解：

圖形是一個開口向上的拋物面和一個開口向下的拋物面圍成的立體

不用考慮圖形具體的樣子

首先求立體在xy座標面上的投影區域

把兩個曲面的交線投影到xy面上去

即兩個方程聯立：

z=x²+y² .............①

z=6-2x²-2y² ......②

①-②得：

x²+y²-6+3x²+3y²=0

x²+y²=2

所以立體在xy座標面上的投影區域是D：x²+y²≤2

其次，根據二重積分的幾何意義

立體的體積是兩個曲頂柱體的體積的差

兩個曲頂分別是：

z=x²+2y²

z=6-2x²-y²

很容易判斷得到：

z=6-2x²-y²在Z=x²+2y²上方

所以，立體的體積：

V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy

在極座標系下化為累次積分：

V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π