直線由無數個點構成，是構成幾何圖形的最基本元素；

直線沒有端點，向兩端無限延長，長度無法度量；

直線是軸對稱圖形。

1、數學：二次函式判別式 = discriminant；2、數學：二元函式極值判別式 = discriminant；3、數學：幾何中的三角形 = triangle；4、數學：微積分中，增量 = increasement；5、數學：線性代數中，行列式 = determinant6、化學：加熱 = heating；7、物理化學：吸熱、放熱 = endothermal，exothermal焓變、熵變 = change in enthalpy, entropy溫差、電壓 = difference in temperature, potential8、科學、工程：誤差 = error，uncertainty

這是一個很有意思的話題，我將竭盡所能與題主探討一下直線的意義。

一、數學上的直線定義

我們在中學開始接觸幾何和數學的時候，直線就可以有幾何定義和數學的定義。在平面幾何上，直線是點在空間內沿相同或相反方向運動的軌跡。或者定義為：曲率最小的曲線（以無限長為半徑的圓弧）。

從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角座標系中的一個二元一次方程所表示的圖形，即y=kx+b，k被稱為該直線的斜率，b是當x=0時，y的值。

在三維空間中，兩個平面相交的交線為一條直線。因此，在三維空間直角座標系中，用兩個表示平面的三元一次方程聯立，作為它們相交所得直線的方程。

空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置， 由它經過的空間一點及它的一個方向向量完全確定。

在非歐幾何中直線指連線兩點間最短的線，又稱短程線。方向向量：擷取直線l上兩點A（l,n,0）和B（k+l,m+n,1）方向向量為：AB=（k,m,1）

二、對歐氏幾何中直線定義的質疑

我們從前面的定義中可以看到，在歐幾里得幾何學中，點、直線、平面都是直觀的幾何物件。在建立歐幾里得幾何學的公理體系時，直線與點、平面等都是不加定義的，我們把它們當作“真理”，它們之間的關係則由所給公理刻畫。

現在我要質疑歐氏幾何的哪方面呢？我當然不可能去質疑，過兩點有且僅有一條直線。我只想質疑它的真實性問題。因為對於幾何來說，它的基本概念跟我們理解的真實物體之間是沒有什麼關係的，都是抽象的概念。

然而幾何中的這些點、線、面其實都是跟我們經驗世界中的物體相對應的。毫無疑問，這些經驗中的客觀存在的物體，是我們幾何中的點、線、面的概念的由來。從這個角度去說的話，其實我們可以把歐式幾何中的點、線、面，與物理學上的剛體（或者是我們認為不會變形的物體）上的點、線、面相對應。這樣一來，幾何中的點、線、面都可以看作是物體上的點、線、面。這樣我們就可以去討論這些基本概念的真實性問題了。

三、物理學上的“直線”概念

在這裡我要提一下物理學中的最小作用量原理。在生活中我們可以發現很多的極值現象，比如水總是往低處流、一根兩端懸掛起來的線會自然彎成一道弧線，太空中的星體和水滴都不約而同地選擇球體這個形狀。骨頭、羽毛、植物的莖、蜂巢、螞蟻窩的構造，都是最符合自身的目的，又是最節省原材料的。這些自然現象的背後，就是最小作用量原理。

那麼這個最小作用量原理跟直線有什麼關係嗎？

可以說關係很大。我們在前面定義直線的時候就有一個基本的公理：兩點間線段最短。可以說直線就是這樣一條線，它上面的任意兩點間的最短距離都在這條線上。從這個角度來說，要考察一條線是不是直線，我們需要考核這條線上的兩個點之間的最短距離在不在這條線上。很顯然，我們如果從這個角度去考核什麼是直線，就必須考慮這個幾何問題的物理實在性問題。

如今，廣義相對論已經被大量的觀測事實所證明，觀測事實告訴我們，光線在大質量天體附近沿著“最短路徑”即測地線方向前進。所以我們看到，真正的“直線”並不是直線。這就是廣義相對論告訴我們的時空彎曲。所以從物理學的角度來說，所謂的直線，是真空中光走過的路徑。

全文總結

我們從傳統的歐式幾何的直線概念，談到了幾何概念的物理意義，又從最小作用量原理給出了物理學上的直線概念。希望本文能對各位小夥伴對於直線這個概念有一個重新的認識。如果您覺得這篇文章對您有所幫助，有所領悟，您不妨順手點贊、評論，轉發或者關注一下老郭的賬號。

直線是怎樣測量出來的？

請你不要回答說，幾何學中有直線概念的明確規定，因為按照希爾伯特的觀點，在公理化的幾何學中，點、直線、平面等概念是不加定義的，“點”、“直線”、 “平面”僅是一組符號，它們甚至可以代表任何事物。例如，“點”可以代表凳子，“直線”可以代表桌子，“兩點確定一條直線”可以理解為“兩條凳子可以拼成一張桌子”。

顯然，我們完全可以說，我們規定了某一物體是直尺，它就是直的。座標系中的三根空間座標軸是我們用我們規定好的直尺測量過的，它也是直的。後來我們將長度測量標準改為光線在給定時間內所傳輸的距離，這時，我們也可以說，光線是沿直線傳播的。這實際上就是說，我們用光線定義了直線，其它線段如果與光線不吻合，它就不是直線。也可以說，“光線沿直線傳播”是我們人為的規定。如果直線判別標準不是人為規定的，我們判斷直尺不直的更標準的直尺又是什麼呢？

可見，直線的測量標準，實際上是在我們規定長度測量標準時，即規定直尺時，同時人為規定了的。

有人說，短程線可以作為直線的判別標準。但空間中兩點之間的所有連線中，究竟那一條是最短的線，需要測量這些連線的長度，因此，必須首先要有直尺，而且，直尺必須是直的，這樣，測量出的長度才是我們通常所說的長度。可見，直線的判別標準，還是在規定直尺時所規定了的。

既然直線的判別標準是人為規定的，那麼，我們能不能任意規定一條曲線為直線呢？否則，怎麼能說是人為規定的呢？我們不能說，我看到它就是彎的，因為我們的感覺系統是不能作為標準使用的。

暫時放一放關於直線判別標準的討論，先來檢查一下“光線沿直線傳播”的規定。在廣義相對論中，光線並不沿直線傳播，引力場中的光線會彎曲，這是廣義相對論的一個重要實驗支援。英國科學家愛丁頓在一次日全蝕時，拍下了太陽周圍其它天體的照片，與正常情況下的天體照片對比，發現照片上太陽周圍的天體位置變化了，但我們認為天體的實際位置並未變化，而是光線彎曲了，太陽的引力導致了其它天體的光線在經過太陽附近時發生了彎曲。

那麼，在廣義相對論中，光線還能是直線的判別標準嗎？如果不是，廣義相對論中的直線又是怎樣判定的呢？

仔細分析一下愛丁頓的作法，也許能幫我們解開這個迷。愛丁頓是拿兩張照片比較後，才認定光線是可以彎曲的。這裡，愛丁頓認為照片的感光紙是不會收縮或膨脹的，因為這是用我們的直尺測量出來的，同時，愛丁頓認為星系的位置也是不會變動的，因為這是我們以往長期測量的結果，測量時使用的標準是與直尺等效的規律標準，唯一可以變動的因素是光線，唯一的解釋只能是光線彎曲了。顯然，在愛丁頓的心目中，一條線段是不是直線是完全可以判定的，這個判定標準是存在的。可以說，愛丁頓是以我們以往的整個物理理論，包括與這個理論完全一致的常識作為了直線的判別標準。

但是，在我們以往的物理理論中，或按我們以往的直線測量標準，光線是沿直線傳播的。光線沿直線傳播是我們的測量標準，為什麼它又能測量出光線沿曲線傳播呢？這難道不是自相矛盾嗎？

當初我對這一問題也迷惑不解，但後來恍然大悟。如果我們仍用原來規定的直尺作為長度測量及直線判定的標準，則當我們將這個直尺拿到另一個地方，測量出另一個同種材料、同樣形狀的物體因某種原因（如受力）而彎曲了，變短了，我們並不會迷惑。當然，標準直尺沒有受到這種因素的影響（如不受力）。同樣，如果認為光線是直線的判定標準，則我們只能這樣說，“在沒有引力場的時空中，光線是沿直線傳播的”，這是我們人為的規定，它等效於直線的測量標準。即使在有引力場的地方，“在沒有引力場的時空中，光線是沿直線傳播的”這句話也是對的，它仍是我們的直線判定標準，只不過它已不是“實物標準”，而是“規律標準”了，即用由這個標準所測量出來的物理規律及整個物理理論體系作為時空及直線的測量標準。我們說，感光紙不會膨脹或收縮，星系位置不會變化，就是與“無引力場的時空中光線沿直線傳播”這個實物標準等價的規律標準。用這個規律標準測量，另一束光線，在經過引力場時發生了彎曲，就如同用沒有受力的實物的直尺，測量出了另一個同種材料、同樣形狀的物體因受力而發生了彎曲一樣。直尺只是對一個特定物體的長度及形狀做出了規定，而不是對所有物體長度及形狀的規定，包括所有同類材料和形狀的物體。同樣，當用光線作為直線的判定標準時，也只是對一個特定場合下的光線是不是直線作了規定，而不是對所有情況下的光線做出規定。

可見，我們不能冒失的說，原來的整個物理理論，與用這個理論作為標準所測量出的光線可以彎曲的結論相矛盾。在我們以往的整個物理理論中，沒有涉及到或測量過光線在引力場中傳播時的情況，至少沒有測量過強引力場中的光線傳播。也許是原來的理論不全面，現在有必要擴充套件我們的理論，增加由“無引力場時空中的光線沿直線傳播”這一標準所測量出來的，引力場中光線會彎曲這一實驗結論。

可以說，在我們所在的參照系中，測量出廣義相對論成立的直線測量標準，或直線的定義，仍是“無引力場環境中的光線是直線”，或與這一說法完全等價的其它定義或規定，例如，規定一條與無引力場環境中的光線完全吻合的物體稜邊作為直線，規定儲存在大英皇家天文臺中的那根鉑金條的稜邊作為直線。

摘自《伽利略的脈搏》。

這是一個看似簡單，實則極其難回答的問題。而直線的定義，是每一種幾何學的根本。

對直線的早期認知

最早對直線的描述，來自古希臘時期民眾的世俗智慧。歐幾里得把這些來自民間的共識概念，進行了收納總結，寫在了他的《幾何原本》裡。

《幾何原本》開啟了數學公理體系的先河，體現了人類的智慧心智。何為數學公理？

數學本來就說靠數字來證明，每個證明必須有一個出發點，不然就無法證明，因此，整個數學必須有一個不證自明的出發點。這個出發點就是我們所謂的數學公理。

但公理為什麼是正確的？這就完全由我們的直覺來決定，問題是直覺並不能代表正確，所以在歐幾里得的幾何中，許多表述確實不成熟，和我們傳統認知的古典書籍一樣，有太多的概念模糊。

在《幾何原本》中，直線被描述為“在它上面的點一樣地平放著的線”，其中線的定義是“線只有長度沒有寬度”。 但“一樣地平放著”只是一個直觀的概念，所以算不上一個定義。

後來有人把直線定義為“兩點間最短的線，並且兩段能無限延伸”。

但問題是：如何定義短？

短是距離概念，從純幾何學考慮這個問題的話，測量距離需要運用尺子，但尺子又是“直線”概念的應用，變成了用“直線”證明“短”，再用“短”證明“直線”，這成了典型的迴圈定義了。

也就是說，我們用了這麼久的“直線”在歐式幾何裡其實一直沒有一個精準的定義。

直到微積分和座標系概念出來後，直線有了嚴謹的數學定義。

實際上，在幾何學內所有的直線定義都是具有主觀性的。某種程度來說，直線無法被真正定義。

在一些數學家看來，公理沒有什麼對錯，它僅僅是人們約定的一些數學符號，數學就是從一個符號按照既定的規則推匯出另一個符號而已。

一旦基於不同的公理，建立起一種不一樣的直線定義，就可以構建出一套新的幾何學。

數學上的這一特性，有一個專有名詞叫“哥德爾不完備定理”，這是一個超級燒腦的推理，就不詳細敘述了。它主要證明的是，對於一些基本概念或公式，在一個推導系統內無法推出它，也無法否定它，即無法判定。

這對一些認為數學是最完美學科的人來說，這簡直就是一個噩夢。

但既然在系統內無法做到，所以只有在系統外，來想辦法解決。

在笛卡爾創造了直角座標系後，解決了空間定位問題，牛頓和萊布尼茨發明了微積分，解決了數學的無限求和問題。

用類似微積分的思考方法，在兩點距離間想象成有無數個無窮小的笛卡爾座標系，再運用解析幾何在每個笛卡爾座標系中定義出一小段距離，然後透過一條最短路徑將它們連線起來，就能定義出兩點間的最短距離。

這樣，就能不用“尺”而定義出“最短”的概念，讓直線的定義有了嚴謹的數學推導。

物理學裡對直線的定義

物理講究客觀實在性。

也就是說，凡是定義的概念，必須有一個證明了的現實存在，而且要滿足直線可以無限延展的特性。

目前，能夠滿足上面說的，似乎就只有光線的執行軌跡了。因為現在物理學認定的四大基礎力，只有引力與電磁力是長程力，而能確定的粒子只有光子，引力子從未發現， 所以在物理學上來說，直線就是光的執行路徑。

但是光具有波粒二象性，一旦進入微觀層面，光的路徑就沒有粒子性的軌跡可言。量子的機率運動，說明在量子力學層面不存在有直線的概念。

僅從直線定義這一點上，其實也能看得出，量子力學無法包容現在所有的幾何學，這也是它與相對論在數學基礎上的矛盾對立。

而且，現在的物理學已經證明，光在經過大質量天體時會彎曲，說明在現實中直線是會彎曲的，這和我們對直線的直觀感受根本對立。所以說，數學上純粹的直線反而成了一種臆想。

總結

不知道這樣把直線的概念說得稍微清楚了沒？直線到底是什麼？嚴格意義來說，沒人能把它說得完全清楚。

都說數學是最嚴謹的一門學科。但是一旦觸及它的底層概念，你就會發現，它其實也會有無法自證的時候。

所以說，一個再理性的人，也無法僅靠理性而活，骨子裡沒有一點信仰，你連人生的出發點都沒有。

就連愛因斯坦骨子裡都是信仰上帝的，但愛因斯坦的上帝不是“奇蹟”而是“秩序”，沒有對“秩序”的信仰，就沒有嚴謹的科學精神。

事實是，根本沒有辦法科學地說出直線的含義，因為“直線”是一個幾何概念，而幾何是一種從現實世界高度抽象出來的數學理論體系，他更多具有哲學的特徵（數學不是科學，因為數學無法證偽），整個數學體系都是建立在人為定義的公理之上的。而在現代數學當中，幾何學是非常多樣化的，這直接導致了直線的定義的多樣化。我們來看看這種奇妙的多樣性吧：

歐氏幾何

歐幾里德關於直線的描述，以直譯自古希臘語的英語是這麼來描述的：

A straight line is a line which lies evenly with the points on itself直譯：直線是其自身上的點都一致“躺平”的無寬度的長度

這個用無論用英語還是漢語都很難懂，可能是因為古希臘人的表達方式跟現在有很大差別吧（以至於用現代語言很難簡單描述）。為了說明歐幾里德關於直線的定義，我我借用了國外某網站上的一段說明圖文，大家一起來看看吧：

上圖紅色數字分別解釋如下：

一條典型的直線

我們把它分為三條等長的部分

一條典型的曲線

我們也把它分為三條等長的部分

實際上歐幾里德說的意思就是，在曲線上的各個部分即便長度相同，但是他們並不能lie evenly(躺平)，而在直線上，不管你怎麼分，不管長度是否相同，這些部分都是能“躺平”的。有趣的是，歐幾里德並沒有用點的幾何來定義直線，而是用線段來定義直線，當直線的長度趨近於零的時候就成了點——這完全是微分的概念，也就是說歐幾里德的腦袋裡面壓根兒沒有把直線認為是點的幾何，雖然它在這個定義中用到了點的概念，或者說歐幾里德根本就沒有吧直線上的點認為是沒有長度的——這裡有一點讓人細思極恐，難道歐幾里德跟他同時代的希臘人已經研究過微分的問題了？

顯然，歐幾里德用微分的概念巧妙地定義了直線，雖然文字上難懂，但很有深刻的邏輯性！如果換成微分的語言，那就是：

直線的微分斜率總想等，或者

直線上任意點的導數為同一常數（因為歐式座標系中直線總是線性函式，無論多少個維度，在任意點上求導都是同一個常數）

但這僅僅是歐式幾何的描述。在其他幾何體系當中的描述方法就非常不同。

解析幾何

平面中的線通常被定義為座標滿足給定線性方程的點集。這個算是好懂的，只是把直線跟代數扯上了關係。

上圖：解析幾何中的直線，從某種意義上講就是一個方程。

重合幾何(Incidence geometry)

直線可以是獨立的物件，跟其上的點根本不是“一家人”，就無謂躺平不躺平的問題了。我的“直”跟你“一點”都沒有關係。o(∩_∩)o

當傳統幾何體系（如歐氏幾何）當中所有其他概念都被移除並且只剩下關於哪些點位於哪條線上的資料時，就構成了重合結構。重合幾何就是研究重合結構的幾何學。

上圖：重合幾何的圖示當中，點都會被特別強調出來，因為它研究的點和線雖然重合，但它們不是一路貨。

微分幾何

在微分幾何中，直線被解讀為測底線（兩點之間最短路徑，及其延伸）。

微分幾何使用微積分、積分，線性代數和多線性代數等技術來研究幾何中的問題。自19世紀後期以來，微分幾何已經發展成為一個更普遍地涉及可微流形上幾何結構的領域。 微分幾何與微分拓撲和微分方程理論的幾何方面密切相關。

上圖：測地線的直觀概念。在地球表面上的直線的典型例子就是經線和緯線。雖然他們並不是歐氏幾何中的直線。但對於我們生活在地球上的人來說，兩點間的測地線才是行走距離最短的（因為我們的運動被限制在地球表面這個曲面內）。當然，你會遁地術的話，你可以從地面下面走直線，距離會更近一點。

投影幾何

在某些投影集合當中，直線被認為是二維向量空間，或者說是二維向量空間在垂直平面上的投影。也就是說，實際上在一條直線內，隱藏著一個二維空間（我們只看到它的投影）——厲害，這是活生生的降為打擊理論啊。

射影幾何是對幾何的投影變性的研究。與基本幾何相比，在投影幾何中，對於給定的維度，投影空間比歐幾里德空間具有更多的點，並且允許幾何變換將額外點（稱為“無窮遠點”）轉換為歐幾里德點，反之亦然。

上圖：投影幾何的視角是投影關係。

在時下流行的機器學習領域所採用的支援向量機原理，就廣泛使用投影幾何將“超平面”投影為“直線”來降低計算複雜度或提升分類精度，從而提升機器學習效能。

上圖：機器學習演算法中的的支援向量機演算法主要就是利用了投影幾何中直線等同於超平面的原理。把三維分類問題簡化為二維分類問題。

總結

數學和幾何學雖然不是科學，因為它們的定義和理論基礎並不基於物理現實，因而不可被實驗、測量和證偽。但它們都是（或者合併起來是一種）高度抽象化的嚴密邏輯推理體系，因此任何人都可以基於某些公理和定義來建立一套嚴密這樣的體系，衍生出各種各樣的理論。而至於向“直線”這樣的定義可以在這些各種各樣的理論當中被反覆定義，並且具有不同的內涵，因此沒有辦法給出所謂“科學的含義”。