函式的本質，就是對應關係。

更廣泛的對應關係，稱為對映。對映分為單射、滿射，及合而為一的雙射，也稱一一對應。

函式，作為對映的特例，是數與數的對應關係；對映，不必拘泥於數！

函式，很多分類，林林總總，無法歸總。

按性質分，有單調函式，凹凸函式，奇偶函式，週期函式，可導函式，可積函式，正則函式，…；

按變數分，有實變函式，複變函式，泛函，…；

按人名分，黎曼函式，柯西函式，狄裡克雷函式。

高等數學將基本初等函式歸為五類：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式。

數學分析將基本初等函式歸為六類：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式、常數函式。

初等函式是由基本初等函式經過有限次的四則運算和複合運算所得到的函式。

沒有函式，就沒有現代數學！

一直喜歡數學，但是離開太久，已經無法使用專業術語。簡單說說我的理解。

函式的本質，是標記事物的運動軌跡。

一個事物的運動軌跡，之所以作為我們的研究物件，主要是為明確該事物將於何時出現於何地的問題，對應到數學上就是取值與函式值之間的對應關係。有句歌詞叫做，無論何時，無論何地，心中一樣親。

比如金大俠小說中大理段譽的凌波微步，就可以做成平面函式乃至立體函式。又如籃球的投籃，足球的射門，芭蕾舞演員的腳尖等等，也都可以做成函式來玩。現在的技術條件太好了，我們可以錄影重放，來確定時間與空間的函式關係。

光說武術體育舞蹈容易讓人誤解。同樣在經濟領域，如商品價格與其市場佔有率的關係，也是一種有研究價值運動軌跡。在健康領域，癌症發病率與年齡的關係，同樣是一種有研究價值的運動軌跡。學習生活比較規律的大學生，一天或一週出沒於宿舍食堂教學樓圖書館實驗樓運動場，也是有研究價值的運動軌跡。

運動軌跡在空間的某一點（就是函式值），垂直投影到（假設三個）數軸上的點，就是取值。例如函式，y=X1+X2+X3

我主張，學一個東西最好的辦法就是當做玩，而且要玩壞它，能做到玩壞了的程度，基本就是骨灰級玩家了。這時候就可以不用專業術語說話了，用普通（的人）話就好。

這當然是我理想化了，哈哈哈

付的錢 = 5 * 米的斤數

當我們不確定我們要買多少斤的時候，我們用一個字母x去代替這個模糊的數，表達如下：

付的錢 = 5 * x 那麼x是什麼呢？他依然是數，準確的說是數的集合。 如果我們只關注等式右邊的5 * x， 那這是“代數”的思考範疇。

但是當我們把付的錢看成是y或者f(x)的時候，y = 5x就是函數了。這是函式發展的一個縮影。

函式到底是什麼呢？

首先要弄得因變數和自變數，還是上面的例子，米的斤數x我們可以隨便買，但是當x變化的時候，所付的錢數y就得跟著變化。那麼，x就自變數（自己變化的量），y就是因變數（因為外界的變化而變化的量）。

這樣去理解：男生追女生的時候說：“我會為了你而改變”。雖然大部分的男生只是隨口說說，根本不會去這麼幹。但是這句話裡面，男生和女生的關係是什麼呢？女生就是自變數，男生是因為女生才改變的，所以男生是因變數。

函式y = f(x)最最本質的定義時，任意一個自變數x都對應一個因變數y。“一一對應”有時候會給學習函式帶來很多的困惑。

任意一個自變數x都對應一個因變數y。記住這句話就夠了。

例子：y = x 是函式，為什麼？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。x = 1, y也等於1；

y = x ^ 2是函式，為什麼？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。 x = 1, y = 1; x = -1, y = 1。 我們只能說y是x的函式，但是反過來呢，y = 1是不是可以對應兩個x = 1或者-1。那麼x就不是y的函式。

x^2 + y^2 = 1， 這個圖形畫出來是個圓。那麼x，y之間有函式關係嗎。答案是沒有。為什麼？以為當x取任意一個有效值的時候，y都有兩個值對應，比如x = 0, y = 1或者-1；反之亦然。那麼我們就說x，y沒有函式關係。

怎麼去理解呢？舉個不恰當的例子 - 古時候的“一夫多妻”，一個丈夫可以有多個妻子，但是妻子只能有一個丈夫。那麼，妻子就是x，丈夫就是y。

函式曾經拯救了數學

曾今就有人爭論說，到底正整數（1，2，3，4, 5...）和正偶數（2,4,6,8,10...）那個數多呢？

你的答案是什麼呢？直覺上來說正整數的個數要多於正偶數。因為正整數里還有奇數的存在。

但是有的人就會說，正偶數看做y，正整數看做x，那麼他們的關係是：y = 2x；也就是說正整數中任意一個數字透過乘以2都可以在正偶數里找到。1 - 2， 2- 4， 3 -6；

那麼，由於函式的對應關係，可以總結出不管正整數有多少個，正偶數都可以相應的匹配多少個。那就是說，正整數的個數和正偶數的個數相等。

是不是繞進去了。沒關係。函式就是個對應關係。任意一個自變數x都對應一個因變數y。上面這道題本身就是有問題的，怎麼去數無窮的個數呢？都告訴你無窮了，有限定的個數還叫無窮嗎？

這就是“有窮思想”和“無窮思想”的區別？以後有機會講講微積分。

大家好，我是一名數學老師，函式大多數學生，都只是知道甚至會背定義但是大多數人並不知道函式的本質。特別是在高中階段，一進入函式部分的學習會有一大批學生掉隊。下面我們來理解下函式的本質到底是什麼。

其實，見到函式的定義，大多人都會蒙圈，這是什麼鬼？我們首先來看下高中函式的定義其實函式並沒有大家想象的那麼複雜，我們換個角度來思考，首先我們理解下什麼是關係這種關係特殊在哪裡了？我們自己判斷下下面哪個是任意對唯一的關係回頭我們再仔細讀一遍定義便會恍然大悟，函式就是數與數之間的一種任意對唯一的對應關係，這就是函式的本質

下面可以自己判斷下這道題

函式的本質是集合和集合之間的一種關係。

對於任意元素 x, y，用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它們組成的序對（{x, y} 是無序對）。

對於任意兩個集合 X，Y，定義卡氏積：

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

稱 任何一個 卡氏積的子集 f ⊆ X × Y 為 X 到 Y 的一個二元關係。

如果 關係 f 滿足：對於任意 X 中的元素 x，在 Y 中最多隻有一元素 y 和 x 有關係，即，

(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂

則稱 f 為 函式關係，記為 f : X → Y，X 和 Y 分別被稱為 原陪域 和 陪域。

對於任意 A ⊆ X，稱所有 Y 中和 A 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的像集，記為 f(A)，有，

f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }

對於任意 B ⊆ Y，稱所有 X 中和 B 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的 原像集，記為 f⁻¹(B)，有，

f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }

特別當 A = {x} 是單點集時，{y} = f({x}) 簡寫為 y = f(x)，稱，y是x的像，x是y的一個原像。

令，dom f = f⁻¹(Y)，ran f = f(X)，分別成為 定義域 和 值域。

對於 函式關係 f: X → Y ，如果 dom f = X，則稱 f 為對映。

對於 對映 f: X → Y，

如果 ran f = Y，稱 f 是 滿射 或 到上的；

如果 對於任意 y ∈ ran f，y 的原像集 f⁻¹(y) 都是單點集，即，|f⁻¹(y)| = 1，則稱 f 是 單射 或 一一的；

既是單射又是滿射，稱 f 為 雙射、一一對應、一一到上的。

一般地，如果 對映 f : X → Y 的陪域 Y 是數域，則稱 f 為函式，再 根據 原陪域X 的不同（以下，A 是一般集合，R是實數域，C是複數域，K 是數域，V 和 W 是向量空間，L 和 P 是函式空間）：

稱 f: A → R 為集函式；

稱 f: R → R 為 實函式；

稱 f: C → C 為 複函式；

稱 f: V → K 為 多元函式；

稱 f: L → K 為 泛函數；

特別地：

稱 f: V → W 為 向量函式；

稱 f: L → P 為 運算元；

我們經常說的函式特指實函式。

另外，稱自身到自身的對映 T : X → X，為變換，為雙射的變換稱為置換。

有些函式除了用序對的集合定義外還可以表示成解析式的形式，稱為函式的解析式表達。

常用的 初等函式，有（a, b, c 都是常數）：

常函式：y = c；

線性函式： z = ax + by；

冪函式：y = xᵃ；

指數函式：y = aˣ；

對數函式：y = ln x，y = logₐ x；

三角函式：y = sin x, y = cos x, y = tan x, ...；

反三角函式：y = arcsin x, ...；

雙曲函式：y = sinh x, y = cosh x, ...;

常用的 超越函式, 有：

伽瑪函式：

貝塔函式：

一些特殊函式：

指示函式（也稱 特徵函式）：

單位脈衝函式：

單位階躍函式：

如果函式的解析式寫為 f(x, y) = 0 的形式，則稱為 隱函式。

如果，函式y = f(x) 是雙射，x = f⁻¹(y) 依然是函式，稱為反函式。

對於實函式 f, g 可以定義 函式的四則運算：

(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f - g)(x) = f(x) - g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)

對於 函式 f: X → Y、g: Y → Z，可以定義函式複合運算 g ∘ f : X → Z，(g ∘ f )(x) = g(f(x))

實函式還具有如下性質：有界性、單調性、奇偶性、週期性、極限、連續性、一致連續性。

最後，函式被廣泛的使用在數學的各個領域，扮演者重要角色，也揹負不同的本質特性，例如：

《集合論》中的 等價；

《線性代數》中的 （多）線性對映；

《抽象代數》中的 同態和同構；

《拓撲學》中的 拓撲同胚和同輪；

《範疇論》中的 態射、自然變換、函子；

先給答案：函式的本質，是揭示事物的對立統一規律。沒有哪個規律可以跳出對立統一法則，也沒有哪個規律不可以函式表述。

數學是物理的武器；函式是數學的靈魂。有了函式，就有了科學與技術的輝煌成就。函式表達力是科研人的生命力，函式表示式是科學與技術的第一標籤。以下分享函式的解讀。

函式的基本意思

函式，有兩個語境，其一泛指函式思維(方法論)，其二特指應[因]變數(dependent)。

函式的英文function，本意是“功能”。似乎看不出功能與函式有什麼聯絡。這裡的邏輯鏈是醬紫的：

功能→效能→效應→對應→呼應→反映→對映→函式，即自變數與因變數的一一對應關係，這是函式方法的基本含義，即函式的外延。

在反映變數之間的對應關係時，有一個極為重要的核心概念——係數(或當量)。

什麼叫係數？係數的英文是coefficience。字面意思是“協同效應值”或“協變常數”。

係數反映變數之間關係所適用的特定條件或其它相對穩定的參量。換言之，變數之間的關係，取決於特定條件。

例1. 波速=波長×波頻，即：c=λf，或λ=c/f，函式意思是：波長與波頻成反比。

係數c叫速度常數，取決於不同的介質。在真空介質中，有光速：c=299794285米/秒。在空氣介質中，有音速：c=(341+0.6T)米/秒。

例2. 質子的慣性勢能與真空場(引力波)頻率成正比，即：Ep(=mc²)=hf。

這有點泛函(函式套函式)味道：慣性勢能與粒子質量成正比，與粒子質量場的頻率成正比。

這裡有兩個係數：c²與h。c²強調粒子必須以光速自旋，普朗克常數h強調唯有亞原子才適合這個公式。

函式的表達方式

函式的標記是f()，有時乾脆簡化為f。也可用其它字母表示，如：波函式ψ(x,t)或ψ。

f(x)叫一元或一維函式，f(x,y)叫二元或二維函式，f(r,θ)=re^iθ叫複變函式。f(g())叫複合函式或泛函=函式的函式(functional(function))。M(z)叫莫比烏斯函式。f(x)=limsinx/x叫極限函式，f(sinx,cosx)叫傅立葉函式，f(dx)叫微分函式，f(a,b)=ʃf(x)dx，叫定積分函式。

對現象或效應的變數關係，用物理邏輯解釋清楚，設定變數符號與量綱，指出引用函式的出處，透過嚴密的數學推導，最終給出函式關係式，這是科研人起碼的基本功。

函式關係表示式，簡稱函式式，也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是對等方式。理解函式式的物理意義有時是很難的。

例3. 薛定諤方程或函式：i(h/2π)dψ/dt=Hψ，意義：①i=-1½單位1虛數化即逆時針旋轉½π，②h/2π是半徑化普朗克常數，③量子波函式ψ(x,y,z,t)，④H=H(ijk)=ix"+jy"+kz"是三維基矢(i,j,k)的1階偏導數的向量和。

函式反映的是對立統一法則

函式是一種關係。關係是複雜的。歷時性關係，叫縱向關係。共時性關係，叫橫向關係。

函式關係的異名同義說法有：邏輯關係、因果關係、對應關係、量化關係、定量關係、當量關係、量綱關係、對映關係、投影關係、迭代關係(遞推)、拓撲關係、辯證關係或對立統一關係或超對稱關係(supersymmetry)。

迭代函式(iteration)是尤其用於在分形學和動力學中深入研究的軟體系統工具，是重複的與自身複合的週期函式，本質上依然是對立統一法則。

例4. 全面質量管理理論的PDCA迴圈單元，是一個從設計(plan)到行動(do)到控制(control)到實現(action)的抽象過程。設計與實現是對立統一的節點(P*A)：PDCA→PDCA→PDCA......

例5. Fibonacci Sequence斐波那契數列是數0、1、1、2、3、5、8、13...可做迭代函式化的操作，定義為： f(0)=0，f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2,n∈N)。

拓撲關係是基於連通性的抽象性的投影關係，是把“萬變不離其宗”解讀為函式關係，尤其是把高維關係投影為低維關係，高維與低維也可以理解為一種對立統一關係。

▲就拓撲關係而言，魔鬼與神仙與各色人等，沒什麼兩樣。SO EVERYBODY IS AN ACTOR ON THE WORLD.

例6.我們看到的太陽，總是三維的太陽發射的光在肉眼中的二維投影，感覺的“圓盤”與真實的“圓球”是一種超對稱的投影關係。

例7. 把三維的電子雲分佈，拓撲(投影)為二維的電子雲分佈，進而大大簡化複雜性。

超對稱關係，當然包括迭代關係與拓撲關係，也是把“對立統一規律”解讀為函式關係。

對立統一規律泛指：互為因果、相輔相成、相互制衡。超對稱思維是物理邏輯的最高境界。

例8. 萬有引力F(m,R)=Gm₁m₂/R²中，分子(m₁m₂)與分母(R²)是質量乘積效應與真空場的超對稱。G是超對稱係數。

例9. 在庫侖定律F(q,R)=kq₁q₂/R中，分子(q₁q₂)與分母(R²)是電荷效應與真空場效應之間的超對稱。k是超對稱係數。

例10. 在熱力學第一定律Ek(=½mv²)=1.5kT中，左邊動能½mv²與右邊溫度(T)是超對稱，k是玻爾茲曼常數或超對稱係數。

例11. 複函式z(r,θ)=re^iθ，同樣蘊含了超對稱關係。在用複平面z(r,θ)描述歐氏二維空間某個元素時，複函式的模變數r的幾何意義是該元素的徑向伸縮(簡稱伸)，複函式的角變數θ的幾何意義是該元素的切向扭轉(簡稱扭)。

複函式的伸與扭是一種超對稱關係。這不禁使我們聯想到，電子自旋(扭)由於軸向轉動慣量不均衡必然導致軸傾斜而發生進動(伸)；

與此同時，電子的切向運動反映電子慣性離心力(伸)與電子的繞核運動(扭)，是一種相互制衡的超對稱關係，蘊含的是對立統一法則。

▲如果這是一個星系空間元素分佈的全域性性景觀，那麼我們可以寫出一個簡明扼要的函式。

結語

人類認識事物的結構分佈與運動變化，歸根結底，是在尋找一種關係。對關係量化處理的形式就是函式。

在數學家眼裡，函式是自變與應變之間的一一對應的關係；在物理學家眼裡，函式是描述效應的方程；在哲學家眼裡，函式折射的是超對稱關係或對立統一法則。

函式就是不確定的可能性，當它的變數被代入具體的數的時候就坍縮為某種確定的結果，這一過程其實也就是一切存在的縮影。

函式對通常人無用，在眾多工程建設可說是不可或缺，使用函式運算可使工程達到儘可能真實(接近），以確保工程質量。

https://mp.weixin.qq.com/s/7TKZC55iMrqBmTgttZ6O1Q

這裡講的很通俗易懂

為了解釋函式的本質是什麼？有必要知道函式的發展史，通過了解函式的發展歷程，我們可以從表面本質徹底的認識函式！

第一個歷程，幾何觀念下的函式

1.伽利略是最早透露出函式概念的，只不過當時用的不是函式這個名詞，他指出：用文字和比例的語言表達兩個量的關係。僅此而已。

2.隨後解析幾何出現，直角座標系的發明者笛卡爾在解析幾何中注意到：“兩個變數之間的關係也一個變數，總是依靠另一個變數而存在”。很遺憾的是，當時大部分函式都被當做曲線來研究，並沒有意識到需要提煉出函式這一概念！

3.時間到了1673年，萊布尼茨首次使用“function”表示“冪”，後來陸續用function表示曲線上點的座標或者與曲線有關的量，這個時候“function”的詞義應該不被翻譯成函式，應該翻譯成“功能”（個人觀點），但是無論如何，1673年是數學歷史上第一次見到“function”一詞，是歷史性的突破！直到現在，依然都是使用它！

第二個歷程，代數觀念下的函式

1.1718年，伯努力在萊布尼茨的基礎上，對函式再次進行了定義：“強調函式需要用公式來表示”，到這兒可以看出比較接近我們現代函數了。

2.1756年，偉大數學家尤拉給出定義，一個變數的函式是由這個變數和一些數（即常數），以任何方式組成的解析表示式。可以看出這個概念中解析式對於函式的重要意義被體現出來，比伯努利的定義更普遍，更具有廣泛意義。

第三個歷程，對應關係下的函式

不要著急，很接近本質了！

1.1821年，柯西指出一個函式需要有兩個變數，一個是自變數，一個是因變數。此時此刻，函式模型非常類似我們初中學的函式概念！

對於柯西這個大佬不用過多介紹，高中生只是知道一個“柯西不等式”，高考還不一定用的上，但是到了大學，柯西才正式登上舞臺，會被虐的體無完膚！你有類似的經歷麼？反正我當年對他是又愛又恨！

2.1837年，狄利克雷（Dirichlet）指出：對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函式，自此誕生了函式的經典定義。

3.康托爾建立了集合論，美國數學家維布倫用集合和對應的概念給出了近代函式的概念，同時，打破了變數是數的侷限性，變數可以是數，也可以是其他物件。

第四個歷程，集合論下的函式

1930年，新的代現代函式定義為：

若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函式，記為y=f（x）。元素x稱為自變數，y稱為因變數。

現代函式的本質，重點強調“對映”“法則”“對應”“變換”。哪個詞都可以，有了這個概念，不僅可以做簡單的函式對應，也可以做複合函式的對應。

簡單函式：x對應y

複合函式：x對應y，y對應z，如下圖，就構成了複合函式！

中文的“函式”

函式這個詞本身是舶來品，“function”這個詞在英文中就是功能的意思，那麼是誰把它翻譯成函式的呢？

答案是清代的數學家李善蘭。是他首次將“function”譯為“函式”

看完了函式的發展歷程，可以看出函式的發展是不斷得到嚴謹化，精確化的過程，逐漸地透過表面現象抽離出函式的本質，這與我們學習函式的過程是一樣的！從初中那種單純的自變數，因變數的關係，到高中在對應法則下，用對映定義出的函式！在到大學多元，多對應的複變函式等等！