中國有一個科學家根據麥克斯韋方程組以及四極矩方程，推匯出一個質量電荷量比值常數，稱為質_電當量常數。利用這個常數，再進一步根據大體積天體半球電荷力矩，推匯出了不停旋轉的天體引力公式，即引力的根本原因是天體運動中的電磁作用。雙中子星軌道衰減併合，黑洞併合進一步驗證了這個理論，撰寫論水平太差，光作圖卡死了，無法投稿。

很早以前，人們就發現了電荷之間和磁體之間都有作用力，但是最初人們並未把這兩種作用聯絡起來。後來，人們發現有些被閃電劈中的石頭會具有磁性，於是猜測出電與磁之間可能存在某種關係。直到奧斯特、法拉第等人的努力，人們終於認識到電與磁的關係密不可分，人們利用磁鐵製造發電機，也利用電流製造電磁鐵。

但是，電與磁之間最深刻的物理關係是由麥克斯韋搞揭示的，麥克斯韋透過四個方程組成的方程組闡釋了電與磁——這一對宇宙間最深刻的作用力之間的聯絡，並將電場和磁場統一了起來。麥克斯韋方程組從誕生起就一直被人們認為是世界上最美的物理公式。

這篇文章將帶領大家瞭解一下麥克斯韋方程組的發現過程和具體含義，在這個過程中需要介紹一些數學基礎。雖然對於大部分人來說，理解這個過程是十分辛苦的，但是當你真正理解麥克斯韋方程組時，你會和我一樣驚歎於它的和諧和美麗。

場和場線

1758年，法國物理學家庫倫最早研究了電荷之間的作用力，並提出了庫倫定律：兩個電荷之間的作用力與電荷量的乘積成正比，與二者之間的距離平方成反比。

從那以後，科學家們就一直在爭論電荷之間作用力的方式：有些人認為電荷之間的作用力不需要時間和空間，一個電荷一瞬間就會對另一個電荷產生作用力，這就是所謂的“超距作用”。

隨著科學的發展，超距作用的觀點越來越被人們懷疑。終於，英國科學家法拉第提出了“電場”的概念。

法拉第認為：在電荷周圍存在著一種物質，這種物質看不見也摸不著，但是它是存在的，它可以在空間中傳遞。當電場傳遞到另一個電荷處時，就會對另一個電荷產生力的作用。反過來，第二個電荷也會產生電場，從而對第一個電荷產生反作用力。也就是說：電荷之間的作用是透過電場傳遞的。

1851年，法拉第還創造性的提出了一種描述電場的方法：用一組帶箭頭的曲線表示電場，曲線的切線方向表示電場的方向，曲線的疏密描述電場的強弱。比如，一個單獨的正電荷和一正一負兩個電荷在空間中形成的電場如下：

這種描述場的方法稱為“場線”，場線可以用來描述電場，也可以用來描述磁場。人們可以透過各種方法來模擬場線，例如：法拉第利用磁鐵周圍的鐵屑模擬了磁感線的情況。

場和場線的提出為後來人們研究許多問題提供了方便。

電生磁、磁生電

第一個發現電與磁關係的人是丹麥物理學家奧斯特。

1820年，奧斯特在一次給學生上課的時候，偶然間把一個通電直導線放在了小磁針上方，他驚奇的發現：小磁針居然偏轉了！在場的學生並沒有發現這個現象的驚人之處，只有奧斯特為這個發現倍感興奮。

經過仔細的研究，奧斯特提出了電流對小磁針的作用方式。在我們今天的觀點看來，奧斯特其實闡明瞭通電導線的周圍存在著以導線為圓心的環形磁場。後來，科學家安培指明瞭磁場的方向判斷方法：右手螺旋定則。

在奧斯特發現電流可以產生磁場的訊息傳遍世界時，英國的法拉第剛滿30歲，他當時還在化學家戴維的手下幹活。許多人懷疑戴維處於嫉妒使用各種方法壓制法拉第，例如強迫法拉第進行光學研究。直到1829年戴維去世後，法拉第才開始著手研究自己感興趣的電磁學問題。

法拉第認為：既然電流可以產生磁場，那麼磁鐵也應該可以產生電流。為此，法拉第進行了一系列的物理實驗，終於在1831年發現了電磁感應現象。

在一個鐵環的兩側繞上兩條不同的導線，第一個導線上透過電流時，另一側的導線上也產生了電流。法拉第解釋說：這是因為第一個電路的電流發生了變化，所產生的磁場也發生了變化，而變化的磁場可以產生電流。

我們還可以做這樣的實驗：將一根磁鐵插入螺線管，螺線管連線到一個電流表上，也會發現電流表上有讀數。這也滿足法拉第所說的“在運動和變化的過程中，磁場可以產生電流。”

透過奧斯特、法拉第等人的發現，人們認識到電和磁並不是割裂的，而是緊密相關的，甚至有人認為：電和磁似乎是同一個問題的兩個方面。

麥克斯韋方程組的數學基礎

1860年，比法拉第年輕四十歲的青年科學家麥克斯韋來到了法拉第面前，他把他之前發表的論文《論法拉第的力線》遞交給法拉第。法拉第大喜過望，並對麥克斯韋說：你不應該侷限於用數學解釋我的觀點，而要有所創新。

在法拉第的鼓勵下，麥克斯韋進一步開拓了自己的觀點，並最終總結成四個方程組成的麥克斯韋方程組。為了理解這四個方程，我們首先需要兩種數學運算：通量和路徑積分。

第一個概念是通量。如果電場E垂直穿過一個平面S，我們把電場E和麵積S的乘積稱為電場通量。如果電場E和平面S的法線夾一定的夾角，我們可以把電場進行正交分解，再用垂直於平面的分量乘以面積得到電場通量。

因為電場E可以用電場線的疏密表示，所以用電場E乘上面積S，實際上表示的就是穿過這個面的磁感線根數。假如各處電場不同，就需要把面積分割成無限多份，用每一小份的電場通量相加。

用數學表示式表示就是：

同樣，磁場穿過一個面時也可以用同樣的方法定義磁通量。用積分符號寫作：

第二個概念是路徑積分。如果一個電場E沿著路徑AB的方向，用電場E乘以路徑AB的長度L，就得到路徑積分。如果電場E與路徑AB方向夾一定角度，就把電場進行分解，把沿著AB方向的場分量乘以路徑長度L。磁場也有類似的路徑積分。

如果電場或磁場各處不同，我們就可以把路徑AB分成無窮多份，把每一份的路徑積分加起來，表示成：

需要注意路徑並不一定是直線，沿著曲線也有路徑積分。

麥克斯韋方程組

好了，現在我們知道了一個向量可以計算通量，也可以計算路徑積分。這樣我們就可以來理解這四個偉大的方程了。

1.電場的有源性

麥克斯韋方程組的第一個方程用數學表示了法拉第的第一個觀點：電荷會在周圍空間產生電場。正電荷會向外發射電場線，負電荷會從周圍吸收電場線。電荷的電量越大，所發射或者吸收的電場線越多。

如果我們用一個閉合曲面包圍住一個電荷，那麼這個閉合曲面上的電場通量就代表了電場線的根數。由於這些電場線都是由曲面內的電荷發射出來的，所以它正比於曲面內所有電荷的代數和。需要注意的是：無論我們所選取的曲面形狀如何，只要它包圍的電荷相同，它的電通量就是相同的。如果電荷在閉合曲面外，它發射的電場線就既要穿入曲面，又要穿出曲面，這樣對曲面的電通量就沒有貢獻，因此在方程中考慮的電荷量都是曲面內部的電荷。

用公式寫作

在這個公式中，等號左邊部分表示 閉合曲面上的電通量，也就是穿出曲面的電場線根數，等號右邊的Σq表示曲面內的電荷代數和，ε0稱為真空介電常數。這個方程就是麥克斯韋方程組中的第一個方程，也稱為電場高斯定律。這個方程告訴我們：電場是有源場，它的源就是空間中的電荷。

2. 磁場的無源性

與電場不同，無論是由磁體產生的磁場，還是由電流產生的磁場，磁感線總是閉合的。磁感線既沒有出發點，也沒有結束點。比如我們觀察通電螺線管的磁場就會發現這個特點。

於是，如果我們在空間中做一個閉合曲面，磁感線要麼不穿透這個曲面，要麼一定是既穿入這個曲面，又穿出這個曲面，因此磁感線的通量為零。

這樣，麥克斯韋方程組的第二個方程就可以寫作：

這個方程稱為磁場高斯定律，它告訴我們：磁場是無源的，既沒有起點也沒有終點，而總是閉合的。

3 電場的環路積分

麥克斯韋方程組的第三個方程是為了解釋法拉第電磁感應定律。

比如，當一個磁鐵靠近一個導線圈時，導線圈中會產生感應電流。法拉第等人認為：這是因為磁鐵靠近時，線圈中的磁通量發生了變化，而且產生的電動勢正比於磁通量的變化率。

麥克斯韋經過思考，得出了一個設想：電動勢的產生是由於有一種電場力推動了電荷，因此變化的磁場可以產生的是渦旋狀的電場。假如有個導體恰好處於渦旋電場之中，就會在導體中產生感應電流。而且，這個渦旋電場的大小是正比於磁通量的變化率的。

於是，麥克斯韋把第三個方程寫作：

方程左邊表示沿著一個閉合路徑的電場路徑積分，它可以表示這個閉合路徑上的電動勢。而右側表示磁場變化率的面通量，即磁通量的變化率。

這個方程用數學解釋了法拉第電磁感應定律的成因，也可以描述成渦旋電場是有旋場。

4. 磁場的環路積分

奧斯特時代起，人們就認識到電流周圍存在磁場，而且磁感應強度正比於電流。麥克斯韋把這個特點用數學表示式寫作：

等號左邊表示一個任意的閉合路徑上的磁場路徑積分，右側表示這個閉合路徑所包圍的電流之和。

不過，麥克斯韋的思想不僅僅侷限於此。麥克斯韋設想：既然變化的磁場可以形成渦旋電場，那麼變化的電場自然也能形成磁場。例如：在一個電路中有電容器，在電容器充電和放電的過程中，導線周圍存在磁場。而電容器中的電場會發生變化，它的地位應該等同於電流。於是，麥克斯韋提出了位移電流的概念：變化的電場相當於電流。

最終，麥克斯韋把第四個方程寫作：

等號左邊表示沿著任意一個路徑的磁場路徑積分，右側的μ0表示真空磁導率，I表示電流，Ф表示這個路徑上所包圍的電場通量。這個方程表示：電流和變化的電場都可以引起磁場。

麥克斯韋的預言

麥克斯韋方程組是人類有史以來最美的物理學方程，它具有強烈的對稱性和自洽性。它告訴我們：電場和磁場並非單獨存在，而是統一於電磁場之中。

不僅如此，麥克斯韋還經過計算證明：如果在真空中存在一個振盪的電場，那麼在振盪電場的周圍就會產生磁場，而這個磁場又會進一步產生電場…如此往復，電磁場就可以向遠處傳播，形成電磁波。

麥克斯韋計算了電磁波的速度，發現電磁波在真空中的速度剛好等於光速，於是大膽預言：光就是一種電磁波。

至此經典物理學走到了極致，物理學家們的信心極度膨脹。以至於1900年物理學家集會時，開爾文爵士自豪的宣稱：物理學的大廈已經基本建成，後世只要再做一些修修補補的工作就可以了。

只可惜，麥克斯韋沒有親手證實它所預言的電磁波，1879年，年僅48歲的麥克斯韋與世長辭。而在同一年，現代物理學最偉大的科學家愛因斯坦剛剛出生。

在麥克斯韋之前，最偉大的物理學家是牛頓，因為他的萬有引力定律統一了天上和地下，他證明了月亮和蘋果滿足同樣的物理規律。在麥克斯韋之後最偉大的物理學家是愛因斯坦，因為他的狹義相對論和廣義相對論統一了時間與空間，讓人們認識到世界實際上是在一個統一的時空中存在的。而在牛頓和愛因斯坦之間，最偉大的物理學家就是麥克斯韋，他的方程組統一了電場與磁場，他預言的電磁波成為現代最重要的通訊方式。甚至於，愛因斯坦所提出的相對論，一部分原因也是為了處理麥克斯韋方程組的協變性問題。

有些人的壽命雖然不常，但是他光輝的思想卻永遠留在了世界上。

麥克斯韋方程組僅適用於穩定電磁場！在頻率較低時僅近似適用，頻率高時就不適用了，特別是積分形式！另外，電場與磁場在真空中並不能相互激勵，否則，晚上的天空就不會是黑暗的了！詳細情況可參見本人以下文章：

微分篇已更新

2004年，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程、尤拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。

麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統一了電和磁，並預言光就是一種電磁波，這是物理學家在統一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優美，並且描述了經典電磁學的一切。但是，真正能看懂這個方程組的人卻不多，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學才正式學習微積分。

01電磁統一之路

電和磁並沒有什麼明顯的聯絡，科學家一開始也是獨立研究電現象和磁現象的。這並不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什麼聯絡呢？

1820年，奧斯特在一次講座上偶然發現通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下，這個微小的現象並沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現象進行了三個月的窮追猛打，最後發現了電流的磁效應，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。

訊息一出，物理學家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進行深入研究。怎麼研究呢？奧斯特只是說電流周圍會產生磁場，那麼這個電流在空間中產生的磁場是怎麼分佈的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產生的磁感應強度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發現某個規律之後必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計算它，才算完全瞭解。

三個月，在奧斯特正式發表他的發現僅僅三個月之後，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產生磁場大小的定量規律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產生磁場的大小，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣。

又過了兩個月之後，安培發現了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式，這就是安培環路定理。順便，安培還總結了一個很實用的規律來幫你判斷電流產生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。

至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會產生磁場，而且能夠用安培環路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那麼，我們現在知道怎麼單獨描述電和磁，知道了電怎麼生磁，秉著對稱的思想，我怎麼樣都要去想：既然電能夠生磁，那麼磁能不能生電呢？

由於種種原因，奧斯特在1820年發現了電生磁，人類直到11年後的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發現了磁生電的規律，也就是電磁感應定律。法拉第發現磁能生電的關鍵就是：他發現靜止的磁並不能生電，一定要變化的磁才能生電。

發現電磁感應定律之後，我們知道了磁如何生電，有了安培環路定理，我們就知道電流如何產生磁場。咋一看，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實不然，我們知道安培環路定理是從奧斯特發現了電流周圍會產生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。

但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發生了變化，那麼這樣能不能產生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據電磁感應定律，變化的磁場是可以產生電場的。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產生磁場並不奇怪。而這，正好是安培環路定理缺失的部分。

於是，麥克斯韋就對安培環路定理進行了擴充，把變化的電場也能產生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最後一塊短板。

到這裡，電和磁的統一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這裡我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經典電磁學的一切，而且它是由四個方程組成的。那麼，如果讓你選擇四個方程來描述電磁裡的一切，你大致會選擇四個什麼樣的方程呢？

此處思考一分鐘……

我不知道大家是怎麼考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切，那麼我就用第一個方程描述電，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電，第四個方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～

所以，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現象的。接下來我們就來一個個地看。

02庫侖的發現

在奧斯特發現電流的磁效應之前，人類已經單獨研究電研究了好長時間，人們發現電荷有正負兩種，而且同性相斥，異性相吸。後來庫倫發現了電荷之間相互作用的定量關係，它發現電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一。

這個跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什麼大自然這麼偏愛“平方反比”規律呢？因為我們生活在一個各向同性的三維空間裡。

什麼意思？我們可以想想：假設現在有一個點源開始向四面八方傳播，因為它攜帶的能量是一定的，那麼在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面。而球面的面積公式S=4πr²（r為半徑），它是跟半徑的平方r²成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr²個部分，那麼每個點得到的能量就自然得跟4πr²成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。

因此，如果我們生活在四維空間裡，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）裡都有預言高維度，科學家們就去很小的尺度裡測量引力，如果引力在一個很小的尺度裡不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發現了額外的維度。

好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律後，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因為很明顯的，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：

這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數。q1、q2就是兩個電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr²赫然出現在分母裡，這是三維空間平方反比規律的代表。

庫倫定律是一個實驗定律，也就說庫倫做了很多實驗發現兩個電荷之間確實存在著一個這麼大小的靜電力，但是它並沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個並沒有接觸的物體之間存在某種力，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那麼這種東西是什麼呢？有人認為是以太，有人認為是某種彈性介質，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什麼虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現在熟知的場。

03電場的疊加

有了場，我們就可以更加細緻的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什麼兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢？因為電荷會在周圍的空間中產生一個電場，這個電場又會對處在其中的電荷產生一個力的作用。這個電場的強度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個向量。

為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個正電荷就像太陽發光一樣向四周發射電場線，負電荷就彙集電場線。

這些內容大家在中學的時候應該都學了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個稍微複雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那麼我們就可以根據這個求出一個點電荷周圍的電場強度。然而，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再複雜一點呢？如果我有很多個電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規則的帶電體，這時候我們要怎麼求它產生的電場呢？

一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷，我就把每個電荷在這點產生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個連續的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數個無窮小的部分，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷，然後把這無數個點電荷在那點產生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。

我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點，萬物皆可積”的精神，強行讓庫倫定律和微積分聯姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很複雜了，有沒有更簡單優雅一點的辦法呢？

有，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規律，但是物體時時刻刻都處在變化之中，你要怎麼去尋找它的規律呢？這裡就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界裡那些不變的東西。

牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運動，受到什麼樣的力，這個東西只由物體的密度和體積決定，於是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現在質量是比密度體積更基本的概念）；科學家們發現物體在各種變化的過程中有某種守恆的東西，於是提煉出了能量的概念。那麼，帶電體在周圍空間中產生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？

04通量的引入

我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，

我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然後我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑膠袋）的塑膠袋把水龍頭包起來。那麼，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑膠袋，然後才能去其他地方，穿過這個塑膠袋的表面是所有水的必經之路。

這個看似平常的現象後面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑膠袋有多大，是什麼形狀，只要你是密封的。那麼，從水龍頭流出的水量就一定等於透過這個塑膠袋錶面的水量。

從這裡，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是透過一個曲面的某種流量，透過塑膠袋錶面的水的流量就叫塑膠袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等於塑膠袋的水通量了。

好，水的事就先說到這裡，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實驗，現在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑膠袋套住一個正電荷，那會發生什麼呢？水龍頭的噴頭散發的是水流，正電荷“散發”的是電場線；透過該塑膠袋的水流量叫塑膠袋的水通量，那麼電場線透過塑膠袋的數量自然就叫塑膠袋的電通量。對於水通量，我們知道它等於水龍頭的出水量，那麼塑膠袋的電通量等於什麼呢？

我們知道，之所以會有電場線，是因為空間中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產生的電場強度就越大，電場線就越密，那麼穿過塑膠袋的電場線的數量就越多，對應的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個塑膠袋包含的電荷量有關，而且是正相關。

這就是在告訴我們：透過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，透過這個任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。

把這個思想從電翻譯到水上面去就是：透過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，透過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會發現它非常簡單自然。

我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：透過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那麼，我們要怎麼樣把這個思想數學化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那麼透過一個閉合曲面的電通量要怎麼表示呢？

05電場的通量

我們先從最簡單的情況看起。

問題1：我們假設空間裡有一個電場強度為E的勻強電場，然後有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直，那麼，透過這個木板的電通量Φ要怎麼表示呢？

我們想想，我們最開始是從水透過曲面的流量來引入通量的，到了電這裡，我們用電場線透過一個曲面的數量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小。所以，我們就能很明顯的發現：電場強度越大，透過木板的電場線數量越多；木板的面積越大，透過木板的電場線數量越多。而電場線的數量越多，就意味著電通量越大。

因為電場強度E是一個向量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那麼我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，透過木板的電通量Φ=|E|×a。

木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？

問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ，那這個電通量又要怎麼求呢？

如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面。

然後，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實不是的，我們是用一個垂直於這個平面的向量的方向表示這個平面的方向，這個向量就叫這個平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n，那麼這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ。

AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關係：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時候透過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那麼，當它們之間有一個夾角θ的時候，透過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。

06向量的點乘

到了這裡，我們就必須稍微講一點向量和向量的乘法了。

通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，並沒有方向；再比如質量，我們只說一個物體的質量是多少千克，並不會說質量的方向是指向哪邊。而向量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。

標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，向量因為既有大小又有方向，所以你兩個向量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個向量，一個向量的方向向北，另一個向東，那麼它們相乘之後得到的結果還有沒有方向呢？如果有，這個方向要怎麼確定呢？

這就是說，我們從小學開始學習的那種代數乘法的概念，在向量這裡並不適用，我們需要重新定義一套向量的乘法規則，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現在向量不僅有大小還有方向，那麼這個方向怎麼體現呢？簡單，我不讓你兩個向量的大小直接相乘，而是讓一個向量的投影和另一個向量的大小相乘，這樣就既體現了大小又體現了方向。

如上圖，我們有兩個向量OA和OB（線段的長短代表向量的大小，箭頭的方向代表向量的方向），我們過A點做AC垂直於OB（也就是OA往OB方向上投影），那麼線段OC的長度就代表了向量OA在OB方向上的投影。而根據三角函式的定義，一個角度θ的餘弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示向量的大小，|OA|表示向量OA的大小）。所以向量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。

既然兩個向量的點乘被定義為一個向量的投影和和另一個向量大小的乘積，現在我們已經得到了投影OC的表示式，那麼向量OA和OB的點乘就可以表示為：

OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。

為什麼我們上面明明還在講電場透過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆向量的點乘的東西呢？因為電場強度也是一個向量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實也是一個向量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直於這個平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，透過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個向量點乘右邊的形式一模一樣？

也就是說，如果我們從向量的角度來看：電場E透過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個向量（電場和平面）的點乘，即Φ=E·a（因為根據點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。

這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用向量的表述，那麼你在公式裡就不可避免地會出現很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是，電場強度和平面本來就都是向量，你使用向量的運算天經地義，為什麼要用標量來代替它們呢？

總之，我們知道一個電場透過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是透過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這裡得到的只是一個電場透過一個平面的電通量，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區別的。

07閉合曲面的電通量

知道怎麼求一個平面的電通量，要怎麼求一個曲面的電通量呢？

這裡就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實是一個球面，那麼，為什麼我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個答案很簡單，因為地球很大，當我們從月球上遙望地球的時候，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是，當我們把範圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上。

地球的表面是一個曲面，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面。看到沒有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面，而我們現在的問題不就是已知一個平面的電通量，要求一個曲面的電通量麼？那麼地球表面的這個類比能不能給我們什麼啟發呢？

彎曲的地球表面在小範圍內是平面，這其實是在啟發我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細，保證每一小塊都足夠小，那麼我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象，我把這個曲面分割得越細，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身。

下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，於是我們就可以認為這些小塊加起來就等於這個曲面了。這就是微積分最樸素的思想。

如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx，寬為dy的小方塊，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E，那麼透過這個小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份，那麼把這無窮多個小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個曲面的總電通量。

這個思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計算可能就會比較複雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計算，我們只需要知道怎麼表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da，那麼我們就可以用下面的符號表示透過這個曲面S的總電通量：

這個拉長的大S符號就是積分符號，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S，也就是說我們這裡是把這個曲面S切割成無窮小塊，然後對每一塊都求它的通量E·da，然後把通量累積起來。至於這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面。

08方程一：高斯電場定律

總之，上面這個式子就代表了電場E透過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：透過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比。那麼，這樣我們就能非常輕鬆的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：

方程的左邊，我們上面解釋了這麼多，這就是電場E透過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量，ε0是個常數（真空介電常數），暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數學公式完美地詮釋了我們的思想。

麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線透過一個曲面的數量，而我們也知道磁場也有磁感線（由於歷史原因無法使用磁場線這個名字），那麼，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然後在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢？

09方程二：高斯磁場定律

磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線透過一個曲面的數量定義磁通量。因為磁場線的密度一樣表徵了磁感應強度（因為歷史原因，我們這裡無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場透過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。

同樣，根據我們在上面電場裡使用的微積分思想，類比透過閉合曲面電通量的作法，我們可以把透過一個閉合曲面S的磁通量表示為：

然後，我們可以類比高斯電場定律的思想“透過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比”，建立一個高斯磁場定律，它是核心思想似乎就應該是：透過閉合曲面的磁通量跟這個曲面包含的“磁荷量”成正比。

然而這裡會有個問題，我們知道自然界中有獨立存在的正負電荷，電場線都是從正電荷出發，彙集與負電荷。但是自然界裡並不存在（至少現在還沒發現）獨立的磁單極子，任何一個磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場線不一樣，它不會存在一個單獨的源頭，也不會彙集到某個地方去，它只能是一條閉合的曲線。

上圖是一個很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極，在磁鐵的內部又從S極指向N極，這樣就形成一個完整的閉環。

如果磁感線都是一個閉環，沒有獨立存在的磁單極，那我們可以想一想：如果你在這個閉環裡畫一個閉合曲面，那麼結果肯定就是有多少磁感線從曲面進去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來。因為如果有一根磁感線只進不出，那它就不可能是閉合的了，反之亦然。

如果一個閉合曲面有多少根磁感線進，就有多少根磁感線出，這意味著什麼呢？這就意味著你進去的磁通量跟出來的磁通量相等，那麼最後這個閉合曲面包含的總磁通量就恆為0了。這就是麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恆為0。

透過閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個曲面的積分符號就表示曲面的磁通量）我們上面已經說了，恆為0無非就是在等號的右邊加個0，所以高斯磁場定律的數學表示式就是這樣的：

對比一下高斯電場定律和高斯磁場定律，我們會發現他們不僅是名字想象，思想也幾乎是一模一樣的，只不過目前還沒有發現磁荷、磁單極子，所以高斯磁場定律的右邊就是一個0。我們再想一想：為什麼這種高斯XX定律能夠成立？為什麼透過任意閉合曲面的某種通量會剛好是某種量的一個量度？

原因還在它們的“平方反比”上。因為電場強度和磁感應強度都是跟距離的平方成反比，而表面積是跟距離的平方正比，所以你前者減小多少，後者就增加多少。那麼，如果有一個量的表示形式是前者和後者的乘積，那麼它的總量就會保持不變。而通量剛好就是XX強度和表面積的乘積，所以電通量、磁通量就都會有這樣的性質。

所以，再深思一下你就會發現：只要一種力的強度是跟距離平方成反比，那麼它就可以有類似的高斯XX定律，比如引力，我們一樣可以找到對應的高斯定律。數學王子高斯當年發現了高斯定理，我們把它應用在物理學的各個領域，就得到了各種高斯XX定律。麥克斯韋方程組總共就四個方程，就有兩個高斯定律，可見其重要性。

靜電和靜磁方面的事情就先說這麼多，還有疑問的請諮詢高斯，畢竟這是人家獨家冠名的產品。接下來我們來看看電和磁之間的互動，看看磁是如何生電，電是如何生磁的。說到磁如何生電，那就肯定得提到法拉第。奧斯特發現電流的磁效應之後，大家秉著對稱性的精神，認為磁也一定能夠生電，但是磁到底要怎樣才能生電呢？不知道，這就得做實驗研究了。

10電磁感應

既然是要做實驗看磁如何生電，那首先肯定得有一個磁場。這個簡單，找兩塊N極和S極相對的磁鐵，這樣它們之間就會有一個磁場。我再拿一根金屬棒來，看看它有沒有辦法從磁場中弄出電來。因為金屬棒是導電的，所以我把它用導線跟一個檢測電流的儀器連起來，如果儀器檢測到了電流，那就說明磁生電成功了。

法拉第做了很多這樣的實驗，他發現：你金屬棒放在那裡不動，是不會產生電流的（這是自然，否則你就是憑空產生了電，能量就不守恆了。你要這樣能發電，那我買塊磁鐵回家，就永遠不用再交電費了）。

然後，他發現金屬棒在那裡動的時候，有時候能產生電流，有時候不能產生，你要是順著磁感線的方向運動（在上圖就是左右運動）就沒有電流，但是你要是做切割磁感線的運動（在上圖就是上下運動）它就能產生電流。打個通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根麵條，你只有把麵條（磁感線）切斷了才會產生電流。

再然後，他發現金屬棒在磁場裡不動雖然不會產生電流，但是如果這時候我改變一下磁場的強度，讓磁場變強或者變弱一些，即便金屬棒不動也會產生電流。

法拉第仔細總結了這些情況，他發現不管是金屬棒運動切割磁感線產生電流，還是磁場強度變化產生電流，都可以用一個通用的方式來表達：只要閉合迴路的磁通量發生了改變，就會產生電流。我們想想，磁通量是磁場強度B和麵積a的乘積（B·a），我切割磁感線其實是相當於改變了磁感線透過迴路的面積a，改變磁場強度就是改變了B。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的。

也就是說：只要透過曲面（我們可以把閉合迴路當作一個曲面）的磁通量發生了改變，迴路中就會產生電流，而且磁通量變化得越快，這個電流就越大。

到了這裡，我們要表示透過一個曲面的磁通量應該已經輕車熟路了。磁通量是B·a，那麼透過一個曲面S的磁通量給它套一個積分符號就行了。於是，透過曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

細心的同學就會發現這個表示式跟我們高斯磁場定律裡磁通量部分稍微有點不一樣，高斯磁場定律裡的積分符號（拉長的S）中間有一個圓圈，我們這裡卻沒有。高斯磁場定律說“閉合曲面的磁通量恆為0”，那裡的曲面是閉合曲面，所以有圓圈。而我們這裡的曲面並不是閉合曲面（我們是把電路迴路當成一個曲面，考慮透過這個迴路的磁通量），也不能是閉合曲面。因為法拉第就是發現了“透過一個曲面的磁通量有變化就會產生電流”，如果這是閉合曲面，那根據高斯磁場定律它的磁通量恆為0，恆為0那就是沒有變化，沒變化按照法拉第的說法就沒有電流，那還生什麼電？

所以，我們要搞清楚，我們這裡不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個非閉合曲面的磁通量，這個磁通量發生了改變就會產生電流，而且變化得越快產生的電流就越大。上面的式子給出的只是透過一個曲面S的磁通量，但是我們看到了最終決定電流大小的並不是透過曲面的磁通量的大小，而是磁通量變化的快慢。那麼這個變化的快慢我們要怎麼表示呢？

我們先來看看我們是怎麼衡量快慢的。比如身高，一個人在十二三歲的時候一年可以長10釐米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就長1釐米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（假設身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更小），看看這個量的變化dy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。

因此，我們可以用這個量的變化dy和給定的時間dt的比值dy/dt來衡量量這個量y變化的快慢。所以，我們現在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表示式替換掉上面的y就行了，那麼透過曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

這樣，我們就把磁生電這個過程中磁的這部分說完了，那麼電呢？一個閉合迴路（曲面）的磁通量有變化就會產生電，那這種電要怎麼描述？

11電場的環流

可能有人覺得磁通量的變化不是在迴路裡產生了電流麼，那麼我直接用電流來描述這種電不就行了麼？不行，我們的實驗裡之所以有電流，是因為我們用導線把金屬棒連成了一個閉合迴路，如果我們沒有用導線去連金屬棒呢？那肯定就沒有電流了。

所以，電流並不是最本質的東西，那個最本質的東西是電場。一個曲面的磁通量發生了變化，它就會在這個曲面的邊界感生出一個電場，然後這個電場會驅動導體中的自由電子定向移動，從而形成電流。因此，就算沒有導線沒有電流，這個電場依然存在。所以，我們要想辦法描述的是這個被感生出來的電場。

首先，一個曲面的磁通量發生了改變，就會在在曲面的邊界感應出一個電場，這個電場是環繞著磁感線的，就像是磁感線的腰部套了一個呼啦圈。而且，你這個磁通量是增大還是減小，決定了這個電場是順時針環繞還是逆時針環繞，如下圖：

如果我們從上往下看的話，這個成閉環的感生電場就是如下圖所示：它在這個閉環每點的方向都不一樣，這樣就剛好可以沿著迴路驅動帶電粒子，好像是電場在推著帶電粒子在這裡環裡流動一樣。

這裡，我們就要引入一個新的概念：電場環流，電場的環流就是電場沿著閉合路徑的線積分。這裡有兩個關鍵詞：閉合路徑和線積分。閉合路徑好說，你只有路徑是閉合的，才是一個環嘛，感生電場也是一個環狀的電場。

電場的線積分是什麼意思呢？因為我們發現這個感生電場是一個環狀電場，它在每一個點的方向都不一樣。但是，我們依然可以發動微積分的思想：這個電場在大範圍內（比如上面的整個圓環）方向是不一樣的，但是，如果在圓環裡取一個非常小的段dl，電場E就可以看做是一個恆定的了，這時候E·dl就是有意義的了。然後把這個環上所有部分的E·dl都累加起來，也就是沿著這個圓環逐段把E·dl累加起來，這就是對電場求線積分。而這個線積分就是電場環流，用符號表示就是這樣：

積分符號下面的C表示這是針對曲線進行積分，不同於我們前面的面積分（下標為S），積分符號中間的那個圓圈就表示這個是閉合曲線（電場形成的圓環）。如果大家已經熟悉了前面曲面通量的概念，我想這裡要理解電場在曲線上的積分（即電場環流）並不難。

這個電場環流有什麼物理意義呢？它就是我們常說電動勢，也就是電場對沿著這條路徑移動的單位電荷所做的功。我這裡並不想就這個問題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺一下就行了。你想想這個電場沿著這個迴路推動電荷做功（電場沿著迴路推著電荷走，就像一個人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場環流要傳遞的概念。而用這個概念來描述變化的磁產生的電是更加合適的，它既包含了感生電場的大小資訊，也包含了方向資訊。

12方程三：法拉第定律

所以，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的最後表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等於感生電場的環流。用公式表述就是這樣：

方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場環流我們上面都說了，還有一個需要說明的地方就是公式右邊的這個負號。為什麼磁通量的變化率前面會有個負號呢？

我們想想，法拉第定律說磁通量的變化會感生出一個電場出來，但是我們別忘了奧斯特的發現：電流是有磁效應的。也就是說，磁通量的變化會產生一個電場，這個電場它自己也會產生磁場，那麼也就有磁通量。那麼，你覺得這個感生電場產生的磁通量跟原來磁場的磁通量的變化會有什麼關係？

假如原來的磁通量是增加的，那麼這個增加的磁通量感生出來的電場產生的磁通量是跟原來方向相同還是相反？仔細想想你就會發現，答案必然是相反。如果原來的磁通量是增加的，你感生出來的電場產生的磁通量還跟它方向相同，這樣不就讓原來的磁通量增加得更快了麼？增加得更快，按照這個邏輯就會感生出更強大的電場，產生更大的與原來方向相同的磁通量，然後又導致原來的磁通量增加得更快……

然後你會發現這個過程可以無限迴圈下去，永遠沒有盡頭，這樣慢慢感生出無限大的電場和磁通量，這肯定是不可能的。所以，為了維持一個系統的穩定，你原來的磁通量是增加的，我感生電場產生的磁通量就必然要讓原來的磁通量減小，反之亦然。這就是楞次定律的內容，中學的時候老師會編一些口訣讓你記住它的內容，但是我想讓你知道這是一個穩定系統自然而然的要求。楞次定律背後還有一些更深層次的原因，這裡我們暫時只需要知道這是法拉第定律那個負號的體現就行了。

到這裡，我們就把麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的內容講完了，它刻畫了變化的磁通量如何產生電場的過程。但是，我們上面也說了，我們這裡的磁通量變化包含了兩種情況：導體運動導致的磁通量變化和磁場變化導致的磁通量變化。這兩種情況其實是不一樣的，但是它們居然又可以用一個統一的公式來表達，這其實是非常不自然的，當時的人們也只是覺得這是一種巧合罷了，但是愛因斯坦卻不認為這是一種巧合，而是大自然在向我們暗示什麼，他最終從這裡發現了狹義相對論，有興趣的同學可以這裡思考一下。

也因為這兩種情況不一樣，所以，法拉第定律還有另外一個版本：它把這兩種情況做了一個區分，認為只有磁場變化導致的磁通量變化才是法拉第定律，前面導體運動導致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時候就會看到法拉第定律的另一個版本：

對比一下這兩個法拉第定律，我們發現後面這個只是把那個變化率從原來的針對整個磁通量移到了只針對磁場強度B（因為B不是隻跟時間t有關，還可以跟其它的量有關，所以我們這裡必須使用對時間的偏導的符號∂B/∂t），也就是說它只考慮變化磁場導致的磁通量變化。這種形式跟我們後面要說的法拉第定律的微分形式對應得更好，這個後面大家會體會到。

磁生電的過程我們先講這麼多，最後我們來看看電生磁的情況。可能有些人會覺得我這個出場次序有點奇怪：明明是奧斯特先發現了電流的磁效應，大概十年後法拉第才發現了磁如何生電，為什麼你卻要先講磁生電的法拉第定律，最後講電生磁呢？

13安培環路定理

確實，是奧斯特首先爆炸性地發現了電流的磁效應，發現了原來電和磁之間並不是毫無關係的。

如上圖，假設電流從下往上，那麼它在周圍就會產生這樣一個環形的磁場。磁場的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導線，拇指指向電流的方向，那麼你右手四指彎曲的方向就是磁場B的方向。

然後畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應，看看一定大小的電流在周圍產生的磁場的大小是怎樣的。於是，我們就有了描述電流磁效應的畢奧-薩伐爾定律和安培環路定理。其中，畢奧-薩伐爾定律就類似於庫倫定律，安培環路定理就類似於高斯電場定律，因為在麥克斯韋方程組裡，我們使用的是後一套語言，所以我們這裡就只來看看安培環路定理：

安培環路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的。因為法拉第定律說磁通量的變化會在它周圍產生一個旋轉閉合的電場，而電流的磁效應也是在電流的周圍產生一個旋轉閉合的磁場。在上面我們已經說了我們是用電場環流（也就是電場在閉合路徑的線積分）來描述這個旋轉閉合的電場，那我們這裡一樣使用磁場環流（磁場在閉合路徑的線積分）來描述這種旋轉閉合的磁場。

安培環路定理的右邊就比較簡單了，μ0是個常數（真空磁導率），不用管它。I通常是用來表示電流的，enc這個右標我們在高斯電場定律那裡已經說過了，它是包含的意思。所以，右邊這個帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑裡的總電流，哪個閉合路徑呢？那自然就是你左邊積分符號中間那個圈圈表示的閉合路徑了。

也就是說，安培環路定理其實是在告訴我們：通電導線周圍會產生旋轉磁場，你可以在這個電流周圍隨便畫一個圈，那麼這個磁場的環流（沿著這個圈的線積分）就等於這個圈裡包含的電流總量乘以真空磁導率。

那麼，這樣就完了麼？靜電、靜磁分別由兩個高斯定律描述，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環路定理描述？

不對，我們看看安培環路定理，雖然它確實描述了電生磁，但是它這裡的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項）。難道一定要有電流才會產生磁？電磁感應被發現的原因就是看到奧斯特發現了電流的磁效應，發現電能生磁，所以人們秉著對稱性的原則，覺得既然電能夠生磁，那麼磁也一定能夠生電。那麼，繼續秉著這種對稱性，既然法拉第定律說“變化的磁通量能夠產生電”，那麼，我們實在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產生磁呢？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

那麼，為什麼描述電生磁的安培環路定理裡卻只有電流產生磁，而沒有變化的電通量產生磁這一項呢？難道當時的科學家們沒意識到這種對稱性麼？當然不是，當時的科學家們也想從實驗裡去找到電通量變化產生磁場的證據，但是他們並沒有找到。沒有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實驗精度還發現不了它。

如果你是當時的科學家，面對這種情況你會作何選擇？如果你因為實驗沒有發現它就認為它不存在，這樣未免太過保守。但是，如果你僅僅因為電磁之間的這樣一種對稱性（而且還不是非常對稱，因為大自然裡到處充滿了獨立的電荷，卻沒有單獨的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會產生磁”這樣未免太過草率。這種時候就是真正考驗一個科學家能力和水平的時候了。

麥克斯韋選擇了後者，也就是說麥克斯韋認為“變化的電通量也能產生磁”，但是他並不是隨意做了一個二選一的選擇，而是在他的概念模型裡發現必須加入這樣一項。而且，只有加上了這樣一項，修正之後的安培環路定理才能跟高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會產生矛盾（這個矛盾我們在後面的微分篇裡再說）。麥克斯韋原來的模型太過複雜，我這裡就不說了，這裡我用一個很簡單的例子告訴大家為什麼必須要加入“變化的電通量也能產生磁”這一項。

在安培環路定理裡，我們可以隨意選一個曲面，然後所有穿過這個曲面的電流會在這個曲面的邊界上形成一個環繞磁場，問題的關鍵就在這個曲面的選取上。按理說，只要你的這個曲面邊界是一樣的，那麼曲面的其他部分就隨便你選，因為安培環路定理座標的磁場環流只是沿著曲面的邊界的線積分而已，所以它只跟曲面邊界有關。下面這個例子就會告訴你即便曲面邊界一樣，使用安培環路定理還是會做出相互矛盾的結果。

上圖是一個包含電容器的簡單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器，它可以容納一定量的電荷。一開始電容器是空的，當我們把開關閉合的時候，電荷在電池的驅動下開始移動，移動到了電容器這裡就走不動了（此路不通），然後電荷們就聚集在電容器裡。因為電容器可以容納一定量的電荷，所以，當電容器還沒有被佔滿的時候，電荷是可以在電路里移動的，電荷的移動就表現為電流。

所以，我們會發現當我們在給電容器充電的時候，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒有電流。所以，如果我們選擇上圖的曲面，那麼明顯是有電流穿過這個曲面，但是，如果我們選擇下面這個曲面呢（此處圖片來自《麥克斯韋方程直觀》，需要的可以後臺回覆“麥克斯韋方程組”）？

這個曲面的邊界跟上圖一樣，但是它的底卻託得很長，蓋住了半塊電容器。這是什麼意思呢？因為我們知道電容器在充電的時候，電容器裡面是沒有電流的，所以，當我們把曲面選擇成下面這個樣子的時候，根本就沒有電流穿過這個曲面。

也就是說，如果我選上面的曲面，有電流穿過曲面，按照安培環路定理，它是肯定會產生一個環繞磁場的。但是，如果我選擇下面的曲面，就沒有電流透過這個曲面，按照安培環路定理就不會產生環繞磁場。而安培環路定理只限定曲面的邊界，並不管你曲面的其它地方，於是我們就看到這兩個相同邊界的曲面會得到完全不同的結論，這就只能說明：安培環路定理錯了，或者至少它並不完善。

我們再來想一想，電容器在充電的時候電路中是有電流的，所以它周圍應該是會產生磁場的。但是，當我們選擇下面那個大口袋形的曲面的時候，並沒有電流穿過這個曲面。那麼，到底這個磁場是怎麼來的呢？

我們再來仔細分析一下電容器充電的過程：電池驅使著電荷不斷地向電容器聚集，電容器中間雖然沒有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來越多。電荷越來越多的話，在電容器兩個夾板之間的電場強度是不是也會越來越大？電場強度越來越大的話，有沒有嗅到什麼熟悉的味道？

沒錯，電場強度越來越大，那麼透過這個曲面的電通量也就越來越大。因此，我們可以看到雖然沒有電流透過這個曲面，但是透過這個曲面的電通量卻發生了改變。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項也新增到產生磁場的原因裡。因為這項工作是麥克斯韋完成的，所以添加了這一項之後的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律：

把它和安培環路定理對比一下，你就會發現它只是在在右邊加了變化的電通量這一項，其它的都原封未動。E·a是電通量，套個面積分符號就表示透過曲面S的電通量，再加個d/dt就表示透過曲面S電通量變化的快慢。因為在講法拉第定律的時候我們詳細講了透過曲面磁通量變化的快慢，這裡只是把磁場換成了電場，其他都沒變。

ε0是真空中的介電常數，把這個常數和電通量變化的快慢乘起來就會得到一個跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流，如下圖：

所以，我們經常能夠聽到別人說麥克斯韋提出了位移電流假說。其實，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產生磁場”這一項，因為當時並沒有實驗能證明這一點，所以只能暫時稱之為假說。在安培環路定理裡添加了這一項之後，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組裡預言電磁波的存在，這最後新增這項“變化的電通量產生磁場”至關重要。

因為你想想，預言電磁波的關鍵就是“變化的電場產生磁場，變化的磁場產生電場”，這樣變化的磁場和電場就能相互感生傳向遠方，從而形成電磁波。而變化的電場能產生磁場，這不就是麥克斯韋新增的這一項的核心內容麼？電場變了，磁通量變了，於是就產生了磁場。至於麥克斯韋方程組如何推匯出電磁波，我後面再專門寫文章解釋，這裡知道電磁波的產生跟位移電流的假說密切相關就行了。

15麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說穿過閉合曲面的電通量正比於這個曲面包含的電荷量。

高斯磁場定律說穿過閉合曲面的磁通量恆等於0。

法拉第定律說穿過曲面的磁通量的變化率等於感生電場的環流。

安培-麥克斯韋定律說穿過曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等於感生磁場的環流。

我們看到，在這裡從始至終都佔據著核心地位的概念就是通量。

如果一個曲面是閉合的，那麼透過它的通量就是曲面裡面某種東西的量度。因為自然界存在獨立的電荷，所以高斯電場定律的右邊就是電荷量的大小，因為我們還沒有發現磁單極子，所以高斯磁場定律右邊就是0。

如果一個曲面不是閉合的，那麼它就無法包住什麼，就不能成為某種荷的量度。但是，一個曲面如果不是閉合的，它就有邊界，於是我們就可以看到這個非閉合曲面的通量變化會在它的邊界感生出某種旋渦狀的場，這種場可以用環流來描述。因而，我們就看到了：如果這個非閉合曲面的磁通量改變了，就會在這個曲面的邊界感生出電場，這就是法拉第定律；如果這個非閉合曲面的電通量改變了，就會在這個曲面的邊界感生出磁場，這就是安培-麥克斯韋定律的內容。

所以，當我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個方程串起來的時候，你會發現麥克斯韋方程組還是很有頭緒的，並不是那麼雜亂無章。閉上眼睛，想象空間中到處飛來飛去的電場線、磁場線，它們有的從一個閉合曲面裡飛出來，有的穿過一個閉合曲面，有的穿過一個普通的曲面然後在曲面的邊界又產生了新的電場線或者磁場線。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官。

16結語

有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程，其實不然。如我們所見，麥克斯韋方程組雖然有四個方程，但是其中有三個半（高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律、安培環路定理）是在麥克斯韋之前就已經有了的，真正是麥克斯韋加進去的只有安培-麥克斯韋定律裡”電通量的變化產磁場”那一項。知道了這些，有些人可能就會覺得麥克斯韋好像沒那麼偉大了。

其實不然，在麥克斯韋之前，電磁學領域已經有非常多的實驗定律，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個，然後建立一個完善自洽的模型解釋一切電磁學現象？這原本就是極為困難的事情。更不用說麥克斯韋在沒有任何實驗證據的情況下，憑藉自己天才的數學能力和物理直覺直接修改了安培環路定理，修正了幾個定律之間的矛盾，然後還從中發現了電磁波。所以，絲毫沒有必要因為麥克斯韋沒有發現方程組的全部方程而覺得他不夠偉大。

最後，如題所示，我這篇文章講的只是麥克斯韋方程組的積分篇，方程都是用積分是形式寫的。因為積分篇主要是從通量，從宏觀的角度來描述電磁學，所以相對比較容易理解。有積分篇那就意味著還有麥克斯韋方程組的微分篇，微分篇的內容我下一篇文章再講。我這篇文章主要參考了《電動力學導論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對麥克斯韋方程組做進一步瞭解的可以看看這兩本書，需要電子檔的可以在後臺回覆“麥克斯韋方程組”。

最美的方程，願你能懂她的美~

以下是微分篇內容：

一個很簡單的想法就是：我讓宏觀上的東西縮小縮小，直到縮小成一個點，這樣不就進入微觀了麼？積分形式的麥克斯韋方程組需要選定一個曲面，但是它並沒有限定這個曲面的大小，我可以把這個曲面選得很大，也可以選得很小。當你把這個曲面選得很小很小的時候，麥克斯韋方程組的積分形式就自然變成了微分形式。所以，微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方是在於如何尋找一種方便的計算方式，這些我後面會細說。

因為微分形式和積分形式的這種承接關係，我建議大家儘量先看看積分篇的內容。在積分篇裡，我是從零開始講電磁學，講麥克斯韋方程組，所以閱讀起來不會有什麼門檻。但是到了微分篇，上篇文章已經詳細說了一些東西（諸如電場、通量、環流等概念）這裡就不會再細說了。長尾君不會從天而降地丟擲一個東西，如果在這篇文章裡遇到了什麼難以理解的東西，可以看看是不是在積分篇裡已經說過了~ 好，

下面進入正題。在積分篇裡我跟大家講過，麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電（高斯電場定律）、靜磁（高斯磁場定律）、磁生電（法拉第定律）、電生磁（安培-麥克斯韋定律）。這四個方程各有積分和微分兩種形式，積分形式我們上篇已經說過了，微分形式我們還是按照順序，也從靜電開始。

01微分形式的靜電

在積分篇裡，我們是這樣描述靜電的：我在空間裡任意畫一個閉合曲面，那麼透過閉合曲面的電場線的數量（電通量）就跟這個曲面包含的電荷量成正比。用公式表述就是這樣：這就是積分形式的高斯電場定律：左邊表示透過閉合曲面S的電通量（E是電場強度，我們把面積為S的閉合曲面分割成許多小塊，每一個小塊用da表示，那麼透過每一個小塊面積的電通量就可以寫成E·da。套上一個積分符號就表示把所有小塊的電通量累加起來，這樣就得到了透過整個閉合曲面S的電通量），右邊那個帶了enc下標的Q就表示閉合曲面包含的電荷量，ε0是個常數。這些內容我在積分篇裡都詳細說過了，這裡不再多言。

下面是重點：因為這個閉合曲面S是可以任何選取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各種亂七八糟的閉合曲面。那麼我們就不妨來學習一下孫悟空，變小變小再變小，我讓這個閉合曲面也一直縮小縮小，縮小到無窮小，那麼這時候高斯電場定律會變成什麼樣呢？

這裡會涉及一丟丟極限的概念，我們這樣考慮：一個閉合曲面縮小到無窮小，其實就是它的表面積或者體積無限趨向於0。也就是說，我假設有一個球的體積為ΔV，然後讓這個ΔV無限趨近於0，那這樣就可以表示這個球縮小到無窮小了。用數學符號可以記成這樣：

Lim就是英文單詞極限（limit）的縮寫，ΔV透過一個箭頭指向0可以很形象的表示它無限趨近於0。有了這個極限的概念，我們就可以很自然的表示透過這個無窮小曲面的電通量了（直接在電通量的前面加個極限符號），這時候高斯電場定律就成了這樣：這樣，我們就把高斯電場定律從宏觀拉到了微觀：方程的左邊表示曲面縮小到無窮小時的電通量，方程的右邊表示無窮小曲麵包含的電荷量。但是，當曲面縮小到無窮小的時候，我們再使用電荷量Q就不合適了，所以我們改用電荷密度（符號為ρ）。電荷密度，從名字裡我們就能猜出它表示的是單位體積內包含電荷量的大小，所以它的表示式應該是用電荷量除以體積，即：ρ=Q/V。

所以，如果我們把微觀的高斯電場定律左右兩邊都同時除以體積ΔV，那麼右邊的電荷量Q除以體積Δ就變成了電荷密度ρ，左邊我們也再除以一個ΔV，那麼公式就變成了下面這樣：公式的右邊除以一個體積ΔV，就成了電荷密度ρ除以真空介電常數ε0，那左邊呢？左邊原來是透過無窮小曲面的電通量，這玩意除以一個體積ΔV之後表示什麼呢？這一長串的東西，我們給它取了個新名字：散度。

也就是說，電場E在一個點（被無窮小曲面圍著的這個點）上的散度被定義為電場透過這個無窮小曲面的電通量除以體積。散度的英文單詞是divergence，所以我們通常就用div(E)表示電場E的散度，即：所以，高斯電場定律的微分形式就可以表示成這樣：它告訴我們：電場在某點的散度跟該點的電荷密度成正比。

然後呢？然後微分篇的第一個方程就這樣說完了？這只不過把高斯電場定律積分形式的曲面縮小到了無窮小，然後兩邊同時除了一個體積，右邊湊出了一個電荷密度，左邊巴拉巴拉湊出一大堆東西你告訴我這個新東西叫散度就完事了？不帶這麼玩的！那這個散度到底有什麼物理意義？我要如何去計算具體的散度（你用無窮小通量去定義散度倒是好定義，但是這樣計算可就麻煩了）？還有，很多人多多少少知道一些麥克斯韋方程組的樣子，雖然不是很懂，那個倒三角符號▽倒還是記得的，你這公式裡為什麼沒有▽符號呢？

02初入江湖的▽

沒錯，我們用無窮小曲面的通量和體積的比值來定義散度，這樣定義是為了突出它跟通量之間的聯絡，也方便大家從積分的思維自然的轉化到微分的思維中來。但是，這種定義在具體計算的時候是沒什麼用的，我們不會透過去計算無窮小曲面的通量和體積的比值來計算一個點的散度，因為這樣實在是太麻煩了。我們有種更簡單的方式來計算電場在某個點的散度，而這種方法，就會使用到我們熟悉的倒三角▽符號。

在這種新的表示方法裡，電場E的散度可以被寫成這樣：▽·E，所以我們就可以用這個東西替換掉方程左邊div(E)，那麼麥克斯韋方程組的第一個方程——描述靜電的高斯電場定律的微分形式就可以寫成這樣：這樣寫的話，是不是就感覺熟悉多了？也就是說，同樣是為了表示散度，我們用▽·E代替了代替了原來無窮小曲面通量和體積比值那麼一大串的東西。而且這樣還非常好計算，使用這種新的方式，你只要給出一個電場，我分分鐘就可以把電場的散度寫出來。這種倒三角▽符號，絕對是符號簡化史上的奇蹟。

所以，我接下來的工作，或者說理解麥克斯韋方程組的微分形式的核心內容，就是要來告訴大家這個倒三角▽符號到底是什麼意思，▽·（後面加了一個點）又是什麼意思？為什麼▽·E可以表示電場E的散度就？為什麼▽·E跟我們前面散度的定義div（E）是等價的？也就是說：為什麼上面的式子是相等的，而且都可以用來表示電場E的散度？

這就是我在開篇說的：微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方在於如何尋找一種方便計算的方式，這種方便的計算方式自然就是▽。那麼我們接下來就先把電磁相關的物理內容擱置一旁，先一起來看一看這個傳奇符號▽的前世今生，理解了它，你就理解了麥克斯韋方程組的微分形式的精髓。

03從導數說起

要理解▽，我們還是得先再來看一看這個衡量事物變化快慢的概念：導數。說“再”是因為我們在積分篇裡已經講過了：法拉第發現了電磁感應，發現變化的磁場能產生電場，而且磁場變化得越快，產生的電場越大。這裡我們就需要這樣一個量來描述磁場變化的快慢，只不過當時我們沒有展開說。

我還是借用上篇身高的例子來看看我們是如何描述變化的快慢的。一個人在十二三歲的時候一年可以長10釐米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就只能長1釐米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（這裡就是身高，假設身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更小），看看這個量的變化Δy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。

在這裡，我稍微解釋一下Δy和dy的區別：如下圖所示，我們假設函式在x軸上有一個增量Δx，這個用Δx或者dx表示都一樣，兩者相等。但是，這個在x軸上的變化帶來的y軸上的變化就不一樣了：Δy表示的是y軸實際的變化量，是我用前後兩個不同的x對應的y值直接相減得到的真實結果；而dy則不是，dy是我們在M點做了一條切線，然後我用這條直線來代替曲線，當x軸上變化了Δx的時候這條直線上對應y上的變化。

從這個圖裡我們可以看到：Δy的值是要比dy大一點點的，但是隨著Δx或者dx的減小，它們的之間的差值會急速減小，比Δx減小的快得多，這個差值也是我們常說的高階無窮小。Δy叫做函式從一點到另一點的增量，而dy則被叫做函式的微分，或者叫它的線性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是現代微積分的一個核心思想，從這個圖裡可見一斑。

在微積分剛創立的時候，萊布尼茨把dx看作一個接近0但又不等於0的無窮小量，這種“樸素”的思維很符合直覺，而且用這種思想來計算也沒什麼錯，但是它的基礎是非常不牢固的。正是這種幽靈般的無窮小量dx（時而可以看作是0，時而可以當除數約分）導致了第二次數學危機，數學家們經過一個多世紀的搶救才給微積分找到了一個堅實的地基：極限理論。

這段內容不是太理解沒關係，只要知道我們可以用dy/dx表示函式在M點的導數（在這裡就是切線的斜率），可以用它來表示影象在這裡變化的快慢就行了。 再回到人的身高隨年齡變化的這個例子裡來。人在各個年齡t都會對應一個身高y，這每個（t,y）就對應了圖上的一個點，把這些點全都連起來大致就能得到這樣一個圖：在導數dy/dt大的地方，圖形裡的斜率很大，通俗的說就是曲線很陡峭；而導數很小的地方，對應的曲線就很平緩。

在這個例子裡，身高y是隨著年齡t變化而變化，也就是說給定任何一個t的值，都有一個y的值跟它對應，我們就可以說身高y是一個關於年齡t的函式（function），記做y=f(t)。這個f自然就是函式的英文單詞function的縮寫，函式就是這樣一種對應（對映）關係。在這裡，身高y的值只跟年齡t一個變數相關，我們就說這是一個一元函式。但是，如果我們的問題稍微複雜一些，我的某個量不止跟一個量有關，而是跟多個量有關呢？

04多個變數的偏導數

比如山的高度，一座山在不同點的高度是不一樣的，而在地面上確定一個點的位置需要經度和緯度兩個資訊。或者，你可以自己在地面上建立一個座標系，然後地面上每一個點都可以用（x,y）來表示。因為每一個位置（x,y）都對應了那個地方山的高度z，那麼z就成了一個關於x和y的函式，記做z=f(x,y)。因為山的高度z需要兩個變數x和y才能確定，所以我們說z=f(x,y)是一個二元函式。

再例如，我房間的每一個點都有一個溫度，所以房間的溫度T是一個關於房間內空間點的函式，而房間裡每一個點的位置需要長寬高三個變數（x,y,z）才能確定。所以，我房間裡的溫度T是一個關於x,y,z的三元函式，記做T=f(x,y,z)。

我們再來回過頭來看看導數，在一元函式y=f(t)裡，我們用dy/dt來表示這個函式的導數，導數越大的地方曲線變化得越快。因為一元函式的影象是一條曲線，曲線上的一個點只有一個方向（要麼往前，要麼往後，反正都是沿著x軸方向），所以我們可以直接用dy/dt表示函式變化得有多快。但是，如果這個函式不是一元函式，而是二元、三元等多元函式呢？比如山的高度z是關於位置x,y的二元函式z=f(x,y)，這時候地面上的每一個點（x,y）都對應一個值，它的函式影象就是一個曲面（如山的表面），而不再是一條曲線。而曲面上的每一個點有無數個方向（前後左右360°都可以），x和y只是這無數方向中的兩個，那我們要如何把握這無數個方向上的高度變化快慢呢？

當然，我們不可能把這無數個方向都一一找出來，也沒這個必要。一個平面上有無數個點，但是我只用x和y這兩個方向組成的（x,y）就可以表示所有的點。同樣的，雖然在函式曲面上的一點有無數個方向，不同方向函式變化的快慢都不一樣的，但是我們只要把握了其中的兩個，就能把握很多資訊。

那麼我們要如何表示函式z沿著x軸方向變化的快慢呢？直接用dz/dx麼？好像不太對，因為我們的z是一個關於x和y的二元函式，它的變數有兩個，你這樣直接dz/dx合適麼？合法麼？但是，如果我在考慮x軸方向的時候，把y看作一個常數，也就是把y軸固定住，這樣函式z就只跟x相關了，於是我們就把一個二元函式（曲面）變成了一個一元函式（曲線）。如上圖所示，當我們固定y=1的時候，這個曲面就被這個y=1的平面切成了兩半，而平面與曲面相交的地方就出現了一條曲線。這條曲線其實就是當我固定y=1的時候，函式z的影象，只不過這時候z只跟x一個變數有關，所以它變成了一個一元函式。於是，我們就可以仿照一元函式的方法定義導數了，也就是說：我們在z=f(x,y)上無法直接定義導數，但是如果我們把y固定起來了，這時候二元函式的曲面就變成了一元函式的曲線，那麼我們就在曲線上定義導數了。這種把y的值固定在某個地方，然後計算函式在x軸方向上的導數，叫作關於x的偏導數，記做∂z/∂x。同樣，如果我們把x的值固定，計算函式在y軸方向上的導數，那自然就是關於y的偏導數，記做∂z/∂y。

05全微分

有了偏導數的概念，我們就有辦法寫出dz和dx、dy之間的關係了。在一元函數里，導數是dy、dt，我們自然就可以寫出dy和dt之間的關係：那麼，到了二元函式z=f(x,y)的時候呢？我們想象有個人在山的一點要往另一點爬，我們讓他先沿著x軸的方向爬（也就是固定住y的值），假設他沿x軸移動了dx。根據上面偏導數的定義，如果我們把y 的值固定了，那麼他在x軸方向上的導數是可以用偏導數∂z/∂x來表示，那麼在他沿著x軸移動的時候，他上升的高度就可以寫成（∂z/∂x）·dx。同樣，接下來他沿著y軸方向走的時候，他上升的高度就可以寫成（∂z/∂y）·dy。我們把這兩個部分上升的高度加起來，不就得到了最終爬山的高度變化dz的了麼？也就是說：這個公式我們可以把它做作全微分定理，它其實是對上面一元函式導數關係的一個自然推廣。它告訴我們，雖然在曲面的一個點上有無數個方向，但是隻要我們掌握了其中x和y兩個方向上的偏導數，我們就能把握它的函式變化dz。還原到爬山的這個例子上來，這個公式是在告訴我們：如果我知道你沿著x軸和y軸分別走了多少，然後我知道你這座山在x軸和y軸方向的傾斜度（即偏導數）是多少，那我就知道你爬山的純高度變化有多少（又是幾近大廢話~）。

我們費了這麼多勁就為了推出這個公式，那麼這個公式裡肯定隱藏了什麼重要的東西。不過，現在這種形式還不容易看清楚，我們還得稍微瞭解一點向量分析的內容，把公式拆成向量點乘的形式，那就明顯了。

06再談向量點乘

關於向量點乘的事情，我在積分篇的第六節就已經說過一次了，因為電場的通量Φ就是電場E和面積a的點乘：Φ=E·a。因為向量是既有大小又有方向的量，而我們小時候學習的乘法它只管大小不管方向，所以兩個向量之間就得重新定義一套乘法規則，而最常見的就是點乘（符號為‘·’）。

兩個向量OA、OB的點乘被定義為：OA·OB=|OA||OB|Cosθ（向量的表示原本是在它頭頂上加一個箭頭，但是這裡不方便這樣表示，那就用黑體表示了）。它表示一個向量OA在另一個向量OB上的投影OC（OC=|OA| Cosθ）和另一個向量的大小的乘積，可見兩個向量點乘之後的結果是一個標量（只有大小沒有方向）。這些內容我在上一篇都已經說了，這篇文章我們再來看看向量點乘的幾個性質。

性質1：點乘滿足交換律，也就是說OA·OB=OB·OA。這個很明顯，因為根據定義，前者的結果是|OA||OB| Cosθ，後者的結果是|OB||OA| Cosθ，它們明顯是相等的。

性質2：點乘滿足分配律，也就是說OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。這個稍微複雜一點，我這裡就不作證明了，當做習題留給大家~

性質3：如果兩個向量相互垂直，那麼它們點乘的結果為0。這個也好理解，如果兩個向量垂直，那麼一個向量在另一個向量上的投影不就是一個點了麼？一個點的大小肯定就是0啊，0乘以任何數都是0。如果大家學習了三角函式，從Cos90°=0一樣一眼看出來。

性質4：如果兩個向量方向一樣，那麼它們點乘的結果就是他們大小相乘。理解了性質3，理解4就非常容易了，從cos0°=1也能一眼便知。

此外要注意的是，點乘是不滿足結合律的，也就是說沒有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC），為什麼？因為兩個向量點乘之後的結果是一個標量，你再讓一個標量去點乘另一個向量壓根就沒有意義，點乘是兩個向量之間的運算。

我們小學就開始學的加法、乘法滿足交換律、結合律、分配律，而向量的點乘除了不能用結合律以外，其它的都滿足。我這樣寫是為了告訴大家：點乘雖然是一種新定義的運算，但是它和我們平常接觸的加法、乘法還是很類似的，大家不用對這種陌生的運算產生未知的恐懼。

07座標系下的點乘

一個向量有大小又有方向，我們通常是用一個箭頭來表示的，箭頭的方向就代表了向量的方向，而箭頭的長短就代表了向量的大小。如果我們這時候建立一個座標系，把這個箭頭的一端移動到座標原點，那麼箭頭的另一端就會固定在座標系的某個點上，這樣的話，我們就可以用一個座標點來表示一個矢量了。如上圖，A點的座標是（4,3），那麼這個向量OA就可以記為（4,3）。然後，我們把向量OA沿著x軸y軸做一個分解：於是，我們的向量OA就可以表示成：OA=OB+OC（向量的加法就是把兩個向量首尾相連，所以OB+BA=OA，而BA=OC，所以有上面的結論）。這時候，如果我們在x軸上定義一個單位向量x（1,0），那麼OB的長度是x長度的四倍，而他們的方向又一樣，所以向量OB=4x。同樣，在y軸上定義一個單位向量y(0,1)，那麼OC=3y。那麼，我們的OA就可以重新寫成：OA=OB+OC=4x+3y。

這樣的話，我任意一個向量（x1,y1）都可以寫成x1x+y1y。於是我就成功的把那個括號給丟了，把座標表示的向量變成了我們熟悉的加法運算。這裡我們要特別區分：x1,y1是座標，是數，是標量，而黑體的x,y代表的是單位向量。那麼向量的點乘就可以寫成這樣：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）。因為點乘是滿足分配律（見性質2）的，所以我們可以把上面的結果直接完全展開成：x1x2xx+x1y2xy+y1x2yx+y1y2yy。

然後下面是重點：因為向量x和y是分別沿著x軸和y軸的，所以它們是相互垂直的，而根據性質3，兩個向量如果相互垂直，它們的點乘結果就是0。也就是說，xy=yx=0，那麼我們展開式的中間兩項x1y2xy+y1x2yx就直接等於0。而根據性質4，xx= yy=1（因為x和y都是長度為1的單位向量，自己跟自己點乘方向肯定一樣）。

於是，我們就可以發現兩個向量點乘之後的結果只剩下第一項和第四項的係數部分了，也就是說：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）= x1x2 +y1y2。

08梯度的誕生

搞懂了這些事情的來龍去脈之後，我們就來重點看看我們引出來的▽z，也就是z的梯度。

09梯度的性質

這個梯度我們要怎麼去看呢？首先▽z是一個向量，是向量就既有大小又有方向，我們先來看看梯度的方向。 上面我們已經得到了dz=▽z·dl，把dz表示成了兩個向量的點乘，那我們再根據向量點乘的定義把它們展開，就可以寫成這樣：這個dz則表示山的高度的一個微小變化，那麼，沿著哪個方向走這個變化是最快的呢？也就是說我選擇哪個方向會使得dz的變化最大？

Cosθ表示的是直角三角形裡鄰邊和斜邊的比值，而斜邊總是比兩個直角邊大的，所以它的最大值只能取1（極限情況，θ=0°的時候），最小為0（θ=90°）。而根據上面的dz=|▽z||dl|cosθ，顯然你要讓dz取得最大值，就必須讓cosθ取最大值1，也就是必須讓▽z和dl這兩個向量的夾角θ=0°。

兩個向量的夾角等於0是什麼意思？那就是這兩個向量的方向一樣啊。也就是說：如果我們移動的方向（dl的方向）跟梯度▽z的方向一致的時候，dz的變化最大，我們高度變化最大。這就告訴我們：梯度▽z的方向就是高度變化最快的方向，就是山坡最陡的方向。

假設你站在一個山坡上四處遙望，那個最陡的地方就是梯度的方向，如果你去測量這個方向的斜率，那這就是梯度的大小。所以，梯度這個名字還是非常形象的。

10▽運算元

我們再仔細看一下梯度▽z的表示:這是一個向量，但是它看起來好像是▽和一個標量z“相乘”，我們把這個z提到括號的外面來，這時候這個梯度▽z就可以寫成這樣：所以，如果把▽單獨拎出來，就得到了這樣一個東西：這個東西就值得我們玩味了，這是啥？▽z表示的是二元函式z=f(x,y)的梯度，也就是說我們先有一個函式z，然後我們把這個▽往函式z前面一放，我們就得到z的梯度。從函式z得到z的梯度的具體過程就是對這個函式z分別求x的偏導和y的偏導。

也就是說，單獨的▽是這麼個東西：我▽自己本身並不是什麼具體的東西，我需要你給我一個函式，然後我對你這個函式進行一頓操作（求x和y的偏導），最後返回一個這個函式的梯度給你。這就像是有一個特定功能的模具：你給我一堆麵粉，我一頓處理之後返回你一個餅。但是顯然的，它並不是麵粉，也不是餅，它單獨的存在沒有什麼意義，它一定要跟麵粉結合才能產生有具體意義的東西。

這種東西叫運算元，▽就叫▽運算元。基於▽運算元的巨大影響力，它又有一大堆其他的名字：從它的具體功能上來看，它被稱為向量微分運算元；因為它是哈密頓引入進來的，所以它又被稱為哈密頓運算元；從讀音上來說，它又被稱為nabla運算元或者del運算元。這些大家瞭解一下，知道其他人在談論這個的時候都是在指▽運算元就行了。

11梯度、散度和旋度

▽運算元不是一個向量，除非你把它作用在一個函式上，否則它沒啥意義。但是，它在各個方面的表現確實又像一個向量，只要你把▽運算元的“作用”看成向量的“相乘”。

一個向量一般來說有3種“乘法”：

1、向量A和一個標量a相乘：aA。比如我把一個向量A大小變為原來的2倍，方向不變，那麼這時候就可以寫成2A。

2、向量A和一個向量B進行點乘：A·B。這個點乘我們上面介紹很多了，A·B=|A||B|Cosθ，這裡就不說了。

3、向量A和一個向量B進行叉乘：A×B。這個叉乘跟點乘類似，也是我們單獨針對向量定義的另外一種乘法，|A×B|=|A||B|Sinθ。大家可以看到，這個叉乘跟點乘唯一的區別就是：點乘是兩個向量的大小乘以它們的餘弦值Cosθ，叉乘是兩個向量的大小乘以它們的正弦值Sinθ（在直角三角形裡，角的對邊和斜邊的比為正弦Sinθ，鄰邊和斜邊的比值為餘弦Cosθ）。

那麼，同樣的，我們的▽運算元也有3種作用方式：

1、▽運算元作用在一個標量函式z上：▽z。這個▽z我們上面說過了，它表示函式z的梯度，它表示這個函式z變化最快的方向。

2、▽運算元跟一個向量函式E點乘：▽·E。這就表示E的散度，我們開篇講的高斯電場定律的左邊就是電場E的散度，它就是表示成▽·E這樣。

3、▽運算元跟一個向量函式E叉乘：▽×E。它叫E的旋度，這個我們後面會再詳細說。 這樣，我們就以一種很自然的方式引出了這三個非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。大家可以看到，▽運算元的這三種作用跟向量的三種乘法是非常相似的，只不過▽是一個運算元，它必須作用在一個函式上才行，所以我們把上面的標量和向量換成了標量函式和向量函式。

我們在描述山的高度的函式z=f(x,y)的時候，不同的點（x,y）對應不同的山的高度，而山的高度只有大小沒有方向，所以這是個標量函式，我們可以求它的梯度▽z。但是，電場E既有大小又有方向，這是一個向量，所以我們可以用一個向量函式E=f(x,y)表示空間中不同點（x,y）的電場E的分佈情況。那麼對這種向量函式，我們就不能去求它的梯度了，我們只能去求它的散度▽·E和旋度▽×E。

為了讓大家對這些能夠有更直觀的概念，我們接下來就來仔細看看電場的散度▽·E。

12電場的散度

當我們把電場的散度寫成▽·E這樣的時候，我們會覺得：啊，好簡潔！但是我們也知道▽運算元的定義是這樣的：那麼▽·E就應該寫成這樣：而我們知道電場E其實是一個向量函式（不同點對應的電場的情況），那我們還是可以把E分解成x,y兩個分量的和，這兩個分量後面跟一個x和y方向的單位向量就行了。那麼，上面的式子就可以寫成這樣：然後，因為向量點乘是滿足分配律的，所以我們可以把他們按照普通乘法一樣展開成四項。而x和y是垂直的單位向量，所以x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然後我們最後剩下的就只有這兩項了（這一塊的推導邏輯跟“座標系下的向量點乘”那一節一樣，覺得有點陌生的可以再返回去看看那一部分）：這就是電場E的散度的最終表示式，它的意思很明顯：我們求電場E的散度就是把向量函式E分解成x和y方向上的兩個函式，然後分別對它們求偏導，最後再把結果加起來就行了。 為了讓大家對這個有個更直觀的概念，我們來看兩個小例子：

例1：求函式y=2x+1的導數。

這個函式的影象是一條直線（不信的可以自己去找一些x的值，代入進去算算y的值，然後把這些點畫在圖上），它的斜率是2，也就是說導數是2。也就是說，對於一次函式（最多隻有x，沒有x的平方、立方……），它的導數就是x前面的係數（2x前面的2），而後面的常數（1）對導數沒有任何影響。

例2：求電場E=2x+yy的散度。我們先來看看這個電場E，它在x方向上（2x）的係數是2，也就是說它的電場強度是不變的，一直都是2。但是，在y方向上（yy）的係數是y，也就是說當我沿著y軸越走越遠的時候，這個係數y也會越來越多，這就表示y方向上的電場強度會越來越大。

所以E=2x+yy描述的是這樣一個在x軸方向上不變，在y軸方向上不斷變大的電場。要求這個電場的散度，根據上面的式子，我們得先求出電場的偏導數，那偏導數要怎麼求呢？還記得我們是怎麼得到偏導數這個概念的麼？我們是固定y的值，也就是假設y的值不變，把y看作一個常數，這時候求得了對x的偏導數；同樣，把x當做一個常數，求函式對y的偏導數。

那麼，當我們求函式對x的偏導數∂E/∂x時，我們可以把y當作常數（就像例1中後面的1一樣）。如果y是常數，x方向前面的係數又是2，也是常數，所以這整個就變成了一個常數（常數的導數為0），所以∂E/∂x=0。同樣，當我們求y的偏導的時候，就把x都看成常數（導數為0），而y方向前面的係數為y（導數為1），所以∂E/∂y=0+1=1。

那麼電場E的散度▽·E就可以表示成這兩個偏導數的和：▽·E=∂E/∂x+∂E/∂y=0+1=1，也就是說，電場E的散度為1。

這雖然是一個非常簡單的求電場散度的例子，但是卻包含了我們求偏導，求散度的基本思想。透過這種方式，我們可以很輕鬆的就把電場E的散度▽·E求出來了。

補了這麼多的數學和推導，我們現在有了一個定義良好，計算方便的散度▽·表示式了，但是，你還記得我們在開始講到的散度的定義麼？

我們最開始是怎樣引入散度的呢？ 我們是從麥克斯韋方程組的積分形式引入散度的。高斯電場定律說透過一個閉合曲面的電通量跟這個閉合曲面包含的電荷量成正比，而且這個曲面可以是任意形狀。然後我們為了從宏觀進入微觀，就讓這個曲面不停地縮小縮小，當它縮小到無窮小，縮小到只包含了一個點的時候，這時候我們就說透過這個無窮小曲面的通量和體積的比就叫散度（用div表示）。

也就是說，我們最開始從無窮小曲面的通量定義來的散度和我們上面透過偏導數定義來的散度▽·指的是同一個東西。即：

13為何這兩種散度是等價的？

很多人可能覺得難以理解，這兩個東西的表達形式和來源都完全不一樣，它們怎麼會是同一個東西呢？但是它們確實是同一個東西，那我們為什麼要弄兩套東西出來呢？在最開始我也說了，透過無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解，跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯絡，但是這種定義不好計算（上面的例2，你用這種方式去求它的散度試試？），所以我們需要找一種能方便計算、實際可用的方式，這樣才出現了▽·形式的散度。

至於為什麼這兩種形式是等價的，我給大家提供一個簡單的思路。因為這畢竟是面向大眾的科普性質的文章，具體的證明過程我就不細說了。真正感興趣的朋友可以順著這個思路去完成自己的證明，或者來我的社群（回覆“社群”即可）裡討論。

證明思路：我們假設有一個邊長分別為Δx、Δy、Δz的小長方體，空間中的電場為E(x,y,z)，然後假設在這個長方體的正中心有一個點（x,y,z）,那麼這個電場透過這個長方體前面（沿著x軸正方向）的電場就可以表示為：Ex（x+Δx/2,y,z）。Ex表示電場在x方向上的分量（因為我們是考慮長方體上表面的通量，所以只用考慮電場的x分量），因為中心座標為（x,y,z），那麼沿著x軸移動到表面的座標自然就是（x+Δx/2,y,z）。而這個面的面積為ΔyΔz，那麼透過前面的電通量就可以寫成：Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz。

同樣的，透過長方體後面（沿著x軸的負方向）的電通量，就可以寫成Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz。因為這兩個面的方向是相反的（前面後面，一個沿著x軸正方向，一個沿著負方向），所以，這兩個沿著x軸方向的面的電通量之和Φx就應該是兩者相減：Φx=（Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz- Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz）。

如果我們兩邊都除以Δv（其中，Δv=ΔxΔyΔz），那麼就得到：Φx/Δv=（Ex（x+Δx/2,y,z）- Ex（x-Δx/2,y,z））/Δx，然後你會發現等式的右邊剛好就是偏導數的定義（標準的極限定義）。也就是說，電場透過沿著x軸的兩個面（前後兩面）的通量之和就等於電場的x分量對x的偏導數：Φx/Δv=∂Ex/∂x。

同樣的，我們發現電場沿著y軸的兩面（左右兩面）和z軸的兩面（上下兩面）的電通量之和分別就等於電場的y分量和z分量對y和z的偏導：Φy/Δv=∂Ey/∂y，Φz/Δv=∂Ez/∂z。然後我們把這三個式子加起來，左邊就是電場透過六個面的通量除以體積，也就是透過這個長方體的通量除以體積，右邊就是我們▽·E的形式，這分別就是我們上面兩種散度的表示方式，證明完成。

這個證明一時半會沒看懂也沒關係，感興趣的可以後面慢慢去琢磨。我只是想透過這種方式讓大家明白透過某一方向的兩個面的通量跟這方向的偏導數之間是存在這種對應關係的，這樣我們就容易接受無窮小曲面的通量和▽·這兩種散度的定義方式了。

這兩種散度的定義方式各有所長，比如我們在判斷某一點的散度是否為零的時候，我用第一個定義，去看看包含這個點的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。如果這一點有電荷，那麼這個無窮小曲面的電通量肯定就不為零，它的散度也就不為零；如果這個無窮小曲面沒有包含電荷，那這一點的散度一定為0，這就是高斯電場定律的微分方程想要告訴我們的東西。但是，如果你要計算這一點的散度是多少，那還是乖乖的拿起▽·去計算吧。

14散度的幾何意義

此外，跟梯度一樣，散度這個名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“散開的程度”，這種說法很容易讓初學者誤解或者迷惑，比如一個正電荷產生的產生的如下的電場線，它看起來是散開的，所以很多就會認為這裡所有的點的散度都是不為零的，都是正的。但是，根據我們上面分析，散度反映的是無窮小曲面的通量，這直接跟這一點是否有電荷對應。那麼，這個圖的中心有一個正電荷，那麼這點的散度不為零沒毛病，但是其他地方呢？其他地方看起來也是散開的，但是其他地方並沒有電荷，沒有電荷的話，其他點電場的散度就應該為0（因為這個地方無窮小曲面的通量有進有出，它們剛好抵消了），而不是你看起來的好像是散開的，所以為正。

也就是說，對於一個點電荷產生的電場，只有電荷所在的點的散度不為0，其他地方的散度都為0。我們不能根據一個電場看起來是散開的就覺得這裡的散度都不為0，那麼，這個散開到底要怎麼理解呢？

你可以這麼操作：你把電場線都想象成水流，然後拿一個非常輕的圓形橡皮筋放到這裡，如果這個橡皮筋的面積變大，我們就說這個點的散度為正，反正為負。如果你把橡皮筋丟在電荷所在處，那麼這點所有方向都往外流，那麼橡皮筋肯定會被衝大（散度為正）；但是在其他地方，橡皮筋會被沖走，但是不會被衝大（散度為0），因為裡外的衝力抵消了。這樣的話，這種散開的模型跟我們無窮小曲面的通量模型就不再衝突了。

15方程一：高斯電場定律

說了這麼多，又是證明不同散度形式（無窮小曲面的通量和▽·）的等價性，又是說明不同散度理解方式的同一性（無窮小曲面的通量和散開的程度），都是為了讓大家從更多的維度全方位的理解散度的概念，儘量避開初學者學習散度會遇到的各種坑。理解了這個散度的概念之後，我們再來看麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的微分形式就非常容易理解了：方程的左邊▽·E表示電場在某一點的散度，方程右邊表示電荷密度ρ和真空介電常數的比值。為什麼右邊要用電荷密度ρ而不是電荷量Q呢？因為散度是無窮小曲面的通量跟體積的比值，所以我們的電量也要除以體積，電量Q和體積V的比值就是電荷密度ρ。對比一下它的積分形式：兩邊都除以一個體積V，然後曲面縮小到無窮小：左邊的通量就變成了電場的散度▽·E，右邊的電荷量Q就變成了電荷密度ρ，完美！

麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式是一一對應的，理解這種對應的關鍵就是理解散度（和後面的旋度）這兩種不同定義方式背後的一致性，它是溝通積分和微分形式的橋樑。理解了它們，我們就能在這兩種形式的切換之間如魚得水，我們就能一看到積分形式就能寫出對應的微分形式，反之亦然。

16方程二：高斯磁場定律

理解了高斯電場定律的微分形式，那麼高斯磁場定律的微分形式就能輕鬆寫出來了。因為現在還沒有找到磁單極子，磁感線都是閉合的曲線，所以閉合曲面的磁通量一定恆為0，這就是高斯磁場定律積分形式的思想：那麼，我們一樣把這個曲面縮小到無窮小，透過這個無窮小曲面的磁通量就叫磁場的散度，那麼方程的左邊就變成了磁場的散度，而右邊還是0。也就是說：磁場的散度處處為0。所以，麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的微分形式就是：

17旋度

靜電和靜磁的微分形式我們已經說完了，那麼接下來就是磁如何生電的法拉第定律了。關於法拉第是如何透過實驗一步一步發現法拉第定律的內容，我在積分篇裡已經詳細說了，這裡就不再多說。對法拉第定律的基本思想和積分形式的內容還不太熟悉的請先去看上一篇積分篇的內容。

法拉第定律是法拉第對電磁感應現象的一個總結，他發現只要一個曲面的磁通量（B·a）發生了改變，那麼就會在曲面的邊緣感生出一個旋渦狀的電場E出來。這個旋渦狀的感生電場我們是用電場的環流來描述的，也就是電場沿著曲面邊界進行的線積分。用具體的公式表示就是這樣：公式左邊是電場E的環流，用來描述這個被感生出來的電場，而公式的右邊是磁通量的變化率，用來表示磁通量變化的快慢。

這個法拉第定律是用積分形式寫的，我們現在要得到它的微分形式，怎麼辦？那當然還是跟我們上面的操作一樣：從積分到微分，我把它無限縮小就行了。那麼，這裡我們把這個非閉合曲面縮小縮小，一直縮小到無窮小，那麼我們這裡就出現了一個無窮小曲面的環流。

還記得我們怎麼定義散度的麼？散度就是透過無窮小閉合曲面的通量和閉合曲面體積的比值，而我們這裡出現了一個無窮小非閉合曲面的環流，因為非閉合曲面就沒有體積的說法，只有面積。那麼，透過無窮小非閉合曲面的環流和曲面面積的比值，會不會也有是一個另外什麼量的定義呢？

沒錯，這確實是一個全新的量，而且這個量我們在前面稍微提到了一點，它就是旋度。我們把▽運算元跟向量做類比的時候，說一個向量有三種乘法：跟標量相乘、點乘和叉乘。那麼同樣的，▽運算元也有三種作用：作用在標量函式上叫梯度（▽z）,以點乘的方式作用在向量函式上被稱為散度（▽·z），以叉乘的方式作用在向量函式上被稱為旋度（▽×z）。

也就是說，我們讓▽運算元以叉乘的方式作用在電場E上，我們就得到了電場E的旋度▽×E，而這個旋度的另一種定義就是我們上面說的無窮小非閉合曲面的環流和這個曲面的面積之比。因為旋度的英文單詞是curl，所以我們用curl（E）表示電場的旋度。所以，我們就可以寫下下面這樣的式子：跟散度的兩種定義方式一樣，我們這裡的旋度也有▽×和無窮小曲面的環流兩種表述方式。在散度那裡，我給大家證明了那兩種散度形式等價性，在旋度這裡我就不再證明了，感興趣的朋友可以按照類似的思路去嘗試證明一下。

18向量的叉乘

因為旋度是▽運算元以叉乘×的方式作用在向量場上，所以這裡我們來簡單的看一下叉乘。兩個向量A和B的點乘被定義為：A·B=|A||B|Cosθ，它們的叉乘則被定義為|A×B|=|A||B|Sinθ，其中θ為它們的夾角。單從這樣看，它們之間的差別好像很小，只不過一個是乘以餘弦Cosθ，另一個是乘以正弦Sinθ。

從它們的幾何意義來說，點乘表示的是投影，因為|OA|Cosθ剛好就是OA在OB上的投影，也就是OC的長度。如下圖：那麼叉乘呢？叉乘是|OA|Sinθ，這是AC的長度，那麼|A×B|=|A||B|Sinθ=|AC||OB|，這是啥？這是面積啊，如果我以OA和OB為邊長作一個平行四邊形，那麼AC就剛好是這個平行四邊形的高，也就是說，向量A和B的叉乘（|A×B|=|AC||OB|）就代表了平行四邊形OADB的面積。關於向量的叉乘就說這麼多，在前面講向量點乘的時候我還詳細介紹了點乘的性質和座標運算的方法，那是因為為了自然的引出▽運算元，不得不講那些。叉乘也有類似的性質和座標運算的法則，這個在網上隨便一搜或者找一本任意向量分析的書都能找到。而且，你現在不會熟練的進行叉乘運算，並不會影響你對麥克斯韋方程組的微分形式的理解，這裡瞭解一下它的定義和幾何意義就行了。

19方程三：法拉第定律

好，知道了向量的叉乘，知道了▽×E可以表示電場的旋度，而且知道旋度的定義是：無窮小非閉合曲面的環流和這個曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看法拉第定律的積分形式：公式的左邊是電場的環流，右邊是磁通量的變化率，它告訴我們變化的磁通量會在曲面邊界感生出電場。我在積分篇裡說過，磁通量（B·a）的變化可以有兩種方式：磁場（B）的變化和透過曲面面積（S）的變化，我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內。但是，還有的學者認為只有磁場（B）的變化產生的電場才算法拉第定律，所以法拉第定律還有另外一個版本：這個版本的把原來對整個磁通量（B·da）的求導變成了只對磁感應強度B的求偏導，這就把磁感線透過曲面面積變化的這種情況給過濾了。

在積分形式裡有這樣兩種區別，但是在微分形式裡就沒有這種區分了。為什麼？你想想我們是怎麼從積分變到微分的？我們是讓這個曲面不停的縮小縮小，一直縮小到無窮小，這個無窮小的曲面就只能包含一個沒有大小的點了，你還讓它的面積怎麼變？所以我們的微分形式就只用考慮磁感應強度B的變化就行了（對應後面那個法拉第定律）。

我們現在假設把那個曲面縮小到無窮小，方程的左邊除以一個面積ΔS，那就是電場的旋度▽×E的定義：左邊除了一個面積ΔS，那右邊也得除以一個面積，右邊本來是磁感應強度的變化率（∂B/∂t）和面積的乘積，現在除以一個面積，那麼剩下的就是磁感應強度的變化率∂B/∂t了。那麼，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的微分形式自然就是這樣：簡潔吧？清爽吧？這樣表示之後，法拉第定律的微分形式看起來就比積分形式舒服多了，而且它還只有這一種形式。直接從方程上來看，它告訴我們某一點電場的旋度等於磁感應強度的變化率。簡單歸簡單，要理解這種公式，核心還是要理解左邊，也就是電場的旋度▽×E。

20旋度的幾何意義

我們知道旋度的定義是無窮小曲面的環流和麵積的比值，但是它既然取了旋度這個名字，那麼它跟旋轉應該還是有點關係的。我們變化的磁場感生出來的電場也是一個旋渦狀的電場。那麼，是不是隻要看起來像漩渦狀的向量場，它就一定有旋度呢？

這個問題我們在討論散度的時候也遇到過，很多初學者認為只要看起來發散的東西就是有散度的，然後我們透過分析知道這是不對的。一個點電荷產生靜電場，只要在電荷處散度不為零的，在其他地方，雖然看起來是散開的，其實它的散度是零。如果我們放一個非常輕的橡皮筋在上面，除了電荷所在處，其它地方這個橡皮筋是不會被撐開的（即便會被沖走），所以其他地方的散度都為零。

同樣的，在旋度這裡，一個變換的磁場會產生一個旋渦狀的電場，在旋渦的中心，在磁場變化的這個中心點這裡，它的旋度肯定是不為零的。但是，在其它地方呢？從公式上看，其它地方的旋度一定為零，為什麼？因為其他地方並沒有變化的磁場啊，所以按照法拉第定律的微分形式，沒有變化的磁場的地方的電場的旋度肯定是0。

跟散度一樣，我們不能僅憑一個感生電場是不是旋轉狀的來判斷這點旋度是否為0，我們也需要藉助一個小道具：小風車。我們把一個小風車放在某一點上，如果這個風車能轉起來，就說明這點的旋度不為0。你只要把風車放在感生電場中心以外的地方，就會發現如果外層的電場線讓小風車順時針轉，內層的電場線就會讓小風車逆時針轉，這兩股力剛好抵消了。最終風車不會轉，所以旋度為0。

如果大家能理解靜電場除了中心點以外的地方散度處處為零，那麼理解感生電場除了中心點以外的地方旋度處處為零就不是什麼難事。在非中心點的地方，散度的流入流出兩股力量抵消了，旋度順時針逆時針的兩股力量抵消了，為什麼剛好他們能抵消呢？本質原因還是因為這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守平方反比定律，那麼你去計算裡外的散度和旋度，它們就不再為零。

關於旋度的事情就先說這麼多，大家如果理解了旋度，對比法拉第定律的積分方程，要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了向量的點乘和散度，作為類比，理解向量的叉乘和旋度也不是什麼難事，它們確實太相似了。

21方程四：安培-麥克斯韋定律

講完了磁生電的法拉第定律，我們麥克斯韋方程組就只剩最後一個電生磁的安培-麥克斯韋定律了。它描述的是電流和變化的電場如何產生旋渦狀的感生磁場的，因為它電的來源有電流和變化的電場兩項，所以它的形式也是最複雜的。方程的積分形式如下（具體過程見積分篇）：左邊的磁場的環流，右邊是曲面包圍的電流（帶enc下標的I）和電場的變化率。它告訴我們，如果我們畫一個曲面，透過這個曲面的電流和這個曲面裡電通量的變化會在曲面的邊界感生出一個旋渦狀的磁場出來，這個旋渦狀的磁場自然是用磁場的環流來描述。

可以想象，當我們用同樣的方法把這個曲面縮小到無窮小的時候，如果我們在方程的左右兩邊都除以這個曲面的面積，那麼方程的左邊就成了磁場B的旋度▽×B，右邊的兩項除以一個面積會變成什麼呢？

電通量的變化率除以面積之後就剩下電場的變化率∂E/∂t，這個跟法拉第定律的磁通量變化率除以面積類似。那麼電流（帶enc的I）那一項呢？電流I除以面積得到的東西是什麼？這裡我們定義了一個新的物理量：電流密度J。很顯然，這個電流密度J就是電流除以電流透過的曲面的面積（注意不是體積）。相應的，電流密度的單位是A/m²（安培每平方米）而不是A/m³。

這樣，麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律的微分形式就自然出來了：雖然還是有點長，但是相比積分形式已經是相當良心了，它告訴我們某一點感生磁場的旋度▽×B等於電流密度J和電場變化率∂E/∂t兩項的疊加。其實它跟積分形式講的都是一回事，都是在說電流和變化的電場能夠產生一個磁場，只不過積分形式是針對一個曲面，而微分形式只是針對一個點而已。

22麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：高斯電場定律說電場的散度跟這點的電荷密度成正比。

高斯磁場定律說磁場的散度處處為0。

法拉第定律說感生電場的旋度等於磁感應強度的變化率。

安培-麥克斯韋定律說感生磁場的旋度等於電流密度和電場強度變化率之和。

這裡最引入注目的就是▽運算元了，它以點乘和叉乘的方式組成的散度▽·和旋度▽×構成了麥克斯韋方程組微分形式的核心，這也是為什麼我要花那麼大篇幅從偏導數、向量點乘一步步給大家引出▽運算元的原因。也因為如此，微分篇的數學部分比積分篇要多得多得多，相對也要難以理解一些，所以大家要稍微有耐性一點。

從思想上來講，微分形式和積分形式表達的思想是一樣的，畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在於積分形式是從宏觀的角度描述問題，我們面對的宏觀上的曲面，所以要用通量和環流來描述電場、磁場；而微分形式是從微觀的角度來描述問題，這時候曲面縮小都無窮小，我們面對的東西就變成了一個點，所以我們使用散度和旋度來描述電場、磁場。

這一點是特別要強調的：通量和環流是定義在曲面上的，而散度和旋度是定義在一個點上的。我們可以說透過透過一個曲面的通量或者沿曲面邊界的環流，但是當我們在說散度和旋度的時候，我們都是在說一個點的散度和旋度。

理解了這些，你再回過頭去看看麥克斯韋方程組的積分形式：我們只不過把定義在曲面上的通量和環流縮小到了一個點，然後順勢在這個點上用利用通量和環流定義了散度和旋度。因為定義散度和旋度分別還除了一個體積和面積，所以我們積分方程的右邊也都相應的除了一個體積和麵積，然後就出現了電荷密度ρ（電荷Q除以體積V）和電流密度J（電流I除以面積S），電通量和磁通量那邊除以一個體積和麵積就剩下電場強度E和磁感應強度B的變化率，僅此而已。

如果我們從這種角度去看麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式，你就會覺得非常的自然和諧。給出積分形式，你一想散度和旋度的定義，就可以立馬寫出對應的微分形式；給出微分形式，再想一想散度和旋度的定義，也能立刻寫出對應的積分形式。當我想從宏觀入手的時候，我看到了曲面上的通量和環流；當我想從微觀入手的時候，我也能立馬看到一個點上的散度和旋度。積分和微分形式在這裡達成了一種和諧的統一。

23結語

到這裡，麥克斯韋方程組的積分篇和微分篇就都說完了。長尾君在這兩篇文章裡先從零開始引出了通量，然後從通量的概念慢慢引出了麥克斯韋方程組的積分形式，再從積分形式用“把曲面壓縮到無窮小”推出了對應的微分形式。整個過程我都極力做到“通俗但不失準確”，所有新概念的引出都會先做層層鋪墊，絕不從天而降的丟擲一個新東西。目的就是為了讓多的人能夠更好的瞭解麥克斯韋方程組，特別是讓中學生也能看懂，能理解麥克斯韋方程組的美妙，同時也激發出他們對科學的好奇和熱愛之心，打消他們對“高深”科學的畏懼之心：看，這麼高大上的麥克斯韋方程組，年紀輕輕的我也能看懂，也能掌握~

此外，麥克斯韋方程組是真的很美，你掌握的物理知識越多，就會越覺得它美。我也更希望大家是因為它的美而喜歡這個方程組，而不僅僅是因為它的“重要性”。我們也都知道，麥克斯韋寫出這套方程組以後，就從方程推匯出了電磁波，當他把相關的引數代入進去算出電磁波的速度的時候，他驚呆了！他發現這個電磁波的速度跟人們實驗測量的光速極為接近，於是他給出了一個大膽的預測：光就是一種電磁波。

最後，這篇文章主要參考了《電動力學導論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對麥克斯韋方程組做進一步瞭解的可以看看這兩本書，需要電子檔的可以在後臺回覆“麥克斯韋方程組”。

最美的方程，願你能懂她的美~

從方程組知道：1電場為有源性.2磁場為無源性.但是：教科書上，對磁鐵認識有嚴重的缺失，現補齊如圖1圖2(有實驗為基礎圖3、圖4).3磁場由電荷產生(自旋，自旋磁距，不需要磁荷)，不存在磁單極子.尋找磁單極子可以休息了.