僧一行(673――727年)
本名張遂，邢州鉅鹿人(今邢臺鉅鹿)。
唐朝時期中國古代偉大的天文學家,也是公元7世紀世界最傑出的科學家.
主要成就 ：精通陰陽五行之學,寫成闡釋揚雄《太玄》的專著，名聲不小,一行的佛教著作，以《大日經疏》為其密教思想的代表.一行的天文成就包括製造出“渾天銅儀”和”黃道遊儀”，水運渾天儀上設有兩個木人，用齒輪帶動，一個每刻(古代把一晝夜分做一百刻)自動擊鼓，一個每辰(合現在兩小時)自動撞鐘。可以說它是現代鐘錶的祖先，比公元1370年西方出現的威克鍾要早六個世紀，充分顯示了中國古代勞動人民和科學家的聰明才智。 重新測定了150多顆恆星的位置，多次測定了二十八宿距天體北極的度數。發現恆星運動現象，比西方早一千多年。設計製造了“復矩圖”的天文學儀器，用於測量全國各地北極的高度，修訂的《大衍曆》，糾正了過去曆法中把全年平均分為二十四節氣的錯誤，是中國曆法上的一次重大改革。比較正確地掌握了太陽在黃道上運動的速度與變化規律，《大衍曆》應用內插法中三次差來計算月行去支黃道的度數，還提出了月行黃道一週並不返回原處，要比原處退回一度多的科學結論，一行組織了全國13個點的天文大地測量。並從測量資料中，得出了北極高度相差一度，南北距離就相差351裡80步(合現代131.3公里)的結論。這個資料就是地球子午線一度的弧長。唐朝測出子午線的長度，在當時的世界上還是第一次。張遂的天文學觀點，有的比世界著名天文學家早一千多年。
一行還編寫了《開元大衍曆》、《七政長曆》、《易論》、《心機算術》、《宿曜儀軌》、《七曜星辰別行法》、《北斗七星護摩法》等。一行於開元十五年(727)十月去世，玄宗親自撰塔銘，諡一行“大慧禪師”號。 為了紀念一行的功績，1956年1月1日發行僧一行郵票一枚,人們還將小行星1972命名為"一行小行星"。一行發現當時許多恆星的位置，與古代典籍所載的位置有若干改變。現代天文學稱恆星位置的變動為“本動”。西方國家的恆星本動現象最早發現，歸功於哈雷慧星迴歸期的發現人艾蒙·哈雷(西元一六五六～一七四二年)，比一行晚了約一千年!……
距今三十七年前，我向英國劍橋大學的李約瑟請教，有什麼題目適合寫一部有關中國科學史的博論文。他就提出兩個題目，一個是“晉書天文志”，一個是“唐僧一行”，結果我所選的是“晉書天文志”。十五年後，當我在吉隆坡馬來亞大學任職的時期，同仁洪天賜希望我提出一個可以作為博士論文的題目，我就建議選擇一行為題。後來他的博士論文完成了，獲得校外考試委員李約瑟博士的讚賞。洪天賜現任吉隆坡馬來亞大學中文系主任職。
一行和尚俗姓張，名遂，生在唐高宗弘道元年(西元六八三年)。曾祖父張公謹，是唐太宗李世民的一位開國功臣，公謹三個兒子——大象、大素、大安，都是朝廷的大臣。但因文獻無徵，不知誰是一行的祖父，只知道一行的父親張檀，曾任縣令。張氏家族在武則天時代已經衰微，一行就是生在武則天稱帝的前幾年。一行自幼聰穎過人，讀書過目不忘;稍長，博讀經史書籍。他去元都觀拜謁博學多聞的道士尹崇。尹崇因為一行虛心求學，對他極為嘉許，給他許多指導，並借自己的書給他閱讀。有一次尹崇借了一部揚雄所作的《太玄經》給一行看。這是一部文詞艱澀、內容隱晦的書，並非一般讀者所能看得懂。一行隔了幾天便把這部書交還尹崇。尹崇起初以為一行是覺得這部書名符其實，實在是太玄了，失了興趣，趕還書。但當一行拿札記向他請教時，他卻讚不絕口，並向外宣揚一行的學問，而且因自己能夠發現一位天才而自慰。從此一行就以學識淵博而名於長安。
後來一行為著避開武三思(?～七0七年)的拉攏，跑到蒿山的嵩陽寺剃度出家，改名敬賢，法號一行。他也藉著遁世絕俗的機緣，和對天文、曆法、數學等有修養的高僧接觸，就近請益。嵩陽寺的主持普寂禪師十分讚賞他的卓越表現。有一次嵩陽寺舉行盛會，邀請四方沙門蒞臨觀禮，著名隱士盧鴻也在會列。盧鴻被邀請為大會寫一篇文章。寫成後，盧鴻把它置在几案上，對眾宣佈如果有人能誦讀這篇文章，就立刻收他為弟子。他這篇文章實在是句僻字古、深奧難解，並不是常人所能讀通的。一行上前拿來看，就放回案上。盧鴻看見一行的行動，頗為不滿，正想開口指斥他輕薄，但一行忽然回頭望著他，瞬息間把整篇文章背誦出來。盧鴻極為驚訝，他告訴普寂沒有能力教導這樣一個門徒，應該讓一行自己去遊學。
不久一行辭別嵩陽寺，開始雲遊求學，經過長途跋涉，到達天台山的國清寺。當時國清寺有一位精通數學的高僧駐錫，可惜姓名，法號都不祥。一行往國清寺的目的，就是專誠向他求教。下面引述唐代鄭處誨《明皇雜錄》的記載：
一行因窮大衍，自此訪求師資，不辭千里。嘗至天台國清寺，見一院古松數十步，門有流水，一行立於屏間，聞院中僧於庭布算，其聲簌簌，既而謂其徒曰：“今日當有弟子求吾演算法，已合到門，豈無人導達耶?”徐一算，又謂曰：“門前水合轉西流，弟子當至。”一行承言而入稽首，諸法盡授其術焉，而門水舊東流忽改為西流矣。
上文所述的數學是指傳統數學，包羅術數和現在所指的數學。大衍和易數有密切的關係，也和現在所指的數學有些關連，下文自有交待。
西元七一一年，一行回返嵩陽寺，朝廷有意邀他參政，但他以健康欠佳為藉口婉辭。稍後一行再度整裝遠遊，前往玉泉山的玉泉寺，專心研究占星術。不久唐玄宗(七一二～七五六年在位)即位，朝政革新，文化和科學都呈現著蓬勃的現象。玄宗派遣一行的族叔張洽前往玉泉寺，勸一行晉京。五年後，一行終於上京，玄宗親予接見，一行便駐錫華嚴寺。在這期間，他有機會和許多精通天文和曆法的印度僧侶交往，從中獲得印度天文學方面的知識。
一行往長安與密宗從印度傳入中土初期巧合。密宗是由西元七一六年善無畏Subhakarasimba(六三七～七三五年)和西元七一九年不空 Amoghavajra(七0五～七七四年)、金剛智Vajrabodhi(六七一～七四一年)先後攜入該派的經典。一行從不空學得密教，他們兩人結了亦師亦友之交，由一行協助翻譯經典。不空的一位弟子惠果(七四六～八0五年)為長安青龍寺主持。日本的真言宗為弘法大師(七七四～八三四年)所創。他入唐求法，在長安青龍寺受戒時法名空海，師事主持惠果。所以一行和善無畏、不空、金剛智和弘法幾位高僧，在日本真言宗裡具有崇高的地位。日本高野山真言宗聖地供奉有中土傳入的一行大師繪像。聞說京都東寺亦有一行像，惜未得一見。
有三個從印度移居長安的家族，對印度文化東傳和唐代天文學的發展曾作出很大的貢獻。它們是瞿曇氏Gautama、俱摩羅氏Kumara(又作鳩摩羅、拘摩羅等)、迦葉波氏Katyapa三個天文專業家族。一行上京的時候正值瞿曇悉達Gautama Siddharta任太史令職。他曾修理當時的鐵渾儀，西元七一八年翻譯九執歷Navagraha，西元七一八至七二六年間編纂《大唐開元佔經》(簡稱《開元佔經》)，採入許多秦漢以來天文和占星術零散資料，以及一些從印度傳入的天文和數學知識。一行和這些家庭有來往。例如瞿曇氏家族對一行後來的“大衍曆”提供了一種日食計算方法和一種占星書，而獲得一行支持者則是俱摩羅氏。
當時善無畏、不空、金剛智幾位密教高僧都在長安的大興善寺內駐錫。瞿曇氏、俱摩羅氏和迦葉波氏也在大興善寺居住。日本入唐高僧空海也嘗在此駐錫。一九八六年十一月，我在西安西北大學講學，順便訪問大興善寺，憑弔唐代印度高僧所駐錫和一行常到訪的遺蹟，當時的屋宇現已一無所存，遍佈亂石和雜草，附近新建了空海大師紀念碑，這是由日本真言宗資助所建的。日本的真言宗又資助重建青龍寺，在舊址附近，供奉善無畏、不空、金剛智、一行、惠果、空海等畫像。
言歸正傳，當開元九年(西元七二一年)，唐玄宗面臨曆法需要修訂的時候，他便召見一行，因為他知道要執行這一項重要而且困難的任務，除卻一行，沒有任何人可以擔當得起。
一行準備開始觀測天象的時候，便發覺當時所用的天文儀器都已經陳舊腐蝕，不堪使用。他便立刻重新設劃，製造兩座比以前更為精密的儀器。他獲得梁令瓚的援助，共同進行這項工作。經過了三、四年的歲月，這兩座巨型天文儀器終於大功告成。一座是以銅製成的黃道遊儀。這是用來測定日、月、五星在本身軌道上的位置。它的設計比較以前所用的遊儀更為精密、更為完善。以往的遊儀都是赤道裝置，僅能夠測得日、月、五星的執行，但是沒法直接確定它們本身軌道上的位置。黃道遊儀的特點是儀器上的黃道環和赤道環不是固定在一處，所以能夠依據它們的旋轉動態，從儀器直接獲得答案。黃道遊儀在開元十三年制成，唐玄宗親為制銘，置於靈臺以考星度。靈臺是天文臺的古稱。
一行的第二座天文儀器是水運渾儀。這是依據東漢張衡(西元七八～一三九年)的渾天儀水力推動原理而製成的，不但能顯出日、月進行的規律，而且可以自動記時。據《舊唐書· 天文志上》記載：“立二木人於地平之上，前置鼓以候辰刻，每一刻自然擊鼓，每辰刻自然撞鐘”，堪稱世界上有史以來最早的一座自動計時器。後來北宋的蘇頌(西元一0二0～一一0一年)製造元祐儀，並寫了一部《新儀象法要》詳述這座儀器的構造。他說元祐儀系以古法為臺三層。所謂古法該是指一行的水運渾儀。李約瑟、王鈴和普萊士Derekde Solla Price在他們的一部《Heavenly Clockwork》(一九六0年出版)中稱元祐儀為一座天文鐘。“鍾”是一具專門自動計時的儀器。一行的水運渾儀和後來蘇頌的元祐都是天文儀器，同時也是自動計時器，一物兩用。因為從來沒有一個代表自動計時功能的專門的名詞，這兩座天文儀器所具有的自動計時功能，便逐漸被忽略了。西元十六世紀下半葉，耶穌會教士利瑪竇Matteo Ricci(西元一五五二～一六一0年)帶來自鳴鐘，當時沒有人想起一行的水運渾儀和蘇頌的元祐儀其實早已具有自鳴鐘的功能。
透過以上兩座天文儀器的觀察，一行發現當時許多恆星的位置，與古代典籍所載的位置有若干改變。現代天文學稱恆星位置的變動為“本動”proper mtion。西方國家的恆星本動現象最早發現，是歸功於哈雷彗星迴歸期的發現人艾蒙·哈雷Edmond Halley(西元一六五六～一七四二年)，比一行晚了約一千年!三十餘年前天文學家陳遵媯首先提及一行發現恆星位置移動問題;天文學家席澤宗認為這是由於古代觀測天象儀器不夠精確所引起;而李約瑟的意見是，無論如何，在一行的心目中，他所用的古代觀測記錄是可靠的，他認為恆星的位置是已經移動了，這就是“恆星本動”!西方科學家很重視恆星本動的發現。三十三年前，我在英國劍橋，路上碰見一個朋友——在劍橋天文臺工作的天文學家阿瑟·比爾Arthur Beer。他手裡拿著一些信件，正趕往郵政局想要買郵票寄出。我們就跑到總郵政局郵票售賣處的前面停下，因為還有半小時才下班而且沒有其他顧客，我們繼續聊天，所談的是僧一行的天文學成就。他說一行發現恆星本動是一件很了不起的事情，又說因為一行有過目不忘的天賦，假如他來參加劍橋大學的畢業試，必定勝人一籌。後來他想起來郵政局的目的時，已經是下班時間了。他趕去櫃檯買郵票，郵政員對他說：“來不及了，請你明天再來吧。”可見連西方的天文學家也津津樂道一行在科學上的成就。
其實我和阿瑟·比爾都是同在一個六人小組共同研究一行在天文學上的另外一個大貢獻——這就是他的子午線測量的工作。從現代的常識來說，子午線是透過南北兩極所畫在地球上的一個想像中的大圓圈，圓圈分為三百六十度(在中國傳統天文學上，這個圓圈是分為三百六五又四分之一度)。假如能夠測得子午線一度的弧長，那就可以算出地球的大小了。
自漢朝以來，一般從事於天文工作的人員，都是憑著夏至或冬至的正午，在南北兩個地點所測的日影長度，來作臆斷。他們認為假如兩地的日影長度相差一寸，則兩地的距離是一千里。他們測量日影的方法，是使用一支八尺高的標杆。其實這個“損益寸千里”的說法，並不正確可靠。隋代的劉焯(西元五四四～六一0年)就不同意這個理論。他主張在夏至、冬至和春分、秋分時在黃河南北兩岸的平地，實測日影在正午的長度。他的計劃已經遞呈朝廷，隋煬帝表示贊同這份奏本，但是沒有賜給任何人力和經費上的現實援助，因此劉焯的計劃始終沒有施行。
一行所領導的天文測量工作，能夠如期進行，這是由於他獲得玄宗的信任和太史監南宮說的鼎力支援。一行的工作人員所測量的地帶，是以黃河南北地區為中心，北至北緯大約四十度，南至北緯十七餘度。一行是以陽城(即今河南省登封縣東南告成鎮)為中點，指派工作人員前往分佈於南北區所指定的地點進行測候，各處所測的數值，都要和在陽城所測的數值作為比較。一行實地測量所獲得的成果，終於推翻了過去“損益寸千里”的理論。
此外，一行又根據河南省平原上面四個規測地點，計算子午線長度和北極高度的關係。所得的結論是子午線每“度”相等於三百五十一里又八十步的距離。中國傳統的“度”是以太陽一晝夜的移動為單位。太陽一年移動一周天三百六十五點二五“度”。折現代的公制，一行所獲得數值是：一度的子午線在地球平面的弧長是一三二點零三公里。從現代科學觀點來說，這個數值並非很準確;但在西元八世紀，採用此實地測量方法，可算是科學埃拉託斯散納Eratosthenes(西元前二七六～一九五年)，曾經試圖測量子午線一度的弧長，但他的測量規模和準確性遠比不上一行的工作。另外一次的測量是由阿拉伯回教國王阿爾·馬蒙Al-Mamun(西元八一三～八三三年在位)主持，晚於一行約九十年。
我們還試圖解答一些有關一行測量子午線的問題。第一個問題是關於弧長的準確性。由於一行所取的子午線太短，僅僅大約二百公里，難怪弧長不甚準確。另外一個問題是關於一行是否有地球是圓體的概念。張衡的《渾天儀注》有“天如雞子，地如雞中黃，弧居於天內”的記載。一行想已熟識張衡的著作，而且他在長安與精諳天文學的印度專家來往很密切，所以他對地球的形狀該有所聞，且有地球圓周弧長的概念。一行的答案顯示他對繁複的算式能夠應付裕如，可能是得力於印度高僧或專家所指導的三角函式表。r> 一行製造新天文儀器，作詳細的天文觀察，和進行子午線的測量，目的在編制一部新曆法，以取代已經不能符合當時天象觀測的“麟德歷”。他編制新曆，大約自開元十二年(西元七二四年)開始。他一方面校驗自己所觀測的結果，另一方面博覽前代的歷本。當時有二十三家的歷法，其中最受他重視的，是劉焯的“皇極曆”。他也曾經採用印度曆法的一些長處，以審慎態度取長補短，而非全部採用印度的歷法。
以往劉焯認為太陽執行速度有快慢的現象，這是一個很重要的發現。可是他對這種不均勻的執行現象，示能充份瞭解。一行補充他的發現，指出太陽執行的速度是由快漸轉慢(道是從近日點太陽速度最快時開始)，再由慢漸轉快(即由遠日點太陽速度最慢時開始)。這可以說是一行在天文學上的另外一項重大貢獻。一行從太陽執行的快慢情況出發，按照不等的時間間隔，安排二十四節氣，從而進一步指出，劉焯所用的“等間距二次內插法”來計算相鄰兩節氣間太陽執行的速度，是不適當的。因此，他便改用“不等間距二次內插法”，以算出相鄰兩節氣間的太陽執行速度。
所謂“內插法”，乃是“近似計算法”的一項重要課題。劉徽注《九章算術》第七章“盈不足術”就是一種最簡單的內插法，亦即是所謂“一次內插法”。印度數學家布馬古達Brahmagupta亦曾使用類似劉焯所用的“等間距二次內插法”公式，年代大約是西元六二八年，比劉焯稍晚。後世天文和曆法工作者，沿用一行的內插法公式達五百年，直至元代郭守敬(西元一二三一～一三一六年)編訂“授時歷”時，才改用“三次內插公式”。由此可見，天文學的不斷髮展，對數學的要求也愈來愈高，這樣一來就促進數學的發展了。高次內插法也是中國數學所達到的一個高峰。我們可以曉得一行在數學上的成就，並不遜於他在天文學的享譽。
一行為了編訂新曆法，耗費了六年的歲月，他的新曆取名“大衍曆”。這個曆法追算出上古的一個“日、月、五星如聯珠”的時期作為起點，算出“上元閼逢困敦之歲”，距開元十二年甲子歲，歲積九千六百六十六萬一千七百四十算。一行所用的“大衍”這個名詞已把對易數的關連表露無遺。一行所追算的上古“上元”的方法沒有留存下來。後來南宋數學家秦九韶(一二0二～一二六一年)悟出所用的“大衍求一術”即《孫子算經》解答“物不知數”題的方法。秦九韶也利用“大衍求一術”解答著卦問題和曆法問題，可見傳統數學是包羅術數，而一行在易數方面無疑是有很高的造詣。
“大衍曆”的初稿在開元十五年(西元七二七年)完成。同年十一月二十五日，一行陪同玄宗往新豐(在今陝西省臨潼東北新三鎮)。不料一行病倒，當天晚上竟在新豐與世長辭，享年四十四歲。玄宗敕令將他的遺體運回長安安葬，併為他建築一座紀念塔。一行在長安時駐於華嚴寺。一九八四年九月，我訪問西安，順便訪查華嚴寺古址，留下來的只是一座失修的古塔。聞說一行駐該寺時有原有另一座塔，後為地震所毀，我見到的一座是後來增建的。
一行逝世後，玄宗命大臣張說與歷官陳玄景負責整理“大衍曆”的初稿，並於翌年(西元七二八年)頒行天下。“大衍曆”頒發後，風靡一時，廣受歡迎，但是也曾引起一場小風波。事因當時任職唐室的一名印度天文專家瞿曇撰，由於沒有受邀參與修訂曆法工作，心懷不滿，揚言一行的“大衍曆”不過是抄襲印度古歷“九執歷”的一個曆法，而且一行擅自加入若干錯誤。歷官陳玄景及曾經協助一行的南宮說也竟然隨聲附和。為了分辨是非，玄宗下令侍御史李麟和太史令桓執圭依據天文臺的實測，比較“大衍曆”、“麟德歷”和“九執歷”三種曆法的準確程度。校驗的結果，在十次的測驗中，“大衍曆”有七、八次準確，“麟德歷”有三、四次，而“九執歷”只有一、二次準確。於是朝遷繼續使用“大衍曆”，一直到西元七五六年，被“至德歷”取代時為止。三百年後，宋代大科學家沈括(西元一0三0～一0九四年)對一行的“大衍曆”還盡力推崇。李約瑟也在《中國之科學與文明》中的《數學編》說一行是唐代最著名的數學家，而在同卷的《天文編》中又說我們需要一部關於這位精通天文大師的專書。我們可以說一行是歷史上最偉大的中國科學家之一。
僧一行(673――727年)
本名張遂，邢州鉅鹿人(今邢臺鉅鹿)。
唐朝時期中國古代偉大的天文學家,也是公元7世紀世界最傑出的科學家.
主要成就 ：精通陰陽五行之學,寫成闡釋揚雄《太玄》的專著，名聲不小,一行的佛教著作，以《大日經疏》為其密教思想的代表.一行的天文成就包括製造出“渾天銅儀”和”黃道遊儀”，水運渾天儀上設有兩個木人，用齒輪帶動，一個每刻(古代把一晝夜分做一百刻)自動擊鼓，一個每辰(合現在兩小時)自動撞鐘。可以說它是現代鐘錶的祖先，比公元1370年西方出現的威克鍾要早六個世紀，充分顯示了中國古代勞動人民和科學家的聰明才智。 重新測定了150多顆恆星的位置，多次測定了二十八宿距天體北極的度數。發現恆星運動現象，比西方早一千多年。設計製造了“復矩圖”的天文學儀器，用於測量全國各地北極的高度，修訂的《大衍曆》，糾正了過去曆法中把全年平均分為二十四節氣的錯誤，是中國曆法上的一次重大改革。比較正確地掌握了太陽在黃道上運動的速度與變化規律，《大衍曆》應用內插法中三次差來計算月行去支黃道的度數，還提出了月行黃道一週並不返回原處，要比原處退回一度多的科學結論，一行組織了全國13個點的天文大地測量。並從測量資料中，得出了北極高度相差一度，南北距離就相差351裡80步(合現代131.3公里)的結論。這個資料就是地球子午線一度的弧長。唐朝測出子午線的長度，在當時的世界上還是第一次。張遂的天文學觀點，有的比世界著名天文學家早一千多年。
一行還編寫了《開元大衍曆》、《七政長曆》、《易論》、《心機算術》、《宿曜儀軌》、《七曜星辰別行法》、《北斗七星護摩法》等。一行於開元十五年(727)十月去世，玄宗親自撰塔銘，諡一行“大慧禪師”號。 為了紀念一行的功績，1956年1月1日發行僧一行郵票一枚,人們還將小行星1972命名為"一行小行星"。一行發現當時許多恆星的位置，與古代典籍所載的位置有若干改變。現代天文學稱恆星位置的變動為“本動”。西方國家的恆星本動現象最早發現，歸功於哈雷慧星迴歸期的發現人艾蒙·哈雷(西元一六五六～一七四二年)，比一行晚了約一千年!……
距今三十七年前，我向英國劍橋大學的李約瑟請教，有什麼題目適合寫一部有關中國科學史的博論文。他就提出兩個題目，一個是“晉書天文志”，一個是“唐僧一行”，結果我所選的是“晉書天文志”。十五年後，當我在吉隆坡馬來亞大學任職的時期，同仁洪天賜希望我提出一個可以作為博士論文的題目，我就建議選擇一行為題。後來他的博士論文完成了，獲得校外考試委員李約瑟博士的讚賞。洪天賜現任吉隆坡馬來亞大學中文系主任職。
一行和尚俗姓張，名遂，生在唐高宗弘道元年(西元六八三年)。曾祖父張公謹，是唐太宗李世民的一位開國功臣，公謹三個兒子——大象、大素、大安，都是朝廷的大臣。但因文獻無徵，不知誰是一行的祖父，只知道一行的父親張檀，曾任縣令。張氏家族在武則天時代已經衰微，一行就是生在武則天稱帝的前幾年。一行自幼聰穎過人，讀書過目不忘;稍長，博讀經史書籍。他去元都觀拜謁博學多聞的道士尹崇。尹崇因為一行虛心求學，對他極為嘉許，給他許多指導，並借自己的書給他閱讀。有一次尹崇借了一部揚雄所作的《太玄經》給一行看。這是一部文詞艱澀、內容隱晦的書，並非一般讀者所能看得懂。一行隔了幾天便把這部書交還尹崇。尹崇起初以為一行是覺得這部書名符其實，實在是太玄了，失了興趣，趕還書。但當一行拿札記向他請教時，他卻讚不絕口，並向外宣揚一行的學問，而且因自己能夠發現一位天才而自慰。從此一行就以學識淵博而名於長安。
後來一行為著避開武三思(?～七0七年)的拉攏，跑到蒿山的嵩陽寺剃度出家，改名敬賢，法號一行。他也藉著遁世絕俗的機緣，和對天文、曆法、數學等有修養的高僧接觸，就近請益。嵩陽寺的主持普寂禪師十分讚賞他的卓越表現。有一次嵩陽寺舉行盛會，邀請四方沙門蒞臨觀禮，著名隱士盧鴻也在會列。盧鴻被邀請為大會寫一篇文章。寫成後，盧鴻把它置在几案上，對眾宣佈如果有人能誦讀這篇文章，就立刻收他為弟子。他這篇文章實在是句僻字古、深奧難解，並不是常人所能讀通的。一行上前拿來看，就放回案上。盧鴻看見一行的行動，頗為不滿，正想開口指斥他輕薄，但一行忽然回頭望著他，瞬息間把整篇文章背誦出來。盧鴻極為驚訝，他告訴普寂沒有能力教導這樣一個門徒，應該讓一行自己去遊學。
不久一行辭別嵩陽寺，開始雲遊求學，經過長途跋涉，到達天台山的國清寺。當時國清寺有一位精通數學的高僧駐錫，可惜姓名，法號都不祥。一行往國清寺的目的，就是專誠向他求教。下面引述唐代鄭處誨《明皇雜錄》的記載：
一行因窮大衍，自此訪求師資，不辭千里。嘗至天台國清寺，見一院古松數十步，門有流水，一行立於屏間，聞院中僧於庭布算，其聲簌簌，既而謂其徒曰：“今日當有弟子求吾演算法，已合到門，豈無人導達耶?”徐一算，又謂曰：“門前水合轉西流，弟子當至。”一行承言而入稽首，諸法盡授其術焉，而門水舊東流忽改為西流矣。
上文所述的數學是指傳統數學，包羅術數和現在所指的數學。大衍和易數有密切的關係，也和現在所指的數學有些關連，下文自有交待。
西元七一一年，一行回返嵩陽寺，朝廷有意邀他參政，但他以健康欠佳為藉口婉辭。稍後一行再度整裝遠遊，前往玉泉山的玉泉寺，專心研究占星術。不久唐玄宗(七一二～七五六年在位)即位，朝政革新，文化和科學都呈現著蓬勃的現象。玄宗派遣一行的族叔張洽前往玉泉寺，勸一行晉京。五年後，一行終於上京，玄宗親予接見，一行便駐錫華嚴寺。在這期間，他有機會和許多精通天文和曆法的印度僧侶交往，從中獲得印度天文學方面的知識。
一行往長安與密宗從印度傳入中土初期巧合。密宗是由西元七一六年善無畏Subhakarasimba(六三七～七三五年)和西元七一九年不空 Amoghavajra(七0五～七七四年)、金剛智Vajrabodhi(六七一～七四一年)先後攜入該派的經典。一行從不空學得密教，他們兩人結了亦師亦友之交，由一行協助翻譯經典。不空的一位弟子惠果(七四六～八0五年)為長安青龍寺主持。日本的真言宗為弘法大師(七七四～八三四年)所創。他入唐求法，在長安青龍寺受戒時法名空海，師事主持惠果。所以一行和善無畏、不空、金剛智和弘法幾位高僧，在日本真言宗裡具有崇高的地位。日本高野山真言宗聖地供奉有中土傳入的一行大師繪像。聞說京都東寺亦有一行像，惜未得一見。
有三個從印度移居長安的家族，對印度文化東傳和唐代天文學的發展曾作出很大的貢獻。它們是瞿曇氏Gautama、俱摩羅氏Kumara(又作鳩摩羅、拘摩羅等)、迦葉波氏Katyapa三個天文專業家族。一行上京的時候正值瞿曇悉達Gautama Siddharta任太史令職。他曾修理當時的鐵渾儀，西元七一八年翻譯九執歷Navagraha，西元七一八至七二六年間編纂《大唐開元佔經》(簡稱《開元佔經》)，採入許多秦漢以來天文和占星術零散資料，以及一些從印度傳入的天文和數學知識。一行和這些家庭有來往。例如瞿曇氏家族對一行後來的“大衍曆”提供了一種日食計算方法和一種占星書，而獲得一行支持者則是俱摩羅氏。
當時善無畏、不空、金剛智幾位密教高僧都在長安的大興善寺內駐錫。瞿曇氏、俱摩羅氏和迦葉波氏也在大興善寺居住。日本入唐高僧空海也嘗在此駐錫。一九八六年十一月，我在西安西北大學講學，順便訪問大興善寺，憑弔唐代印度高僧所駐錫和一行常到訪的遺蹟，當時的屋宇現已一無所存，遍佈亂石和雜草，附近新建了空海大師紀念碑，這是由日本真言宗資助所建的。日本的真言宗又資助重建青龍寺，在舊址附近，供奉善無畏、不空、金剛智、一行、惠果、空海等畫像。
言歸正傳，當開元九年(西元七二一年)，唐玄宗面臨曆法需要修訂的時候，他便召見一行，因為他知道要執行這一項重要而且困難的任務，除卻一行，沒有任何人可以擔當得起。
一行準備開始觀測天象的時候，便發覺當時所用的天文儀器都已經陳舊腐蝕，不堪使用。他便立刻重新設劃，製造兩座比以前更為精密的儀器。他獲得梁令瓚的援助，共同進行這項工作。經過了三、四年的歲月，這兩座巨型天文儀器終於大功告成。一座是以銅製成的黃道遊儀。這是用來測定日、月、五星在本身軌道上的位置。它的設計比較以前所用的遊儀更為精密、更為完善。以往的遊儀都是赤道裝置，僅能夠測得日、月、五星的執行，但是沒法直接確定它們本身軌道上的位置。黃道遊儀的特點是儀器上的黃道環和赤道環不是固定在一處，所以能夠依據它們的旋轉動態，從儀器直接獲得答案。黃道遊儀在開元十三年制成，唐玄宗親為制銘，置於靈臺以考星度。靈臺是天文臺的古稱。
一行的第二座天文儀器是水運渾儀。這是依據東漢張衡(西元七八～一三九年)的渾天儀水力推動原理而製成的，不但能顯出日、月進行的規律，而且可以自動記時。據《舊唐書· 天文志上》記載：“立二木人於地平之上，前置鼓以候辰刻，每一刻自然擊鼓，每辰刻自然撞鐘”，堪稱世界上有史以來最早的一座自動計時器。後來北宋的蘇頌(西元一0二0～一一0一年)製造元祐儀，並寫了一部《新儀象法要》詳述這座儀器的構造。他說元祐儀系以古法為臺三層。所謂古法該是指一行的水運渾儀。李約瑟、王鈴和普萊士Derekde Solla Price在他們的一部《Heavenly Clockwork》(一九六0年出版)中稱元祐儀為一座天文鐘。“鍾”是一具專門自動計時的儀器。一行的水運渾儀和後來蘇頌的元祐都是天文儀器，同時也是自動計時器，一物兩用。因為從來沒有一個代表自動計時功能的專門的名詞，這兩座天文儀器所具有的自動計時功能，便逐漸被忽略了。西元十六世紀下半葉，耶穌會教士利瑪竇Matteo Ricci(西元一五五二～一六一0年)帶來自鳴鐘，當時沒有人想起一行的水運渾儀和蘇頌的元祐儀其實早已具有自鳴鐘的功能。
透過以上兩座天文儀器的觀察，一行發現當時許多恆星的位置，與古代典籍所載的位置有若干改變。現代天文學稱恆星位置的變動為“本動”proper mtion。西方國家的恆星本動現象最早發現，是歸功於哈雷彗星迴歸期的發現人艾蒙·哈雷Edmond Halley(西元一六五六～一七四二年)，比一行晚了約一千年!三十餘年前天文學家陳遵媯首先提及一行發現恆星位置移動問題;天文學家席澤宗認為這是由於古代觀測天象儀器不夠精確所引起;而李約瑟的意見是，無論如何，在一行的心目中，他所用的古代觀測記錄是可靠的，他認為恆星的位置是已經移動了，這就是“恆星本動”!西方科學家很重視恆星本動的發現。三十三年前，我在英國劍橋，路上碰見一個朋友——在劍橋天文臺工作的天文學家阿瑟·比爾Arthur Beer。他手裡拿著一些信件，正趕往郵政局想要買郵票寄出。我們就跑到總郵政局郵票售賣處的前面停下，因為還有半小時才下班而且沒有其他顧客，我們繼續聊天，所談的是僧一行的天文學成就。他說一行發現恆星本動是一件很了不起的事情，又說因為一行有過目不忘的天賦，假如他來參加劍橋大學的畢業試，必定勝人一籌。後來他想起來郵政局的目的時，已經是下班時間了。他趕去櫃檯買郵票，郵政員對他說：“來不及了，請你明天再來吧。”可見連西方的天文學家也津津樂道一行在科學上的成就。
其實我和阿瑟·比爾都是同在一個六人小組共同研究一行在天文學上的另外一個大貢獻——這就是他的子午線測量的工作。從現代的常識來說，子午線是透過南北兩極所畫在地球上的一個想像中的大圓圈，圓圈分為三百六十度(在中國傳統天文學上，這個圓圈是分為三百六五又四分之一度)。假如能夠測得子午線一度的弧長，那就可以算出地球的大小了。
自漢朝以來，一般從事於天文工作的人員，都是憑著夏至或冬至的正午，在南北兩個地點所測的日影長度，來作臆斷。他們認為假如兩地的日影長度相差一寸，則兩地的距離是一千里。他們測量日影的方法，是使用一支八尺高的標杆。其實這個“損益寸千里”的說法，並不正確可靠。隋代的劉焯(西元五四四～六一0年)就不同意這個理論。他主張在夏至、冬至和春分、秋分時在黃河南北兩岸的平地，實測日影在正午的長度。他的計劃已經遞呈朝廷，隋煬帝表示贊同這份奏本，但是沒有賜給任何人力和經費上的現實援助，因此劉焯的計劃始終沒有施行。
一行所領導的天文測量工作，能夠如期進行，這是由於他獲得玄宗的信任和太史監南宮說的鼎力支援。一行的工作人員所測量的地帶，是以黃河南北地區為中心，北至北緯大約四十度，南至北緯十七餘度。一行是以陽城(即今河南省登封縣東南告成鎮)為中點，指派工作人員前往分佈於南北區所指定的地點進行測候，各處所測的數值，都要和在陽城所測的數值作為比較。一行實地測量所獲得的成果，終於推翻了過去“損益寸千里”的理論。
此外，一行又根據河南省平原上面四個規測地點，計算子午線長度和北極高度的關係。所得的結論是子午線每“度”相等於三百五十一里又八十步的距離。中國傳統的“度”是以太陽一晝夜的移動為單位。太陽一年移動一周天三百六十五點二五“度”。折現代的公制，一行所獲得數值是：一度的子午線在地球平面的弧長是一三二點零三公里。從現代科學觀點來說，這個數值並非很準確;但在西元八世紀，採用此實地測量方法，可算是科學埃拉託斯散納Eratosthenes(西元前二七六～一九五年)，曾經試圖測量子午線一度的弧長，但他的測量規模和準確性遠比不上一行的工作。另外一次的測量是由阿拉伯回教國王阿爾·馬蒙Al-Mamun(西元八一三～八三三年在位)主持，晚於一行約九十年。
我們還試圖解答一些有關一行測量子午線的問題。第一個問題是關於弧長的準確性。由於一行所取的子午線太短，僅僅大約二百公里，難怪弧長不甚準確。另外一個問題是關於一行是否有地球是圓體的概念。張衡的《渾天儀注》有“天如雞子，地如雞中黃，弧居於天內”的記載。一行想已熟識張衡的著作，而且他在長安與精諳天文學的印度專家來往很密切，所以他對地球的形狀該有所聞，且有地球圓周弧長的概念。一行的答案顯示他對繁複的算式能夠應付裕如，可能是得力於印度高僧或專家所指導的三角函式表。r> 一行製造新天文儀器，作詳細的天文觀察，和進行子午線的測量，目的在編制一部新曆法，以取代已經不能符合當時天象觀測的“麟德歷”。他編制新曆，大約自開元十二年(西元七二四年)開始。他一方面校驗自己所觀測的結果，另一方面博覽前代的歷本。當時有二十三家的歷法，其中最受他重視的，是劉焯的“皇極曆”。他也曾經採用印度曆法的一些長處，以審慎態度取長補短，而非全部採用印度的歷法。
以往劉焯認為太陽執行速度有快慢的現象，這是一個很重要的發現。可是他對這種不均勻的執行現象，示能充份瞭解。一行補充他的發現，指出太陽執行的速度是由快漸轉慢(道是從近日點太陽速度最快時開始)，再由慢漸轉快(即由遠日點太陽速度最慢時開始)。這可以說是一行在天文學上的另外一項重大貢獻。一行從太陽執行的快慢情況出發，按照不等的時間間隔，安排二十四節氣，從而進一步指出，劉焯所用的“等間距二次內插法”來計算相鄰兩節氣間太陽執行的速度，是不適當的。因此，他便改用“不等間距二次內插法”，以算出相鄰兩節氣間的太陽執行速度。
所謂“內插法”，乃是“近似計算法”的一項重要課題。劉徽注《九章算術》第七章“盈不足術”就是一種最簡單的內插法，亦即是所謂“一次內插法”。印度數學家布馬古達Brahmagupta亦曾使用類似劉焯所用的“等間距二次內插法”公式，年代大約是西元六二八年，比劉焯稍晚。後世天文和曆法工作者，沿用一行的內插法公式達五百年，直至元代郭守敬(西元一二三一～一三一六年)編訂“授時歷”時，才改用“三次內插公式”。由此可見，天文學的不斷髮展，對數學的要求也愈來愈高，這樣一來就促進數學的發展了。高次內插法也是中國數學所達到的一個高峰。我們可以曉得一行在數學上的成就，並不遜於他在天文學的享譽。
一行為了編訂新曆法，耗費了六年的歲月，他的新曆取名“大衍曆”。這個曆法追算出上古的一個“日、月、五星如聯珠”的時期作為起點，算出“上元閼逢困敦之歲”，距開元十二年甲子歲，歲積九千六百六十六萬一千七百四十算。一行所用的“大衍”這個名詞已把對易數的關連表露無遺。一行所追算的上古“上元”的方法沒有留存下來。後來南宋數學家秦九韶(一二0二～一二六一年)悟出所用的“大衍求一術”即《孫子算經》解答“物不知數”題的方法。秦九韶也利用“大衍求一術”解答著卦問題和曆法問題，可見傳統數學是包羅術數，而一行在易數方面無疑是有很高的造詣。
“大衍曆”的初稿在開元十五年(西元七二七年)完成。同年十一月二十五日，一行陪同玄宗往新豐(在今陝西省臨潼東北新三鎮)。不料一行病倒，當天晚上竟在新豐與世長辭，享年四十四歲。玄宗敕令將他的遺體運回長安安葬，併為他建築一座紀念塔。一行在長安時駐於華嚴寺。一九八四年九月，我訪問西安，順便訪查華嚴寺古址，留下來的只是一座失修的古塔。聞說一行駐該寺時有原有另一座塔，後為地震所毀，我見到的一座是後來增建的。
一行逝世後，玄宗命大臣張說與歷官陳玄景負責整理“大衍曆”的初稿，並於翌年(西元七二八年)頒行天下。“大衍曆”頒發後，風靡一時，廣受歡迎，但是也曾引起一場小風波。事因當時任職唐室的一名印度天文專家瞿曇撰，由於沒有受邀參與修訂曆法工作，心懷不滿，揚言一行的“大衍曆”不過是抄襲印度古歷“九執歷”的一個曆法，而且一行擅自加入若干錯誤。歷官陳玄景及曾經協助一行的南宮說也竟然隨聲附和。為了分辨是非，玄宗下令侍御史李麟和太史令桓執圭依據天文臺的實測，比較“大衍曆”、“麟德歷”和“九執歷”三種曆法的準確程度。校驗的結果，在十次的測驗中，“大衍曆”有七、八次準確，“麟德歷”有三、四次，而“九執歷”只有一、二次準確。於是朝遷繼續使用“大衍曆”，一直到西元七五六年，被“至德歷”取代時為止。三百年後，宋代大科學家沈括(西元一0三0～一0九四年)對一行的“大衍曆”還盡力推崇。李約瑟也在《中國之科學與文明》中的《數學編》說一行是唐代最著名的數學家，而在同卷的《天文編》中又說我們需要一部關於這位精通天文大師的專書。我們可以說一行是歷史上最偉大的中國科學家之一。