我們分下面幾步來證明這個結論, 並且用 表示基數運算.

【Step1】如果 是無限集, 則 .

【證明】令 ,則 是非空集合（取 是 的可列子集即可）並且按對映的擴張關係構成一個偏序集. 容易證明 的每一個全序子集都有上界, 由Zorn引理, 有極大元 , 我們斷言 .

若不然, 存在 使得 , 令 , 取雙射 , 則存在雙射 成為 和 的擴張, 這與 的極大性矛盾. 於是斷言成立.

於是 , 因此 , 即 .

【Step2】如果 是無限集, 是有限集, 則 .

【證明】類似Step1可得, 從略.

【Step3】如果 是無限集, 則 .

【證明】令 ,類似Step1可以證明 有極大元 , 我們斷言 .

若不然, 存在 使得 , 由Step2有 , 因此存在 使得 並且 , . 令 , 取雙射 , 和 , 進而存在雙射 成為 的擴張, 這與 的極大性矛盾. 於是斷言成立.

於是 , 因此 , 進而 .

【Step4】如果 是無限集, 並且 , 則 .

【證明】由Step3可知 , 於是 .

終於證完了……