哥德巴赫猜想是非常有名的，因為中國的數學家陳景潤作出了最好的結果，至今沒有人突破。換句話說，這個猜想還沒有被證明。

1996年3月19日，陳景潤去世到現在，已經過去了22年，哥德巴赫猜想的研究成果沒有什麼大的突破。

當然了，從科學的角度來說，這個猜想肯定是可以被證明的，只不過也許還需要400年的時間。這個是說不清楚的，也不好預測，因為科學的發展不是線性的，而是非線性的，而且還有很大的不確定性。

陳景潤的學術成就是偉大的，除了哥德巴赫猜想1+2部分，它在華林問題、圓內格點、球內格點，算術級數中的最小素數、三素數定理中的常數估計、孿生素數等問題研究中都有突破。

最近最偉大的數論學家張益唐，他的水平很高，我們只能寄希望於張益唐等人，如果他們能突破哥德巴赫猜想，那就是被證明了。但現在肯定是不好說什麼的，你這個問題沒有人知道答案。

哥德巴赫猜想並不象世人想象的那樣神秘，艱深複雜而高不可璺。•1。

。

11•

哥德巴赫猜想是完全可以證明的。請看《哥德巴赫足理〉鉦明

如果不是屬於像“平行公理”那樣本質上是屬於公設性的命題，那麼哥德巴赫猜想理論上是應當可以被證明的。

雖然數學家哥德爾證明了哥德爾不完備定律，指出“任何一個形式系統，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。”但這類無法證明的命題，在我看來，主要是指像“平行公設”這樣的命題。

而哥德巴赫猜想這樣的命題，本質上是由算術基本定理等更為基礎性的命題所派生，不是公理性質的，因此應當是可證的。

目前為止，最好的證明結果是由陳景潤作出的，證明路線是繼承主流的“殆素數”路線。他的成果被歸納為證明了“1＋2”，即“任意一個大於2的偶數，都可以表示為一個素數與另外一個素數或半素數之和”，半素數其實還是合數，不過只能分解為兩個素數相乘。而哥德巴赫猜想需要證明“1＋1”，也即“任意一個大於2的偶數，都可以表示為兩個素數之和”。例如30＝13＋17，哥德巴赫猜想認為這一規律適用於所有大於2的偶數。

不少人認為陳景潤的成果是運用“殆素數”方法所能取得的最好成果，要直接證明“1＋1”的可能性不大。

除了“殆素數”方法，主流的其他方法目前也都進展不大。

能不能有新方法呢？我認為是有的。

我們不妨提出這麼一個問題：

假設n是大於1的任意自然數，是否總存在一個非負整數k，使得n＋k與n－k同為素數？

這個問題的實質其實就是哥德巴赫猜想，非常直觀與本質，但似乎很少人從這個角度去思考過。

想一想：如果2n代表任意一個大於2的偶數，並且一定存在非負整數k使得n＋k與n－k同為素數的話，那麼2n顯然能表示為兩個素數n＋k與n－k之和。

於是，證明哥德巴赫猜想等於就轉化為探討對於給定的大於1的自然數n，使得n＋k與n－k同為素數的非負整數k的條件是什麼？

首先，顯然須得k＜n。

其次，假設p(x)是任意不大於√2n的素數，於是k對模p(x)的同餘情況，顯然與n對模p(x)的同餘情況相關。

不妨設n≡d(x) (mod p(x))，非負整數d(x)＜p(x)，則有：

如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))不成立，那麼n＋k≡0 (mod p(x))不成立；於是n＋k不能為p(x)整除，必是素數。

如果k≡d(x) (mod p(x))不成立，那麼n－k≡0 (mod p(x))不成立；於是n－k不能為p(x)整除，必為素數或1。

從而，有如下結論：

如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))與k≡d(x) (mod p(x))均不成立，並且n－k≠1，那麼n＋k與n－k必同為素數！

對以上結論，在此不妨舉例說明：

令n＝50，則有√2n＝10，不大於10的所有素數為2、3、5、7。顯然：2除50餘0，3除50餘2，5除50餘0，7除50餘1。從而，k必須滿足：

（1）為奇數；（2）為3除不餘1或2，也即為3倍數； (3) 不應是5倍數；（4）為7除不餘6或1.

在0～49中，滿足條件(1)、(2)的數有3、9、15、21、27、33、39、45；再根據條件(3)篩除5倍數15和45；最後根據條件(4)篩除27。篩得的結果是3、9、21、33、39這5個數。

檢驗：

k＝3時，n＋k＝53，n－k＝47，有100＝53＋47；

k＝9時，n＋k＝59，n－k＝41，有100＝59＋41；

k＝21時，n＋k＝71，n－k＝29，有100＝71＋29；

k＝33時，n＋k＝83，n－k＝17，有100＝83＋17；

k＝39時，n＋k＝89，n－k＝11，有100＝89＋11；

其實k＝47時也是滿足條件的，此時有n＋k＝97和n－k＝3，但被我們篩除了。這說明我們這裡設計的過濾篩子是偏密的，但在這裡“寧可錯殺”。

類似地，根據上述方法，我們將能估算出在0～n－1這n個非負整數中，滿足條件的非負整數k至少會有多少。

除了p(x)＝2時，對於其他的任一素數模p(x)，至多有兩個剩餘類是不滿足條件的，至少有p(x)－2類剩餘類是滿足條件的。也就是總是約有(p(x)－2)/p(x)的數，當k取值時，將使得n＋k或n－k均不被p(x)所整除。

不妨設p(m)為自然數中的第m個素數，並且p(m)是不大於√2n的最大素數；再設0～n－1這n個非負整數中，使得n＋k與n－k同為素數的非負整數k的個數為S，那麼則有：

S＞[ n×1/2×1/3×3/5×5/7×……×(p(m)－2)/p(m) ]

＞[ n×1/2×1/p(m) ]

＞[ n/2×1/√2n ]

＝[ √2n/4 ]

(這裡 [ ] 為取整符號）

顯然，n≥32時，S＞2；由此至少有1個非負整數k，使得n＋k與n－k同為素數。

而n＜32時，哥德巴赫猜想的成立是顯然的。

1+1無法證明，我們來證明2+2如何？

宋公明

所謂哥德巴赫猜想，就是要證明偶數都可以寫成兩個素數之和，即素加素。用1+1來代表。

但是偶數也可以寫成合加合和合加素，這就產生了一個問題，為什麼素加素需要證明，而合加合不需要證明呢？合加合用2+2表示，難道合加合和合加素是天經地義天然成立不需要證明的嗎？既然素加素的證明非常難，不是我等能問津的，那麼好吧，我們且不去證明素加素，我們來證明合加合即2+2總可以吧？

最小的合數（指奇數中，下同）是9，那麼很顯然，最小的合加合是18，也就是說，在小於１８的偶數中，只有素加素和合加素，而沒有合加合。所以合加合併非天然成立，而是在一定條件下才能成立。

自然數是先有素數然後才有了合數，合數是素數因子和另一奇數和乘積。即：S（2N+1）。故先有素加素，然後才有合加合。合數需要素數做因子，有素數才有合數，合數的增多，擠佔了自然數的空間，素數就會減少。但是自然數每增加一位，奇數總量增加九倍，遠大於合數增加數。所以素數是無限的，合數也是無限的。

隨著合數的增多，合加合當然也隨之增加， 隨著合數增多，就出現了合數連續，例如：

１１５，１１７，１１９，１２１，１２３，１２５，

是６個合數連續。

因為在奇數數列（2N+1）中，每３個數中必有１個３的倍數，每５個數中必有１個５的倍數，每７個數中必有１個７的倍數，以此類推。所以，６個合數連續，必然至少會有３個合加合。所以合加合的必然性是可以證明的。

對於一個偶數，合加合，合加素，素加素之間是相互關聯此長彼消的，三者數量之和等於該偶數中奇數總數。例如對於偶數100，有50個奇數。我們這樣排列：

表1：

1， 3， 5， 7， 9

11，13，15，17，19

21，23，25，27，29

31，33，35，37，39

41，43，45，47，49

51，53，55，57，59

61，63，65，67，69

71，73，75，77，79

81，83，85，87，89

91，93，95，97，99

這樣排列可以很清楚看出，從兩位數起，中間一行尾數為5的數都是合數，其兩邊是尾數是1，3，7，9，的奇數。當中間的數為25+30n時，兩邊尾數是1，7的奇數一定是3的倍數。為35+30n時，兩邊尾數是3，9，的奇數也一定是3的倍數，為45+70n時，右邊尾數為9的數一定是7的倍數，以此類推，75+70n時，邊上尾數7的數一定是7的倍數，95+70n時，邊上尾數為1的數也是7的倍數。同樣，還可以找出11，13，17等其他素數因子倍數的位置。而為15+30n時，兩邊必定沒有3的倍數，因此孿生素數和四生素數只可能在這樣的數兩出現。（尾數為9，1的孿生素數只可能出現在30+30n的兩邊）

由此可知，如果偶數尾數為0時，中間一列尾數為5兩位數以上的數都要組成合加合。而偶數的尾數是2，4，6，8時，中間一列尾數為5兩位數以上的數必然要和兩邊各列的合數陣列成合加合和合加素。

以表1為例，中間一列尾數為5的數可組成4對合加合，和兩邊的數至少可組成3對合加合。

所以，合加合不僅可以證明其存在，而且可以證明，隨著偶數加大，合加合的數量也隨之增加。

對於偶數100，

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

99 97 95 93 91 89 87 85 83 81 79 77 75 73 71 69 67 65

37 39 41 43 45 47 49

63 61 59 57 55 53 51

其中包含26個合數（因為1不算素數，且歸入合數）和24個素數，其中合加合有：1 99，9 91，15 85，25 75，35 65，45 55，49 51.共7對14個數。

對於偶數200，在100個奇數中，有 54個合數，46個素數，而合加合有12對24個數。

說到現在，一直都是在證明合加合。但是對於一個偶數來說，其中的合數的總量就那麼多，除去合加合之後剩下的合數就只能組成合加素。

例如對於偶數100，26個合數減去7對14個合數，剩下的合數為26-14=12個。這12個合數只能組成合加素，即合加素有12對。相應的素數就剩下24-12=12個，這12個素數可組成6對素加素。

即，3+97， 11+89，17+83，29+71，41+59，47+53，

對於200這個偶數，100個奇數中有55個合數，其中合加合有12對24個數，剩下31個合數組成31個合加素。相應的，45個素數減去31剩下14個，因此素加素有7對14個素數。

請看，本來是證明合加合的，不想倒抄了素加素的後路。這合數和素數本來就是對立的統一的關係，合加合，合加素，素加素，也是相互關聯的矛盾統一體，有此必有彼，此長則彼消。素加素不是有沒有的問題，而是數量有多少的問題。

對於任意偶數，其中合數所佔的比例是可以計算的，其中３的倍數9+6n,佔奇數總數的１／３，５的倍數25+10n,佔１／５，但要減掉與３的倍數重複的部分，即為２／１５，同樣７的倍數為８／１０５。等等。對於１０００這個偶數來說，其中的奇合數在９和９９９之間，其中最小的因數是３，最大的因數是３３３，因此構成合數的因數只能在這一區間之內。

表2：

素數因數 倍數 合數數量 ３ 9，15，21，... 999 165

5 25,35,55,..... 995 66

7 49,77,91,..... 973 37

11 121,143,187,.. 979 20

13 169,221,247,.. 949 16

17 289,323,391,.. 901 11

19 361,437,551,.. 931 9

23 529 667 713 851 943 989 6

29 841 899 2

31 961 1

合計 333

由表2可見，3和倍數佔奇數總數的1／３，以後５，７，１１等的倍數的數量迅速遞減，而３１構成的合數只有１個961，即佔奇數總數的1/５00。隨著偶數增大，新增的合數比例也隨之下降。所以偶數中合數和素數所佔的比例是趨向一個極限的。

表３：

偶數 合數個數 比例 素數個數 比例

100 26 52／100 24 48／100

200 55 55／100 45 45／100

1000 333 66.6／100 167 33.4／100

10000 3773 75.44／100 1228 24.56／100

50000 19868 79.4／100 5132 20.6／100

由表3可見，隨著偶數增大，合數的比例隨之增大，但增速在減慢，並趨向極限。素數的比例雖然在減小，也超向極限。但由於基數不斷增大，所以素數的數量卻是不斷增加的。

由表1可知，合加合是必然存在的而且偶數越大，則合加合的數量就越大。

表4：

偶數 合加合 合加素 素加素 奇數

100 7對14個 12對24個 6對12個 50個

200 12對24個 31對62個 7對14個 100個

1000 111對222個 111對222個 28對56個 500個

因為偶數中奇數的總量是合數和素數之和，合加合的數量是合數的數量和分佈所決定，合加合的數量會隨著偶數增大而增多。因此除去合加合的數量，剩下的合數必然少於素數的數量。雖然素的比例在在減少，但是隻能趨向極限而不會消失，除去合加素，剩下素隨偶數增大而增多。但所佔比例在減少。然而比例減少也趨向一個極限，也就是說永遠不會為零。數哪怕只有1／100，由於基數很大，那也是龐大的數量。100億的1／１００也有１億之多。即使素加素比例少到億萬分之一，由於偶數相應地大，所以素加素不是有沒有，而是有多少的問題。而且是偶數越大，素加素就越多，既然已知較小的偶數都是如此，那麼未知更大的偶數更是如此。

哥猜是實踐中發現的現象，是不是真理，素加素是不是普遍存在，為什麼不能用實踐去檢驗呢？不是說實踐是檢驗真理的唯一標準嗎？很顯然，再多的實踐也只是反映表面現象，若不能揭示其內在規律性，還是不能肯定哥猜一定成立，總是對下一個偶數是否成立沒把握。現在連腳踏車都不用騎，只是從合數入手，很容易就能揭示合數產生的規律，揭示了合加合，合加素，和素加素之間的內在關係，這樣就對素加素的成立有了充分合理的解釋。

2017，10，12

哥德巴赫猜想1+1是完全可以證明的。

如一個三維體積加上任一個三維體積等於另一個三維體積。或任意兩個等同大小的三維體積等於N個三維體積等於一個三維長方體體積。

如A"+A‘=2A‘=B"，A"+A"=B"，B‘=A"+axA，

A"+C"=D"，D"=A"+ixA，D"=C"+axA，

D"=A"+axC，

C"+ACCA"=ACCD"=C"+aaxABA對應於1334=3+11x121；

ACCD"=ABAC"+aaxAA對應於

1334=1213+11x11，……；

如一個二維面積加上任一個二維面積等於另一個二維面積。

如任意兩個等同大小的二維面積等於N個二維面積等於一個長方形面積。

如A+A=2A=B，A+A=B，B=A+axa，

A+C=D，D=A+ixa，D=C+axa，

D=A+axi，

C+ACCA=ACCD=C+aaxada對應於1334=3+11x121；

ACCD=ABAC+aaxaa對應於

1334=1213+11x11，……；

如一個一維長度加上任一個一維長度等於另一個一維長度。

如一個一維根加上任一個一維根等於另一個一維根。

如任意兩個等同大小的一維長度等於N個一維長度再等於一個一維長度。

如任意兩個等同大小的一維根等於N個一維長根等於一個一維根

（如a+a=2a=d，a+a=d，d=a+1xa，

a+i=p，p=a+3xa，p=i+1xa，

p=a+1xi，

i+aiia=aiip=i+11xada對應於1334=3+11x121；

aiip=adai+11xaa對應於

1334=1213+11x11；

充要條件√A=a，³√A"=a，√AF=p，³√ACCA"=aa，√ABA=aa，aa=11，a=1，

d=2，i=3，p=4，√D=d，√l=i，係數N≠0，

數學家們是我最崇拜的，看很多人說證明了哥氏猜想，覺得這事兒夠嗆，自證清白沒那麼容易。我雖不會可基本常識還明白一點兒:①任意自然數均與0、1相關聯，用[f=|sinNα|，α=π/2，N為任意自然數]表示這種性質。

引入H=cosNθ+ ⅰsinNθ。我們注意到當θ為π/2值時，會發生奇妙的事。因為N為奇數時，Ψ值等於±ⅰ，N為偶數時Ψ值等於±1。那我們再進一步，將奇數定義為2n+1，則奇數函寫為ψ=e^ⅰ(2n+1)π/2，偶數函則寫為ψ=e^ⅰ2(n+1)π/2=e^ⅰ(n+1)π，簡單化把n定義為自然數。自然數中奇數內質數的ψ函值為±2ⅰ，Ψ*φ=1。

唉，自己這樣招人恨，啥也不會，禍害完物理又跑來這兒說三道四耍無賴，非要給所有自然數分出性徵[φ=e^i2(n+1)θ，ψ=e^i(2n+1)θ，ψ=e^i(2N+3)(2n+3)θ，Ψ=e^i(2n+9)θ-e^i(2N+3)(2M+3)θ]…。

還不確定能不能證明。數論裡有一個不可證明定理，意思是有些命題是可以證明的，有些是無法證明的。關於不可證明定理，舉個例子說明。假如有命題：A說我是一個騙子。如果我們承認A說的話，則證明A說的是真話，那他就不是騙子；如果我們否定A的話，則等於告訴自己要證明A不是一個騙子。根據這個邏輯，我們無論如何，都無法證明這個命題。這定理揭示了進行數學證明時必然存在的一種悖論。該定理有數學描述，大家搜尋就知道了。要命的是，不可證明定理並沒有給出判定一個命題是否存在悖論的方法。所以我說，哥德巴赫猜想還不能確定能不能證明。我們唯一能確定的是，它困擾了人類幾百年。但也不能因為困擾就說它不能被證明。著名的費馬大定理困擾人類300年，在21世紀被人創世紀一般證明出來了。

我在2009年推證出任一偶數寫成兩質數和個數計算公式。從公式可以看出隨偶數無限增大，其質數和個數為冰點發散。在2012生推證出二元一次方程整數解普遍意義的解法，現已於2018和11月10對外發布，(圖片內容)另外在3X+1方面也有所進展。

哥德巴赫猜想的內容是：任何一個大於2的偶數，都可以表示成兩個質數之和。

哥德巴赫猜想的證明，採用反證法（非常簡單）：任何兩個質數相加，質數就是奇數，奇數加奇數為偶數，那麼其結果必定是一個大於2的偶數。

有些問題，如果要在原有老路上去走，是走不通的，這就需要我們去開闢新的路子，正如一個人，不能吊死在一顆樹上！

哥赫從提出到現在，已經有很多人償試去證明，但到今天，也沒有一個合理易懂的證明法，主要是之前的人，沒有開通新的路子與思維，將一個簡單的問題複雜化，而且，一些證明過程也極其複雜化，有的環節是錯誤的。

這本身就是一個很簡單的猜想，其證明也很簡單，但被一些人神化，複雜化，導致無法去證明了。

在數學上，人類目前要挑戰的是深層微積分，多元多次方程的解，函式的變像法則等等，如果再投入大量的精力人力去證明毫無作用與意義的哥赫，實在是不可取的。

大家新年快樂！

站在巨人的肩膀上，1896年阿達馬和瓦萊.普桑各自獨立地證明了PNT(素數定理)。早有切比雪夫計算了兀(N)與N/LnN的差距上下不超過大約10%，1881年美國約翰.霍普金斯大學西爾維斯特計算到範圍降到4%。在設定的2N內，取下限內前N內的全部素數與後N內的全部素數，不斷結合取其中點，如3十5，3十7，中點有4，5，……陸續不斷延長下去，設素數的值都是恆定的，起碼可以表示出4到N，N點就是1十1的核心，並且計算到N點的結合數。完證。2019年1月23日百度上載接受了素數1十1研究一破解哥德巴赫猜想。