大數的起步是第四級運算。第四級運算就是a^a^a^a^a^……^a(有b個a)，這是由乘方是連續的乘法得出的。第四級運算就是連續乘方。在指數冪多重的時候，是從右往左而不是從左往右。我們先看下3^3^3從左往右和從右往左算的區別。
如果是從左往右，則3^3^3=19683，而如果從右往左，則等於7625597484987，從右往左算結果遠遠比從左往右算的大。實際上第四級運算和多重指數都是從右往左算的，第n級運算也都是從右往左。當然，第三級及以上等級的運算，都是沒有交換律和結合律的。因為2的立方不等於3的平方，3^3^3^3也不等於4^4^4。
第四級運算，符號是↑↑。乘方的另一個符號是↑，則第n級運算子號就是n-2個箭頭。
現在，我們來看下第四級運算到底有多強大。
2↑↑2=2^2=4
2↑↑3=2^2^2=2^4=16
2↑↑4=2^2^2^2=2^16=65536
2↑↑5=2^65536=2.0035×10^19728
2↑↑6=2^(2.0035×10^19728)=?×10^(6.03×10^19727)
2↑↑7=2^(2↑↑6)=?×10^?
我們很容易得出2↑↑3，2↑↑4的結果，2↑↑5要用科學計數法表示，而2↑↑6也能用科學計數法，但是不知道它最高位上的數是幾。2↑↑7就已經大的表示不出來了。
而3↑↑3=7625597484987，3↑↑4=1.25×10^3萬億多，3↑↑5?2↑↑8?2↑↑100呢？我們都得不出它們的結果了。
然後還有五級運算。
我們不難得出，2↑↑↑3=65536。
但2↑↑↑4和3↑↑↑3呢?實際上這兩個已經用幾位數，幾次方都無法表達了。就說一億的一億次方，在2↑↑↑4面前也還是小的像0一樣。
2↑↑↑4=2↑↑65536=2^2^2^2^……^2
3↑↑↑3=3↑↑7625597484987=……
然後還有更高大的，就是3↑↑↑↑3。
3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑3↑↑3=3↑↑↑(3↑↑7625597484987)=3↑↑↑(3^3^3^3^3^3^……^3)=3↑↑3↑↑3↑↑3……↑↑3(有3^3^3^3^3^……^3個3)
可見，3↑↑↑↑3無法用指數表示。也無法用超乘方表示。但是，它只是葛立恆數的最底層。
還有，高德納箭號，就是幾級運算的簡寫，也就是箭頭指數，其中3↑↑↑↑3簡寫成3↑(4)3，中間幾個箭頭上面的指數就是幾。
我們有2↑(5)3=2↑↑↑↑2↑↑↑↑2=2↑(4)4=2↑³2↑³4=2↑³2↑↑2↑↑4=2↑³2↑↑65536
這是2和3之間的第七級運算，展開後，就連超乘方塔也都這麼抽象，然而第八級運算，第九級運算……就已經是無法描述的大了。幾億次超次方都遠遠不能表述他有多大。
當然，葛立恆數的第二層，就已經用高德納箭頭法表示，表示的話需要n層高德納箭頭。也就是高德納箭頭上還有高德納箭頭。
g2，就是兩個3之間有g1個箭頭。也就是3↑g1 3，或表示為3↑(3↑↑↑↑3)3。然後g3,就是兩個3之間有g2個箭頭，上一層的箭頭數由下一層的得出……到g64,就是葛立恆數。葛立恆數是連幾級運算也無法形容的。
葛立恆數在大數中，還是隻小豆丁而已。葛立恆數之上的還有康威鏈。康威鏈就是形式如2→3→4→5的，兩段康威鏈就是乘方，前者為底數，後者為指數，三段康威鏈就是高德納箭號，a↑(n)b用康威連結串列示為a→b→n，四段，五段以上的，葛立恆數就遠遠比不過。多段康威鏈運算是這樣的：
a→b→c→d+1=a→b→(a→b→(a→b→……(a→b→(a→b)→d)……→d)→d)→d(a→b出現c次)
五鏈六鏈以上也一樣，只變後面兩個數，前面的全部都不變。減到1時就把1和右邊的全部刪掉。
鏈1→1→鏈2=鏈1。
葛立恆數介於3→3→64→2和3→3→65→2之間
而3→3→3→3就已經遠遠比葛立恆數大。
3→3→3→3=3→3→(3→3→(3→3)→2)→2=3→3→(3→3→27→2)→2=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27→1)……→1)→1)→1)→2(括號有27個)=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27)……)))→2=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3↑27 3)……)))→2=3→3→3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3(一共有26層箭號)→2=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3)……))(括號出現3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3次)=3↑(3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3)3(一共有3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3(一共26個括號)層高德納箭號塔)
看，3→3→3→3是一個用高德納箭號難以表示的大數，其中3→3→3→3等於g(g27)，而g葛立恆數比3→3→3→3大，但比4→4→4→4小。
然而這只是大數剛開始而已。
還有，cg函式，則是康威鏈的高階運算。
cgn=n→n→n→……→n(n個n)
cg4=4→4→4→4,cg5=5→5→5→5→5
當然，這種還是低端的迭代。
還有更高的，就是康威鏈下標，這才是重點。
a→b+c=a→ba→ba→ba→……→ba(c個箭頭)
a→bc+→bd+=a→b(a→b……(a→bc+→bd)……→bd)→bd(括號有c個)
a→2b=a→a→a→a→a→……→a(b個箭頭)
因此，2→32=2→22→22=2→2(2→22→21)→21=2→2(2→22)=2→2(2→2)=2→24=2→2→2→2→2=4
對於康威鏈下標，所有2→開頭的都等於4。
而3→32=3→23→23=3→2(3→2(3→23→22)→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→23→21)→21)→21)→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→23)))→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→3→3→3)))→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→3→3→3→……→3))→22)→22(內部括號康威鏈有3→3→3→3個)=3→2(3→2(3→3→3→3→……→3)→22)→22(內部括號有｛3→3→3→3→……→3｝3→3→3→3個3進行康威鏈)=……
可見3→32是用康威鏈極難以表達的數，葛立恆數在3→32面前可真是小的像0一樣。
當然，3→33比3→32大，而3→43比3→33大，然後接下來，我們還能想到3→53，3→63甚至3→3→3→3→33等大數，然後我們還能再擴充套件。就是C函式，它就是康威鏈下標的高階運算。C函式可以為一元，二元，三元函式，Ca=a→aa，C(a,1)=a→Ca，C(a,b)=a→C(a,b-1),C(a,b,1)=C(a,a(a,b)),C(a,1,b)=C(a,a,b-1),C(a,b,c)=C(a,C(a,b,c-1),c-1)
其中C(3,2)足以秒康威鏈，C函式中，以1為第一個數的都等於1，以2為第一個數的都等於4
下一個，就是n函式和Circle函式。
nk的增長率極快，n1,n2,n3都是兩位數，而n4就跳到連康威鏈都無法表示的大數，n105用C函式沒法表示。Circle函式則比C函式快。但是這兩個不是重點。下面還有更大的＃。
＃則是比C函式快很多的運算。
其中四個＃比康威鏈快，而一個＃跟乘方差不多。十個＃比Circle函式快。說到＃，就已經到數陣等級了。還有鳥之記號，其中｛3，3，3，3｝是很大的數，已經無法怎樣的想象，但比Tree3小是肯定的。
下一個應該就是Tree函數了。Tree函式是超越數陣的函式，其增長率為SVO級別，而康威鏈和C函式都是w的幾次方級別。數陣也只是ζ，ε，Γ這三個級別之間。SVO則是第五個級別。在超限序數中最低的是ω。其中Tree有大小寫之分，tree用SVO的增長率，Tree3>tree(3)^(tree(2)^tree(8))這個指數不是乘方，幾次方，而是指該函式的迭代次數。其中Tree1,Tree2為一位數，而Tree3是很火的大數，你可以自行想象Tree4,Tree5有多大，到後面，Tree(Tree(Tree……(Tree3)……))(有Tree3個括號)跟SSCG3比，和0是一個道理。然後SSCG函式，增長率比Tree快的多，SSCG2還是一個只有兩位數的數字。SSCG3就已經很大了。SSCG4可以自行想象有多大?當然，SSCG增長率不如SCG快，但是差別只是一次函式，可以忽略。所以SSCG和SCG的增長率是同一級別。其中不等式關係為SSCG3x+4>SCGx。
大數入門第七章就是無窮增長率。
乘方增長率為2，迭代冪次為3，高德納為ω，康威鏈為ω²，康威鏈下標為ω³。當然，在增長率表示面前，上述的函式就是對數函式的增長率。
然後比增長率表示高階的，便是Rayo函式，表示為用n個符號所能定義最大的自然數。當然Rayo10^100就是已經遠遠比SSCG3大。SSCG的高階迭代在Rayo函式面前跟對數函式是一個樣。因為它表示的是用n個符號所能表示最大的自然數。然後Rayo函式上面，就是BigFoot。也就是大腳。為目前所發現最大的自然數之一。
歸納：大腳>Rayo數>lander數>SCG3>Tree3>Circle(10^5)>C(3,3,3)>3→33>cg5>3→3→3→3>葛立恆數>3↑↑↑↑3>3↑↑↑3
所以葛立恆數的地位還是比較低的。
上面的為大數，下面講的就是無窮了。主要還是用阿列夫零構造就行。
當然，大腳上面的，就是阿列夫零。到阿列夫零之後，就是無窮了。然而至於大腳，它只是自然數集中渺小的一員。阿列夫零就是全體自然數的個數了。然後阿列夫零上面的就是阿列夫一，阿列夫一為實數的個數。阿列夫二為曲線的個數。
當然，2的阿列夫零次方等於阿列夫一，而2的阿列夫一次方等於阿列夫二，冪集也只是二的次方而已。因為2的阿列夫零次方等於阿列夫一，所以說，無窮大也是可以進行超運算的。然後一個無窮集合取冪集它的勢將大於一個原集合的勢。
當然，我們把2和阿列夫零進行四級運算等於幾?(或者說空集取可數次冪集它的勢是多少?)
一個集合，取一次冪集，它的個數是2^n，而取二次冪集，個數為2^2^n，取第三次，為2^2^2^n……於是空集取可數次冪集，它的元素有2^2^2^2^2^2^2^……^2個(阿列夫零減一等於阿列夫零，所以後面0次方可以省略)，也就是2↑↑阿列夫零，2↑↑阿列夫零=?呢。
答案是阿列夫阿列夫零。這基數靠有限次冪集是不能到的。因為1加不到阿列夫零。
然而2^2^2^2^2^2^……^2=2^2^2^2^2^……^2^(2^2^2^2^……^2)(括號裡外都有阿列夫零個2)
當然，2^2^2^2^……^2^阿列夫零=阿列夫阿列夫零。不過，這個在無窮中還是很小的一員。當然，空集取可數次冪集，這個無窮的勢遠遠比實數集大。當然，還有2↑↑2↑↑阿列夫零。它等於阿列夫阿列夫阿列夫零。2↑↑2↑↑2↑↑阿列夫零，它等於阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫零。
2↑↑↑阿列夫零=2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2……↑↑2=2↑↑2↑↑2……(2↑↑2↑↑2……↑↑2)=2↑↑2↑↑2↑↑2……=阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零
顯然2↑↑↑阿列夫零便是阿列夫阿列夫……這種讀法都讀不出的無窮。
然後還有3→3→阿列夫零
阿列夫零在康威鏈中具有自我複製的能力。如
3→3→阿列夫零=3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零
阿列夫零減1還是阿列夫零，這就使得阿列夫零在康威鏈中能自我複製。當然，它要放在第三鏈及後面才有效果。以上3→3→阿列夫零可就是非常大的無窮，已經遠遠超出乘方。然後上面的箭頭越算就只會越多。假設我們能拆到1：
3→3→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→(3→3)→2)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→27→2)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→3↑↑27→3)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3↑(阿列夫零)3↑(阿列夫零)3……3↑↑↑3↑↑27
前面還有阿列夫零個阿列夫零呢。然後後面的有限數級別運算也有阿列夫零個。
所以這個無窮是算不完的，從左往右算，算不完，從右往左算，也還是算不完。
然後還有3→3→阿列夫零→2，和g(阿列夫零)，這兩個將比3→3→阿列夫零要大。
3→3→阿列夫零→2=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→(3→3))……))=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27)……))=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→……(3↑27 3)……)))=……
由於阿列夫零減一還是阿列夫零，所以這括號是不可能算完的。然後中間的數只會越來越大。而g阿列夫零與3→3→阿列夫零→2是等勢的。因為3→3→(x+1)→2>gx>3→3→x→2況且阿列夫零加一還是阿列夫零。
下面還有阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零的。
阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零)→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零(括號出現阿列夫零次)=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→…… (阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零) ……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零
這更是厲害，展開後最裡面的括號出現阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零，比原數還大。如果再算下去，這裡括號集就是不可數集
由於阿列夫零的特性，使得康威鏈能夠無止境的自我複製。這樣便跨越了一切無窮基數。
後面還有cg阿列夫零，更是夠牛掰。
cg阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零(康威鏈有可數段)=阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零………… →(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零)→阿列夫零)………… →阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零(前面每個括號都有阿列夫零個阿列夫零)
當然，還有阿列夫零→3阿列夫零呢，還有C(阿列夫零，阿列夫零，阿列夫零)，Tree(阿列夫零)，SCG(阿列夫零)，Rayo(阿列夫零)，Big foot(阿列夫零)等等的呢?
當然，如果把用阿列夫零構造的無窮全體組合成一個集合，並定義它的勢，那麼這個勢和阿列夫零的區別就相當於阿列夫零和自然數的區別。事實上阿列夫零在無窮數中只是最小的一員，在強極限數上除了0之外也是最小的一員。阿列夫零的特點就是用有限數進行任何的運算都無法比它大。當然，這種數中，阿列夫零就是其中最小的一員。當然，阿列夫零之上的還有不可達基數，一階實無窮等等。但是，一階實無窮對於阿列夫零才是真正不可達的。
補充：不可達基數。
不可達基數則是排在阿列夫零後面的無窮大。可以抽象的想就是對於阿列夫零來說的無窮。其中從阿列夫零到不可達基數的跨度，跟從0到阿列夫零是一樣的。0無法用各種有意義運算到達阿列夫零，而阿列夫零也無法運用各種有意義的運算到不可達基數。阿列夫一?阿列夫阿列夫零，阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零(阿列夫阿列夫阿列夫……(阿列夫阿列夫……(……)……個阿列夫)個阿列夫)，然後再不斷的迭代或者對角化下去?然後想出各種牛逼的迭代與遞迴，當然不可達基數也比它們大。因為不可達基數是阿列夫零無法用各種運算所能到達的。就跟0無法用各種運算到阿列夫零一樣。不可達基數就是指不可數，正規強極限的基數。其中不可數的意義就是大於阿列夫零，正規就是到達它的最短長度等於它本身。也就是cfa=a。強極限就是比它小的任意基數，它們的2的次方都比它小。當然，阿列夫零滿足正規和強極限這兩個性質(因為任何有限數怎麼的運算都不能到達阿列夫零)，但是它是可數的，所以不是不可達基數。當然，也有人因為阿列夫零是所有有限數無法用任何運算到達的，於是把阿列夫零當成不可達數。不過，意義上講的話不可達數應該也一定要是不可數的。不過，然後你可以在阿列夫零的基礎上，想象著阿列夫零的任何運算都不能到達的這個數，它就是不可達基數了。
不過，不可達基數也並非是最大數，它只是最小的大基數而已。比不可達基數大的數還有很多。到不可達基數之後，對它的升級可就不是2的次方這麼簡單了。因為可以看上面的高階運算的阿列夫零得出來的數，可以看出運用無窮次比這運算低階的運算然後迭代遞迴各種搗鼓來搞這個數，與本身還是等勢的。因為3→3→阿列夫零=3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零。還有阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零)→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零
可以看出，你用低階運算來迭代阿列夫零的高階運算得出來的數，和本身還是等勢的。
你可以知道，不可達基數是多麼的大呀！
當然，阿列夫零怎麼得出，就是透過公理來宣佈出去來得出。因為阿列夫零無法用有限數的各種運算得到。對於不可達基數也是一樣，也只能透過公理宣佈出去得出。
然後不可達基數也是分界線，比不可達基數小的為小基數，不可達基數及以上的稱大基數。
接著，我們到不可達基數之後，我們假設不可達基數為a，然後比不可達基數大一點的稱a＇(後繼)然後再進行各種有意義的運算的迭代遞迴各種搗鼓，也到不了強可展開基數。不可達基數到強可展開基數中間也有幾條公理。然後強可展開基數後面就是緊緻基數，殆巨大基數，……最後到1=0(其中每相鄰的數中間有多條公理)。當然，會不會因為無窮大到太大了，連1=0這麼矛盾的東西都包含進去了。當然，它們，無論怎麼運算，或者下一個的運算到不了得出的下一個公理，也都到不了一階實無窮，一階實無窮大就是指所有大基數的總數。那才是對於阿列夫零真正意義上的無窮大，真正意義上的阿列夫零的不能到達。不可達基數僅僅只是阿列夫零中的，以任何運算不可到達的下一個數。相當於只是從0到阿列夫零的運算，再這樣同樣做一次的遞迴而已。
最後，一階實無窮才是目前最大的……不過一階實無窮還沒有實際定義，所以最大的是1=0。
當然，在zfc公理下，不可達基數以及後面的那些數是不一定存在的。一定存在的只有阿列夫數。
大數的起步是第四級運算。第四級運算就是a^a^a^a^a^……^a(有b個a)，這是由乘方是連續的乘法得出的。第四級運算就是連續乘方。在指數冪多重的時候，是從右往左而不是從左往右。我們先看下3^3^3從左往右和從右往左算的區別。
如果是從左往右，則3^3^3=19683，而如果從右往左，則等於7625597484987，從右往左算結果遠遠比從左往右算的大。實際上第四級運算和多重指數都是從右往左算的，第n級運算也都是從右往左。當然，第三級及以上等級的運算，都是沒有交換律和結合律的。因為2的立方不等於3的平方，3^3^3^3也不等於4^4^4。
第四級運算，符號是↑↑。乘方的另一個符號是↑，則第n級運算子號就是n-2個箭頭。
現在，我們來看下第四級運算到底有多強大。
2↑↑2=2^2=4
2↑↑3=2^2^2=2^4=16
2↑↑4=2^2^2^2=2^16=65536
2↑↑5=2^65536=2.0035×10^19728
2↑↑6=2^(2.0035×10^19728)=?×10^(6.03×10^19727)
2↑↑7=2^(2↑↑6)=?×10^?
我們很容易得出2↑↑3，2↑↑4的結果，2↑↑5要用科學計數法表示，而2↑↑6也能用科學計數法，但是不知道它最高位上的數是幾。2↑↑7就已經大的表示不出來了。
而3↑↑3=7625597484987，3↑↑4=1.25×10^3萬億多，3↑↑5?2↑↑8?2↑↑100呢？我們都得不出它們的結果了。
然後還有五級運算。
我們不難得出，2↑↑↑3=65536。
但2↑↑↑4和3↑↑↑3呢?實際上這兩個已經用幾位數，幾次方都無法表達了。就說一億的一億次方，在2↑↑↑4面前也還是小的像0一樣。
2↑↑↑4=2↑↑65536=2^2^2^2^……^2
3↑↑↑3=3↑↑7625597484987=……
然後還有更高大的，就是3↑↑↑↑3。
3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑3↑↑3=3↑↑↑(3↑↑7625597484987)=3↑↑↑(3^3^3^3^3^3^……^3)=3↑↑3↑↑3↑↑3……↑↑3(有3^3^3^3^3^……^3個3)
可見，3↑↑↑↑3無法用指數表示。也無法用超乘方表示。但是，它只是葛立恆數的最底層。
還有，高德納箭號，就是幾級運算的簡寫，也就是箭頭指數，其中3↑↑↑↑3簡寫成3↑(4)3，中間幾個箭頭上面的指數就是幾。
我們有2↑(5)3=2↑↑↑↑2↑↑↑↑2=2↑(4)4=2↑³2↑³4=2↑³2↑↑2↑↑4=2↑³2↑↑65536
這是2和3之間的第七級運算，展開後，就連超乘方塔也都這麼抽象，然而第八級運算，第九級運算……就已經是無法描述的大了。幾億次超次方都遠遠不能表述他有多大。
當然，葛立恆數的第二層，就已經用高德納箭頭法表示，表示的話需要n層高德納箭頭。也就是高德納箭頭上還有高德納箭頭。
g2，就是兩個3之間有g1個箭頭。也就是3↑g1 3，或表示為3↑(3↑↑↑↑3)3。然後g3,就是兩個3之間有g2個箭頭，上一層的箭頭數由下一層的得出……到g64,就是葛立恆數。葛立恆數是連幾級運算也無法形容的。
葛立恆數在大數中，還是隻小豆丁而已。葛立恆數之上的還有康威鏈。康威鏈就是形式如2→3→4→5的，兩段康威鏈就是乘方，前者為底數，後者為指數，三段康威鏈就是高德納箭號，a↑(n)b用康威連結串列示為a→b→n，四段，五段以上的，葛立恆數就遠遠比不過。多段康威鏈運算是這樣的：
a→b→c→d+1=a→b→(a→b→(a→b→……(a→b→(a→b)→d)……→d)→d)→d(a→b出現c次)
五鏈六鏈以上也一樣，只變後面兩個數，前面的全部都不變。減到1時就把1和右邊的全部刪掉。
鏈1→1→鏈2=鏈1。
葛立恆數介於3→3→64→2和3→3→65→2之間
而3→3→3→3就已經遠遠比葛立恆數大。
3→3→3→3=3→3→(3→3→(3→3)→2)→2=3→3→(3→3→27→2)→2=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27→1)……→1)→1)→1)→2(括號有27個)=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27)……)))→2=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→……(3↑27 3)……)))→2=3→3→3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3(一共有26層箭號)→2=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3)……))(括號出現3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3次)=3↑(3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3)3(一共有3↑(3↑(3↑……(3↑27 3)……3)3)3(一共26個括號)層高德納箭號塔)
看，3→3→3→3是一個用高德納箭號難以表示的大數，其中3→3→3→3等於g(g27)，而g葛立恆數比3→3→3→3大，但比4→4→4→4小。
然而這只是大數剛開始而已。
還有，cg函式，則是康威鏈的高階運算。
cgn=n→n→n→……→n(n個n)
cg4=4→4→4→4,cg5=5→5→5→5→5
當然，這種還是低端的迭代。
還有更高的，就是康威鏈下標，這才是重點。
a→b+c=a→ba→ba→ba→……→ba(c個箭頭)
a→bc+→bd+=a→b(a→b……(a→bc+→bd)……→bd)→bd(括號有c個)
a→2b=a→a→a→a→a→……→a(b個箭頭)
因此，2→32=2→22→22=2→2(2→22→21)→21=2→2(2→22)=2→2(2→2)=2→24=2→2→2→2→2=4
對於康威鏈下標，所有2→開頭的都等於4。
而3→32=3→23→23=3→2(3→2(3→23→22)→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→23→21)→21)→21)→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→23)))→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→2(3→3→3→3)))→22)→22=3→2(3→2(3→2(3→3→3→3→……→3))→22)→22(內部括號康威鏈有3→3→3→3個)=3→2(3→2(3→3→3→3→……→3)→22)→22(內部括號有｛3→3→3→3→……→3｝3→3→3→3個3進行康威鏈)=……
可見3→32是用康威鏈極難以表達的數，葛立恆數在3→32面前可真是小的像0一樣。
當然，3→33比3→32大，而3→43比3→33大，然後接下來，我們還能想到3→53，3→63甚至3→3→3→3→33等大數，然後我們還能再擴充套件。就是C函式，它就是康威鏈下標的高階運算。C函式可以為一元，二元，三元函式，Ca=a→aa，C(a,1)=a→Ca，C(a,b)=a→C(a,b-1),C(a,b,1)=C(a,a(a,b)),C(a,1,b)=C(a,a,b-1),C(a,b,c)=C(a,C(a,b,c-1),c-1)
其中C(3,2)足以秒康威鏈，C函式中，以1為第一個數的都等於1，以2為第一個數的都等於4
下一個，就是n函式和Circle函式。
nk的增長率極快，n1,n2,n3都是兩位數，而n4就跳到連康威鏈都無法表示的大數，n105用C函式沒法表示。Circle函式則比C函式快。但是這兩個不是重點。下面還有更大的＃。
＃則是比C函式快很多的運算。
其中四個＃比康威鏈快，而一個＃跟乘方差不多。十個＃比Circle函式快。說到＃，就已經到數陣等級了。還有鳥之記號，其中｛3，3，3，3｝是很大的數，已經無法怎樣的想象，但比Tree3小是肯定的。
下一個應該就是Tree函數了。Tree函式是超越數陣的函式，其增長率為SVO級別，而康威鏈和C函式都是w的幾次方級別。數陣也只是ζ，ε，Γ這三個級別之間。SVO則是第五個級別。在超限序數中最低的是ω。其中Tree有大小寫之分，tree用SVO的增長率，Tree3>tree(3)^(tree(2)^tree(8))這個指數不是乘方，幾次方，而是指該函式的迭代次數。其中Tree1,Tree2為一位數，而Tree3是很火的大數，你可以自行想象Tree4,Tree5有多大，到後面，Tree(Tree(Tree……(Tree3)……))(有Tree3個括號)跟SSCG3比，和0是一個道理。然後SSCG函式，增長率比Tree快的多，SSCG2還是一個只有兩位數的數字。SSCG3就已經很大了。SSCG4可以自行想象有多大?當然，SSCG增長率不如SCG快，但是差別只是一次函式，可以忽略。所以SSCG和SCG的增長率是同一級別。其中不等式關係為SSCG3x+4>SCGx。
大數入門第七章就是無窮增長率。
乘方增長率為2，迭代冪次為3，高德納為ω，康威鏈為ω²，康威鏈下標為ω³。當然，在增長率表示面前，上述的函式就是對數函式的增長率。
然後比增長率表示高階的，便是Rayo函式，表示為用n個符號所能定義最大的自然數。當然Rayo10^100就是已經遠遠比SSCG3大。SSCG的高階迭代在Rayo函式面前跟對數函式是一個樣。因為它表示的是用n個符號所能表示最大的自然數。然後Rayo函式上面，就是BigFoot。也就是大腳。為目前所發現最大的自然數之一。
歸納：大腳>Rayo數>lander數>SCG3>Tree3>Circle(10^5)>C(3,3,3)>3→33>cg5>3→3→3→3>葛立恆數>3↑↑↑↑3>3↑↑↑3
所以葛立恆數的地位還是比較低的。
上面的為大數，下面講的就是無窮了。主要還是用阿列夫零構造就行。
當然，大腳上面的，就是阿列夫零。到阿列夫零之後，就是無窮了。然而至於大腳，它只是自然數集中渺小的一員。阿列夫零就是全體自然數的個數了。然後阿列夫零上面的就是阿列夫一，阿列夫一為實數的個數。阿列夫二為曲線的個數。
當然，2的阿列夫零次方等於阿列夫一，而2的阿列夫一次方等於阿列夫二，冪集也只是二的次方而已。因為2的阿列夫零次方等於阿列夫一，所以說，無窮大也是可以進行超運算的。然後一個無窮集合取冪集它的勢將大於一個原集合的勢。
當然，我們把2和阿列夫零進行四級運算等於幾?(或者說空集取可數次冪集它的勢是多少?)
一個集合，取一次冪集，它的個數是2^n，而取二次冪集，個數為2^2^n，取第三次，為2^2^2^n……於是空集取可數次冪集，它的元素有2^2^2^2^2^2^2^……^2個(阿列夫零減一等於阿列夫零，所以後面0次方可以省略)，也就是2↑↑阿列夫零，2↑↑阿列夫零=?呢。
答案是阿列夫阿列夫零。這基數靠有限次冪集是不能到的。因為1加不到阿列夫零。
然而2^2^2^2^2^2^……^2=2^2^2^2^2^……^2^(2^2^2^2^……^2)(括號裡外都有阿列夫零個2)
當然，2^2^2^2^……^2^阿列夫零=阿列夫阿列夫零。不過，這個在無窮中還是很小的一員。當然，空集取可數次冪集，這個無窮的勢遠遠比實數集大。當然，還有2↑↑2↑↑阿列夫零。它等於阿列夫阿列夫阿列夫零。2↑↑2↑↑2↑↑阿列夫零，它等於阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫零。
2↑↑↑阿列夫零=2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2……↑↑2=2↑↑2↑↑2……(2↑↑2↑↑2……↑↑2)=2↑↑2↑↑2↑↑2……=阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零
顯然2↑↑↑阿列夫零便是阿列夫阿列夫……這種讀法都讀不出的無窮。
然後還有3→3→阿列夫零
阿列夫零在康威鏈中具有自我複製的能力。如
3→3→阿列夫零=3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→(3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零
阿列夫零減1還是阿列夫零，這就使得阿列夫零在康威鏈中能自我複製。當然，它要放在第三鏈及後面才有效果。以上3→3→阿列夫零可就是非常大的無窮，已經遠遠超出乘方。然後上面的箭頭越算就只會越多。假設我們能拆到1：
3→3→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→(3→3)→2)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→27→2)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3→(3→(3→……(3→3↑↑27→3)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零=3↑(阿列夫零)3↑(阿列夫零)3……3↑↑↑3↑↑27
前面還有阿列夫零個阿列夫零呢。然後後面的有限數級別運算也有阿列夫零個。
所以這個無窮是算不完的，從左往右算，算不完，從右往左算，也還是算不完。
然後還有3→3→阿列夫零→2，和g(阿列夫零)，這兩個將比3→3→阿列夫零要大。
3→3→阿列夫零→2=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→(3→3))……))=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→27)……))=3→3→(3→3→(3→3→……(3→3→……(3↑27 3)……)))=……
由於阿列夫零減一還是阿列夫零，所以這括號是不可能算完的。然後中間的數只會越來越大。而g阿列夫零與3→3→阿列夫零→2是等勢的。因為3→3→(x+1)→2>gx>3→3→x→2況且阿列夫零加一還是阿列夫零。
下面還有阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零的。
阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零)→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零(括號出現阿列夫零次)=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→…… (阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零) ……→阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零
這更是厲害，展開後最裡面的括號出現阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零，比原數還大。如果再算下去，這裡括號集就是不可數集
由於阿列夫零的特性，使得康威鏈能夠無止境的自我複製。這樣便跨越了一切無窮基數。
後面還有cg阿列夫零，更是夠牛掰。
cg阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零(康威鏈有可數段)=阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零………… →(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→……→阿列夫零)→阿列夫零)………… →阿列夫零)→阿列夫零)→阿列夫零(前面每個括號都有阿列夫零個阿列夫零)
當然，還有阿列夫零→3阿列夫零呢，還有C(阿列夫零，阿列夫零，阿列夫零)，Tree(阿列夫零)，SCG(阿列夫零)，Rayo(阿列夫零)，Big foot(阿列夫零)等等的呢?
當然，如果把用阿列夫零構造的無窮全體組合成一個集合，並定義它的勢，那麼這個勢和阿列夫零的區別就相當於阿列夫零和自然數的區別。事實上阿列夫零在無窮數中只是最小的一員，在強極限數上除了0之外也是最小的一員。阿列夫零的特點就是用有限數進行任何的運算都無法比它大。當然，這種數中，阿列夫零就是其中最小的一員。當然，阿列夫零之上的還有不可達基數，一階實無窮等等。但是，一階實無窮對於阿列夫零才是真正不可達的。
補充：不可達基數。
不可達基數則是排在阿列夫零後面的無窮大。可以抽象的想就是對於阿列夫零來說的無窮。其中從阿列夫零到不可達基數的跨度，跟從0到阿列夫零是一樣的。0無法用各種有意義運算到達阿列夫零，而阿列夫零也無法運用各種有意義的運算到不可達基數。阿列夫一?阿列夫阿列夫零，阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零(阿列夫阿列夫阿列夫……(阿列夫阿列夫……(……)……個阿列夫)個阿列夫)，然後再不斷的迭代或者對角化下去?然後想出各種牛逼的迭代與遞迴，當然不可達基數也比它們大。因為不可達基數是阿列夫零無法用各種運算所能到達的。就跟0無法用各種運算到阿列夫零一樣。不可達基數就是指不可數，正規強極限的基數。其中不可數的意義就是大於阿列夫零，正規就是到達它的最短長度等於它本身。也就是cfa=a。強極限就是比它小的任意基數，它們的2的次方都比它小。當然，阿列夫零滿足正規和強極限這兩個性質(因為任何有限數怎麼的運算都不能到達阿列夫零)，但是它是可數的，所以不是不可達基數。當然，也有人因為阿列夫零是所有有限數無法用任何運算到達的，於是把阿列夫零當成不可達數。不過，意義上講的話不可達數應該也一定要是不可數的。不過，然後你可以在阿列夫零的基礎上，想象著阿列夫零的任何運算都不能到達的這個數，它就是不可達基數了。
不過，不可達基數也並非是最大數，它只是最小的大基數而已。比不可達基數大的數還有很多。到不可達基數之後，對它的升級可就不是2的次方這麼簡單了。因為可以看上面的高階運算的阿列夫零得出來的數，可以看出運用無窮次比這運算低階的運算然後迭代遞迴各種搗鼓來搞這個數，與本身還是等勢的。因為3→3→阿列夫零=3→(3→3→阿列夫零)→阿列夫零。還有阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零)→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零=阿列夫零→阿列夫零→(阿列夫零→阿列夫零→……(阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一→阿列夫零)……→阿列夫零)→阿列夫零
可以看出，你用低階運算來迭代阿列夫零的高階運算得出來的數，和本身還是等勢的。
你可以知道，不可達基數是多麼的大呀！
當然，阿列夫零怎麼得出，就是透過公理來宣佈出去來得出。因為阿列夫零無法用有限數的各種運算得到。對於不可達基數也是一樣，也只能透過公理宣佈出去得出。
然後不可達基數也是分界線，比不可達基數小的為小基數，不可達基數及以上的稱大基數。
接著，我們到不可達基數之後，我們假設不可達基數為a，然後比不可達基數大一點的稱a＇(後繼)然後再進行各種有意義的運算的迭代遞迴各種搗鼓，也到不了強可展開基數。不可達基數到強可展開基數中間也有幾條公理。然後強可展開基數後面就是緊緻基數，殆巨大基數，……最後到1=0(其中每相鄰的數中間有多條公理)。當然，會不會因為無窮大到太大了，連1=0這麼矛盾的東西都包含進去了。當然，它們，無論怎麼運算，或者下一個的運算到不了得出的下一個公理，也都到不了一階實無窮，一階實無窮大就是指所有大基數的總數。那才是對於阿列夫零真正意義上的無窮大，真正意義上的阿列夫零的不能到達。不可達基數僅僅只是阿列夫零中的，以任何運算不可到達的下一個數。相當於只是從0到阿列夫零的運算，再這樣同樣做一次的遞迴而已。
最後，一階實無窮才是目前最大的……不過一階實無窮還沒有實際定義，所以最大的是1=0。
當然，在zfc公理下，不可達基數以及後面的那些數是不一定存在的。一定存在的只有阿列夫數。