假設 為素數。那麼根據尤拉定理有： 我們取x=3然後計算 列表如下：（下表每項都是上一項的平方再求餘，因此是可以手算的）3^2^0 = 3^1 === 3 3^2^1 = 3^2 === 9 3^2^2 = 3^4 === 81 3^2^3 = 3^8 === 6561 3^2^4 = 3^16 === 43046721 3^2^5 = 3^32 === 3793201458 3^2^6 = 3^64 === 1461798105 3^2^7 = 3^128 === 852385491 3^2^8 = 3^256 === 547249794 3^2^9 = 3^512 === 1194573931 3^2^10 = 3^1024 === 2171923848 3^2^11 = 3^2048 === 3995994998 3^2^12 = 3^4096 === 2840704206 3^2^13 = 3^8192 === 1980848889 3^2^14 = 3^16384 === 2331116839 3^2^15 = 3^32768 === 2121054614 3^2^16 = 3^65536 === 2259349256 3^2^17 = 3^131072 === 1861782498 3^2^18 = 3^262144 === 1513400831 3^2^19 = 3^524288 === 2897320357 3^2^20 = 3^1048576 === 367100590 3^2^21 = 3^2097152 === 2192730157 3^2^22 = 3^4194304 === 2050943431 3^2^23 = 3^8388608 === 2206192234 3^2^24 = 3^16777216 === 2861695674 3^2^25 = 3^33554432 === 2995335231 3^2^26 = 3^67108864 === 3422723814 3^2^27 = 3^134217728 === 3416557920 3^2^28 = 3^268435456 === 3938027619 3^2^29 = 3^536870912 === 2357699199 3^2^30 = 3^1073741824 === 1676826986 3^2^31 = 3^2147483648 === 10324303 3^2^32 = 3^4294967296 === 3029026160可見： 因此 是合數有朋友覺得這個方法還是不夠“方便”啊。。。其實這個問題上還有個“更快”的的方法。但這個方法不具有任何通用性。就是用尤拉改進的試除法。尤拉證明了任何費馬數 的所有因子必然是 形式。題目給出的數 其實就是第五個費馬數 因此我們只要一路試除：65、129、193、257……65473就可以了。一共是大約1000多個數字。但是這題很幸運，只需要計算10次，就能發現4294967297 / 641 = 6700417。但是這個方法不具備任何的通用性，哪怕是下一個費馬素數 也需要試除2142次。。。另外盧卡斯後來改進了高斯的方法，可以再少算一半。但即使是這樣，要證明 是合數也需要試除1000多次。。。。
假設 為素數。那麼根據尤拉定理有： 我們取x=3然後計算 列表如下：（下表每項都是上一項的平方再求餘，因此是可以手算的）3^2^0 = 3^1 === 3 3^2^1 = 3^2 === 9 3^2^2 = 3^4 === 81 3^2^3 = 3^8 === 6561 3^2^4 = 3^16 === 43046721 3^2^5 = 3^32 === 3793201458 3^2^6 = 3^64 === 1461798105 3^2^7 = 3^128 === 852385491 3^2^8 = 3^256 === 547249794 3^2^9 = 3^512 === 1194573931 3^2^10 = 3^1024 === 2171923848 3^2^11 = 3^2048 === 3995994998 3^2^12 = 3^4096 === 2840704206 3^2^13 = 3^8192 === 1980848889 3^2^14 = 3^16384 === 2331116839 3^2^15 = 3^32768 === 2121054614 3^2^16 = 3^65536 === 2259349256 3^2^17 = 3^131072 === 1861782498 3^2^18 = 3^262144 === 1513400831 3^2^19 = 3^524288 === 2897320357 3^2^20 = 3^1048576 === 367100590 3^2^21 = 3^2097152 === 2192730157 3^2^22 = 3^4194304 === 2050943431 3^2^23 = 3^8388608 === 2206192234 3^2^24 = 3^16777216 === 2861695674 3^2^25 = 3^33554432 === 2995335231 3^2^26 = 3^67108864 === 3422723814 3^2^27 = 3^134217728 === 3416557920 3^2^28 = 3^268435456 === 3938027619 3^2^29 = 3^536870912 === 2357699199 3^2^30 = 3^1073741824 === 1676826986 3^2^31 = 3^2147483648 === 10324303 3^2^32 = 3^4294967296 === 3029026160可見： 因此 是合數有朋友覺得這個方法還是不夠“方便”啊。。。其實這個問題上還有個“更快”的的方法。但這個方法不具有任何通用性。就是用尤拉改進的試除法。尤拉證明了任何費馬數 的所有因子必然是 形式。題目給出的數 其實就是第五個費馬數 因此我們只要一路試除：65、129、193、257……65473就可以了。一共是大約1000多個數字。但是這題很幸運，只需要計算10次，就能發現4294967297 / 641 = 6700417。但是這個方法不具備任何的通用性，哪怕是下一個費馬素數 也需要試除2142次。。。另外盧卡斯後來改進了高斯的方法，可以再少算一半。但即使是這樣，要證明 是合數也需要試除1000多次。。。。