人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。中國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。

數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。

古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。

實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：

1．重複次數：一個羅馬數字符號重複幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。

2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。

3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。

中國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。

從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進位制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。

說起"0"的出現，應該指出，中國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。

如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。

但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字符號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。

除了十進位制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進位制、二進位制、三進位制、七進位制、八進位制、十進位制、十六進位制、二十進位制、六十進位制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進位制最終佔了上風。

現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進位制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。

數的概念、數碼的寫法和十進位制的形成都是人類長期實踐活動的結果。

隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。

隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法

人類算數採用十進位制，正是因為人類有十根手指。人類普遍使用十進位制，只不過是絕大多數人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結果。

十一進位制是以11為底數的記數系統。他需要11個記號表示，通常使用數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9及字母A(或X)。其中，A(或X)即數字10。十一進制中的10代表十進位制的11;而十一進位制的0.1則代表十進位制的1/11。

相較十一進位制，十進位制在人類早期簡單計算方面更為方便有效。

一、習慣了吧，以前用十六進位制，都也覺得沒啥，二、社會在進步，生活會越來越簡單。三、節省時間也是一點，都是為了更簡單，更快捷

在銀河系的邊陲，有一個遙遠的系外文明。

那裡的外星人都是8個手指頭。

也就是單手4指頭。

身材呢，可能是這樣的：

（圖片來自DANA JENNINGS）

也可能是這樣的：

還有可能是這樣的：

……

……

實際上，我們無法確定他們的長相和身材，我們唯一能確定的是：

她們單手4手指，雙手8手指。

單腳4腳指，雙腳8腳指。

……

好了，開局的設定，我們基本完成。

遊戲開始：

這個系外文明經過數千萬年的演化後，現在的他們……

除了吃飽飯，幹生孩子之事外，他們越來越頻繁地仰望星空，並進行逐漸加深的思考……

天上到底有多少顆星星？

我們這部落共多少個雌性？

如果一個雄性只和一個雌性結婚，那麼，到底是雄性多還是雌性多？

……

思考著。

思考著。

幾百年又過去了。

最終，數學這門學問得以在這個部落誕生，並在部落裡傳播著，且地位逐漸變得崇高起來。

因為他們發現：

那些凡是能說出部落共多少人的傢伙，基本上都當上了部落首領。

首領又把這種計數的學問，或者說精華部分悄悄地傳給他的下一代，於是：

他的還一代還是首領。

……

夕陽下，遲暮之年的首領望著遠方餘暉，問身旁的兒子：

“你知道，怎樣才能最快地數出部落人數嗎？”

“不知道。”他兒子說，“每次數到8，我就不知道該怎麼數了，我的大腦總是很亂。”

“呵呵。”首領笑笑，“你大腦要不亂，那才怪了。聽好了，我現在就把我的畢生所學傳授給你。”

“還算聰明，我果然沒有選錯人。”老首領斜著眼看著他，“我有三兒子，你是老二，估計你已經明白了，我今天為什麼要教你。”

“我明白的，父王。”

“聽好了。”老首領這才轉身，看著跪著的二兒子，“每次你數到8之後，就別往下數了，這樣你就不亂了。”

“啊——”二兒子一臉驚呆，“可是這樣的話，我又怎麼數得清人數呢？”

“別急，精髓在後面。當你數人的時候，每次數到8，你就停下來，同時在第一根腳趾頭上做一個記號，第二次數到8的時候，再在第二根腳趾頭上做一個記號，以此類推。”

“可是……”二兒子還是有疑問，“我們部落的人很多，如果我的8個腳趾頭全都做滿了記號，那怎麼辦？”

“很好的一個問題。”老首領說，“當你的8個腳趾頭都做滿了記號，這代表你已經數出了8個8了。這時，你在手指頭上，注意，是手指頭上做一個記號，這個記號表示，你已經數出了8個8。”

二兒子恍然大悟：“哦，我明白了。如果我再數出第二個8個8，我就在第二個手指頭上做記號。是不是？”

“沒錯。”老首領說，“假設，此時你已經輸完了人數，你就可以告訴大家了。我們部落的人數就是兩個8個8。”

“明白了。”二兒子點點頭，若有所思，“嗯，一個8個8，兩個8個8，要是能用一個名字代替就更好了。”

老首領眼睛一亮：“兒子，你跟我想一塊去了。真的，這問題我已經思考十幾年了。我是這樣想的，一個8個8就叫陽好了，兩個8個8就叫2陽，三個8個8就叫3陽……”

……

……

於是，這個系外文明終於誕生了八進位制計數法。

後來，他們的數學大發展，並引發一次又一次的工業革命。

他們終於出現了核能，也有了電腦，還有了網際網路。

一天，有個騷傢伙在上面提問：

為什麼感覺在傳統科學中八進位制用的比較多？

後來呢，又有個更騷的傢伙這樣回答：

在銀河系的某個旋臂，有一個遙遠的系外文明。

那裡的外星人，都比我們多兩個手指頭。

也就是單手5個手指。

……

相貌和身材呢，可能是這樣的：

在遙遠的過去，人們使用過許多進位制，很難說哪種進位制用得更普遍。

十進位制最終成為主流，很可能和人類恰好擁有10根手指大有關係。

圖示：如果大多數的人手長成這樣，那麼我們可能就會使用12進製為主了。

但雖然人類有10根手指頭，但最初人類很可能是使用2進位制的。中國最早的書《易經》是二進位制的，從000變成111，共有八個變化，於是得到了八卦。周文王被商紂王關押在首都期間，閒來無聊將八卦推演到六十四卦，其實就是從000000，變成111111，就行了。然後，古人就認為這64個卦象足以代表天地萬物宇宙人生的一切。對於中國古人來說，萬物的答案是64而不是《銀河系漫遊指南》中的42。

圖示：中國的八卦分別代表自然界中的八種自然現象，它們被抽象化之後，用來解釋人生

按照二進位制的順序，正確閱讀八卦的順序是從地開始，按逆時針方向閱讀到風。

地000

山001

水010

風011

然後跳到風的對面，按照順時針風向閱讀

雷100

火101

澤110

天111

如果說易經是用來算命的，和日常生活無關，那麼我們來看看與日常生活關係最密切的度量衡，我想所有人都知道一個成語，半斤八兩。等等，半斤怎麼會等於八兩呢？半斤難道不是五兩嗎？的確，現在我們規定一斤等於十兩，所以半斤等於五兩，可是在古代很長時間都是一斤等於十六兩，所以半斤就是八兩，一點沒錯。

那麼古人為何不用十進位制，而要規定一斤=十六兩這麼古怪的換算關係呢？

原因很簡單，還是和二進位制有關係，因為二進位制就是二分法，在古代等分一個東西是技術上最容易實現，同時也是誤差最小的辦法。

圖示：華人起源地之一，甘肅天水市秦安大地灣發現中國最古老的粟種子遺存。

想象一下古人吃的粟，如果收穫了一大堆粟，是大致均分給16個人容易呢，還是分給10個人更容易？顯然是分給16個人要容易得多，因為只需要把一堆粟先大致分成兩堆，可以保證兩堆之間的誤差不大，然後再將兩堆又各自分成差不多大的兩堆，就得到了四堆，如法炮製，最終就能得到差不多一樣多的十六堆粟。可如果要分給十個人，反而很麻煩，任何不是2的倍數的分割都是麻煩事。

考古學發現，在仰韶文化（中原文化萌芽）晚期，隨著社會財富的積累和分配方式的改變，某些 地區己經開始有了相對穩定的數量概念 ，因為他們製作了專門的量具 ，如秦安大地灣就挖掘出一組容積成倍比關係的量器！

圖示：仰韶文化，秦安大地灣遺址復原圖

中國春秋戰國時期的進位制

南韓：主要是二進位制

目前己公佈實測容積資料且國別明確的南韓量器僅有５件，按照容積，這些量器可大致分為３個量級：

第Ｉ級，400ml,１件，陽城陶量第４件；

第II級，1670~1690ml，３件，分別是廩陶量和陽城陶量的第１件和第２件；

第III級，3200ml，１件，陽城陶量第３件。

這三個量級之間的比值大致為１:４:８,這是典型的二進位制，可以認為這中間缺少了一個800ml的量器。

中山國：主要是2進位制

圖示：中山國以忘恩負義的中山狼聞名，要沒有這頭狼大概就沒什麼人知道中山國了。

在中山國出土的量器也表現出典型的2進位制特徵，目前所見有實測容積的中山國量器共14件均為泥制灰陶，按照容積，它們可分為四個量級：900ｍＬ（5件）、1800ｍＬ（４件）、2250ml（1件）、3600ml（４件），其容積呈1：2：2.5:４的倍比關係

楚國：主要是2進位制

當前對楚國實物材料和文獻材料的研究顯示，其量器之間的關係也大致為1:2:4的倍比關係

齊國：二進位制、四進位制、五進位制和十進位制並存

在《 左傳·昭公三年》中有記載“ 齊舊四量， 豆、區 、釜、鍾。四升為豆，各自其四，以登於釜。釜十則鍾“，這段話的意思很明顯，齊國的量制單位分為豆、區、釜、鍾四種，彼此之間的進位制關係為:

１豆＝４升，１區＝４豆＝16升，１釜＝４區＝64升，１鍾＝10釜＝640升，上下級量制單位間使用了四進位制和十進位制。

後期隨著量器的改革，四進位制又變為五進位制。

圖示：山東新泰市區陶窯遺址曾出土多件戰國齊陶量器，代表了從四進位制到五進位制的變遷。

現代學者莫祜、李發林對齊國出土的多件量器進行定量研究的基礎上，推測齊國的四進位制改為五進位制，但又保留豆、區之間的四進位制不變，即１豆＝５升，但１區＝4*5升=20升，１釜＝5區=100升，１鍾＝10釜=1000升，由此實現了升、鬥（10升）、釜（100升）之間的三級十進位制體系。不過，並非所有學者都同意這個觀點，一些學者認為齊國的進位制，統一的從四進位制演變成五進位制，即”五升為豆 、 五豆為區 、 五區為釜、 五釜為鍾“。但要是按照《管子》一書的記載，齊國量制的基本情況則是：

１鬥＝10 升 ，１區＝2鬥（20升） ， １釜＝5區（100升） ，１鍾＝10釜（1000升）。上下級量制單位間的進位制關係包含了二進位制、五進位制和十進位制三種體系同時存在。

秦國：10進位制

這事兒是商鞅變法定下的，商鞅當年參考齊國，最終定下了秦國的單一十進位制體系。秦國 的基本量制單位為升、鬥、甬（ 桶 ）、石 ， １升（相當於現在200ml）。

１鬥＝10 升 ， １甬 （ 桶 ）＝１石＝10鬥 ， 上下量級間均為十進位制的關係。 量級單位少 、 單一進位制 、 單位間換算方便是秦國量制的最大特點 ，體現了秦國比較重視量制的實用性。也是秦國政府能高效運轉的基礎，同時也證明秦國工匠技能過硬，畢竟二進位制相對簡單，製造精確的十進位制的器具則難得多。

除此之外，由於每年有12次圓月，因此世界各地的人們都喜歡在涉及時間領域使用12進位制，中國還搞出了12生肖的文化，並在此基礎上衍生出60進位制，60年一個輪迴。這套體系沿用至今，比如一小時等於六十分鐘，一分鐘等於六十秒。

為什麼有這個感覺？就像你出去溜達，回來說遇到誰誰誰了，這都是你熟悉的人，給你打招呼的人，你有印象。但不熟悉的人，沒注意的人，你可能在路上遇到很多次了，都沒有印象。十進位制只在算術題中經常遇到，但在我們日常生活中，其他進位制被選擇性的忽略了。

早晨，被手機鈴聲驚醒。手機是二進位制設計的電子產品，很多電子產品都是二進位制，我們只看到了表象，沒人注意二進位制。

醒來後想賴床，想想今天星期一，得上班了。星期是七進位制。太陽都曬屁股了，Sunny跑了8分分鐘從太陽到達身邊，光速，光年，進位制。洗臉刷牙，七點半了。時間是六十進位制。今天是7月8日，這裡是24進位制，24小時為一日，古人十二個時辰為一日，12進位制。過幾天就是老婆生日。這裡是365進位制，這個是有一定規則的進位制，4年一閏，100年不閏，400年又閏。剛給老婆過了一個農曆生日。農曆，陰陽曆，19年7閏，一閏是一個月。夏季，帶老婆孩子一家人去旅遊。夏季，4進位制，一年四季。一家人，不定進位制，一個人為一家，兩個人也為一家……

匆匆出門，電梯壞了，走樓梯，與人撞了一下，滾下了樓梯。這是360進位制，一個圓是360度，有時採用弧度制。爬起來，衝到公交站，公交車剛走，只好等下一趟。這個是不定時進位制，有五分鐘一趟，六分鐘一趟……

想一想，我們用到的進位制很多，但我們選擇性的忽略，只記得十進位制。