設正四面體的稜長為a,求其外接球的半徑.

設正四面體V-ABC,D為BC的中點,E為面ABC的中心,外接球半徑為R,

則AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.

在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3.

在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,

可解得：R=（√6）a/4.

另外,我們也可以先求出OE,因為OE恰好是四面體的內切球的半徑r,利用等積法可求得r.

設四面體的底面積為S,則1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.於是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,從而得R=（√6）a/4.

如下:

設稜長為a，底面是正三角形，底面上的高√3a/2。

側稜的射影=√3/2a*(2/3)=√3a/3，高h=√(a^2-a^2/3)，h=√6a/3，從一條側稜上作垂直平分線交於高為o，a*a/2=r*√6/3a，r=√6a/4。

當稜長是a時，外接球半徑是√6a/4。