度，則高低音的頻率比為4：3。

我們可以用現代的語言把畢達哥拉斯的方法描述如下：把不同的音調寫作C、D、E、F、G、A、B，在C大調中，它們就表示do、re、mi、fa、sol、la、si。下一個C就稱為高音do。

1. 兩個do之間相差8度，如果第一個do頻率是f，則第二個do頻率就是2f。

2. do和sol之間相差5度，如果do的頻率是f，則sol的頻率是3f/2，re和la、mi和si、fa和高音do也是一樣。

3. do和fa之間相差4度，如果do的頻率是f，fa的頻率就是4f/3，re和sol、mi和la之間的關係也是這樣。

不過，五度相生法並非完美和諧，例如兩個相鄰音之間的頻率比：re和do之比為9：8，mi和re之比也是9：8，但是f和mi之間的比例是256：243，與之前不同。再比如，fa和si之間也相差4度，但是頻率比卻不滿足4：3 的關係。不過，人們依然承認畢達哥拉斯是第一個提出七個音階的音樂家，他只用了三個簡單的有理數，就定義出了完整的音律系統。

三分損益法

比畢達哥拉斯早100多年，中國的管仲也提出了自己的音律系統，稱為三分損益法。三分損益法的結果與五度相生法差不多，但是管仲只提出了五個音，分別是：宮、商、角、徵、羽。

我們以笛子為例。在吹笛子時，空氣柱振動，產生聲音，聲音的頻率與空氣柱的長短有關：空氣柱越短，振動頻率越高，音調也越高。比如我們在一個瓶子裡裝不同高度的水，用嘴吹瓶口，就會發現水越多、空氣柱越短，頻率越高。

如果一根笛子發出的聲音訊率是f，將笛子的長度平均分為三份，減少其中的一份，這樣一來獲得一個高音。現在我們知道，這個音的頻率是3f/2；如果把笛子的長度增加三分之一，就稱為益，就會獲得一個低音，頻率為3f/4。管仲經過反覆的損益，獲得了五個音階。

如果我們將“宮”的頻率定為f，那麼經過一次“損”，獲得頻率為3f/2的“徵”；再經過一次“益”，獲得頻率為3f/2 ×3/4=9f/8的“商”；再經過一次損，得到頻率為9f/8 ×3/2=27f/16的“羽”；再經過一次益，得到頻率為27f/16 ×3/4=81f/64的“角”，它們與五度相生法得到的音階對應關係如下:

我們會發現管仲的音律系統少了fa和si兩個音階。

十二平均律

無論是畢達哥拉斯還是管仲，它們都採用了2：1，4：3和3：2三個數字來定義音階，但是這樣的方法都面臨一個問題：相鄰音階之間的頻率比不相同。這樣一來，如果需要做音樂上的轉調，就很不方便。所謂轉調是指將do的位置進行改變，例如C大調是將中音C定為do，而A大調則是將A定為do，兩個do的基礎頻率不同，按照上述方法，後面的re、mi、fa、sol等音，音調的升高比例也不同。

如何解決這個矛盾呢？在現代，最流行的音律系統叫做十二平均律。這種方法雖然繁榮於西方，卻是一箇中國的皇族最早發明的。這個人叫作朱載堉，朱元璋第九代孫，鄭王朱厚烷嫡子。本應繼承王位，但是七次拒絕王位，潛心學問，成為中國著名的律學家、音樂家、數學家、物理學家和天文學家。

朱載堉認為：要讓音樂和諧動聽，必須保證所有相鄰的音階音高相差相同，也就是頻率之比相同。一個八度內頻率相差兩倍，如果將其分成12份，每一份應該相差2的十二次方根。為此，朱載堉利用一個八十一位的超大算盤，計算了這個值，並精確到小數點後第二十五位。

使用這種音律系統，無論如何轉調，都可以保證音樂節奏的優美動聽。後來這種方法透過義大利傳教士傳教士傳到西方，並經過西方音樂家巴赫等人的努力，最終發揚光大。

現代音樂大部分是基於十二平均律的。例如鋼琴有88個按鍵，每個八度中有12個按鍵，就分別對應了以上的頻率關係。

每一個八度的白鍵稱為主音，在C大調中唱名是do、re、mi、fa、sol、la、si；黑色的按鍵稱為半音，C和D之間的黑鍵稱為升C（C#）或者降D（Db）。每兩個相鄰的按鍵之間，頻率約為1.059，無論這兩個按鍵是兩個白鍵還是一個白鍵和一個黑鍵。相鄰的兩個八度同名音之間的頻率比為2：1。

不同頻率的物理實現

最後還要介紹一下不同頻率的聲音是如何從樂器中發出來的。在文章最開頭已經提到，對於絃樂器，聲音的頻率是由於弦振動產生的，而弦的振動頻率與弦長、拉力和單位長度的質量（線密度）有關。

波在傳播過程中，每一個質點在平衡位置附近振動，振動的頻率就是波的頻率f，它表示一秒內質點會振動多少個週期。一個完整波形的長度稱為波長λ，表示一個週期內波向前傳播的距離。這樣，我們就可以計算出波的速度了，只需要用波長除以一個週期的時間即可。最終得到公式：波速等於波長乘以頻率

具體來分析：一根長度為L的弦，在振動過程中會形成振動劇烈的部分——波腹，和不振動的部分——波節。一根弦可以形成多種振動形式，實際的振動形式是這些振動的疊加。不過，只有一個波腹的振動是最主要的，多數能量都集中在這個振動形式，我們稱之為基頻。其他的波能量較弱，稱之為泛音。由於泛音比例的不同，樂器的音色就會不同。對於基頻波，弦長只有波長的一半，所以波長λ=2L。

而且，根據物理學公式，波在弦中傳播速度與拉力T和線密度ρ有關，關係是：

如此，我們代入公式，就可以得到基頻的頻率

透過這個公式，我們就可以知道三個因素是如何影響頻率的了。如果將弦長增大，頻率就會降低。弦長變短，頻率就會變高。鋼琴發音是因為一個小錘敲擊鋼絲，鋼絲的長短不同，發音頻率就不同。

對於同一根弦，用手按住不同的位置，也可以改變弦長，於是就可以發出不同的音。小提琴演奏的時候用左手按住弦上不同的位置，就是為了改變弦長。

如果改變拉力，也可以影響發音頻率，拉力越大，頻率越高。國際標準音將中音A定為440Hz，其他音按照十二平均律依次確定。調音師在調音時，就是改變弦上的張力，使各個弦的發音接近標準。

還有一個影響因素是線密度，比如吉他所有的弦長度都差不多，但是粗細不一樣。細的線線密度小，發音頻率高；粗的線線密度大，發音頻率低。

大家看，音樂中也有許多有趣的數學和物理知識是不是？不僅如此，人的耳朵聽到的聲音其實是許多頻率音的混合，而大腦可以以極高的速度對這些聲音做傅立葉變換，從而讓我們進行理解。這些知識，我後面再給大家介紹。

音樂與數學之間的關係是怎樣體現的？二者又是如何相互影響的？

這個問題可以寫一本書那麼厚，要簡單回答的話。。。我的能力還沒達到那個程度。不過~~~我看了幾個老師的回答，雖然答案不同，卻都有道理。我這裡不說那麼多，就帶你從數學的角度去看音程的轉位吧。

如果A4=440HZ，那麼A5=880HZ,A6=1760HZ,A7=3520HZ、、、同理A3=220,A2=110,A1=55、、、你看出什麼？數學裡最簡單的比例是2倍（或者1/2），音樂裡把把最簡單的2（或者1/2）倍關係叫做八度音程。八度音程用同一個音名，於是無窮無盡的直線成為首尾相接的迴圈。。。

再看轉位。為了方便你看明白其中的數理關係，我設主音為A4=1，其他的音就寫其與主音的頻率比。

E4 A4 E5 = 330 440 660 = 3/4 1 3/2 （3/4乘以2等於3/2）

D4 A4 D5 = 293 440 586 = 2/3 1 4/3 （2/3乘以2等於4/3）

你發現D4與E5，E4與D5的關係了嗎？3/2是純五度音程，4/3是純四度音程。從數學的角度來看：純五度與純四度的比例關係是倒數關係。

以此類推，

9/8（大二度）的倒數是8/9,8/9乘以2等於16/9（小七度）

5/4（大三度）的倒數是4/5,4/5乘以2等於8/5（小六度）

5/3（大六度）的倒數是3/5,3/5乘以2等於6/5（小三度）

、、、、、、律制、和聲、調式都蘊藏著深刻的數理關係，但是音樂不是數學。

古代中國有君子六藝，古希臘也有七藝（語法、邏輯、修辭、算術、幾何、天文、音樂）。古希臘的七藝前三者歸為語文類，後四者歸為數學類。可見音樂與數學的關係。但是，更多的人認為音樂是一種無國界的語言，就是說應該歸為語文類。一段可以讓人理解、可以打動人心的旋律，是由詞（動機）、句（樂句）、段（樂段）、章節（樂章）組成的。。。

音樂是人類精神文化藝術，是充滿著感性的。音樂的魅力在於多彩的感覺及多樣的效果，數學是理性的、精準的科學。音樂與數學看起來風馬牛不相及的概念卻隱藏著密切的關係。

開啟人類智慧的寶庫有三把鑰匙，一把是數學，一把是字母，一把是音符——法國. 雨果音樂的基礎是數學——萊布尼茨音樂與數學直觀的關係

音樂五線譜的 do、re、mi、 fa、 sol、la 、si分別用數字1、2、3、4、5、6、7來表示，一張樂譜你看到的就是一些不同排列的數字。

音節的長度也是透過數字來表示的，比如1/2音節、1/4音節、1/8音節、1/16音節.......

音樂與數學隱藏的關係

1、五度相生律

數學與音樂之間的關係最早可追溯到公元前六世紀，達哥拉斯在世界上第一次發現了音樂和數學的聯絡，他用比例將數學與音樂聯絡起來，並且發現了撥琴絃產生的聲音與琴絃的長度有著密切的關係，撥動弦的每一種和諧結合都可以表示為整數比。於是誕生了畢達哥拉斯音節和調音理論。

畢達哥拉斯律又稱五度相生律，定義了基礎音和泛音。泛音是以基礎音為標準，其餘1/2、1/3、1/4等各部分也同時振動。

2、十二平均律

中國樑代邱明傳譜的《碣石調幽蘭》記載了純律的實際應用。

明代朱載堉在《律學新說》中明以珠算開方的辦法對十二平均律的計算方法做了概述，在《律呂精義-內篇》中對十二平均律理進行了精確計算：

“蓋十二律黃鐘為始，應鐘為終，終而復始，迴圈無端。……是故各律皆以黃鐘……為實，皆以應鐘倍數1.059463……為法除之，即得其次律也。”

這與一百多年之後德國音樂家威爾克.邁斯特提出的理論相同，其頻率的額計算是由等比數列的通項公式確定

公比為q=1.05946（2的12次方根）.

3、斐波那契數列

鋼琴鍵盤從一個C鍵到下一個C鍵的八個音程，共包括13 個鍵,有8 個白鍵和5 個黑鍵 ,而 5 個黑鍵分成 2 組 ,一組有 2 個黑鍵 ,一組有 3 個黑鍵.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數列中的前幾個數.

Fibonacci數列0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ......

該數列中的每一個數字（從第三項開始）可由它前面的兩個數字相加得到的，而該數列的比率為1.618。 這就是有些人所說的“神聖比例”或“黃金比例”。

4、音樂中的數學變換

平移變換

對稱變換

和聲的傅立葉變換

每個樂音可分解成一次諧波與一系列整數倍頻率波的疊加。

除此之外，樂器的製作也和數學有著密切的關係，比如弦振動公式、三角鋼琴的形狀近似指數曲線........

結語

數學和音樂的結合是一種感性和理性的融通，數學的抽象美和音樂的藝術美是相互滲透的。兩種文化的交融一定能碰撞別樣魅力的火花。

有個美華人寫了一本書《哥德爾，艾舌爾，巴赫》，裡邊講到了同一個有趣的話題。人類的數學邏輯，繪畫，音樂能不能構造自指。

繪畫是可以畫出一些人類看起來迴圈定義的場景。音樂也可以，而純數學邏輯上是造不出來迴圈自指的場景，但是人的思維是可以構造出來自指的。這說明，人類的思維不單純是邏輯的思維。

當學音樂的人缺乏音樂天賦的時候，懂得數學就很重要了。數學可以讓人快速操作音樂，從而得到操作帶來的快感，從而間接對音樂保持好感。但也容易對音樂和自己的能力產生誤解，在歧途中越走越遠，越遠越久……從而耽誤對音樂的學習。

1.朱載堉首創十二平均律樂器。

2.泛音與傅立葉（正餘弦）級數分解。

3.巴赫的螃蟹卡農

4.賦格（注意重複的thema之間的五度（四度）的關係）

5.除錯關係

6.電子音樂減法合成器原理

7.畢達哥拉斯音差

檢視一些資料，如有錯誤請指出。