為什麼曲面的面積不能簡單地用內接多面體表面積的極限去定義？

我們先從直觀上來說，比如說有一個球面，也就是一個籃球的表面，那麼這個籃球的肚子裡可以內接一個正方體，也可以內接一個四面體，也可以內接一個長方體……。顯然，不同的內接方法得到的幾何體的表面積都與球面的面積有差距，而且這些差距都不一樣的。

於是，我們按照上面給出的方式可以不斷地細節，最後以非常任意多面體的方式內接於球面。你會發現，你首先不知道如何求這個極限，其次你對不同的多面積，這個極限是不一樣的。

這是為什麼呢？

原來，球面是有曲率的，而且多面體的剖分會損失曲率的資訊。因此，在求面積的時候，就會產生誤差。這個是可以理解的。

對於其他的不是球面的曲面，拓撲結構不一樣，情況也就會更復雜。

正常來說，很多曲面上都可以做三角剖分的，我覺得三角剖分可能會給出面積的極限。而一般任意的剖分則不一定能給出正確的面積。總體來說，還是要掌握一點共形幾何與三角剖分的知識，才能說清楚這個問題。

我猜提問者的意思可能是用內接正多面體近似吧。類比於透過內接正多邊形近似圓的周長。

然而，正多邊形只有5種，面數最多的也只是20面體。

假如，增加到20面體之後，隨便在圓上找點構成21面體，沒有規則的增加，這樣表面積是沒法計算的，沒有一個增加的規定，這樣的極限是沒法求的。

而為什麼就可以用正多邊形近似圓，是因為正多邊形在增加邊的過程中，其形狀是固定的，面積是可以計算的（比如，球的內接21面體的表面積是不固定的，形狀不同，表面積不同），所以可以用正多邊形的極限求圓的周長和麵積。

第一，題目中說的內接多面體表面積，應該是內接折面比較準確，因為曲面可以不形成封閉體。第二，曲面面積不能簡單的用內接折面面積的極限去定義，它的根本原因是存在(或者可以構造)一個其極限為無窮大的曲面的內接折面，就是說不是任意的內接折面，它的極限是曲面面積，其中最著名的例子是19世紀末德國數學家H.A.Schwarz舉的園柱體表面積問題。這樣，就必須對內接折面加於限制，作為定義，這樣一個限制顯然不合理。