同學，你好！

關於極限，我們一直在強調極限思想。書上的說法更加的嚴密，如果你要一個通俗易懂的，那麼一句詞就解決問題了：無限接近。就是當函式自變數x趨近於某個值的時候，我函式的因變數y也無限接近一個數。

教材上的也是這個意思。就是用ξ-Ν語言來表述：你要學會看這個圖，教材是分兩種情況討論的，我們先看第一種情況當x趨近於某個具體值的時候，那麼你任給一個值ξ（指的是函式上任意一點的縱座標與y0的縱座標之差），無論你給的有多麼的小，我都能夠找出一個ε，只要我x與x0的距離在這個ε之內的，我這個區間內的函式就都能滿足使函式值變化不超過ξ的要求。你可能會說這個圖右上角有一部分滿足你的要求又不在我說的區間之內，我說這是正常的，就像衣服的邊角料一樣，只要我區間內x的都可以滿足函式值在你的區間之內就可以了。至於外面的我不用管。

還有一種情況是針對x趨近於無窮的：

就是說當x趨近於無窮的時候，那麼你任給一個數字ε當做函式與y=A的距離，這回我不變了，你去找吧，只要x大於某個X（一個具體的數字），從此以後的所有值都是比你給的距離小的。

一、首先來看數列的極限：

在學數列極限的時候，我們知道若這個數列有極限的話，在n無限增大時，這個數列的通項公式收劍於一個數，即無限接近於這個數，我們把這個數叫做這個數列通項的極限。

例如：數列 An = 1／n （n→ ∞時，）數列An收劍於0，0就是數列 1／n 的極限。

ε—N語言：

（假設數列An的極限是a，n→∞時）

對任意的 ε >0，總存在一個自然數N，當n>N時，有丨An—a丨<ε 。

下面來證明數列An=1／n的極限是0。

證明：對任意的ε>0，要使不等式

丨1／n 一 0 丨= 1/n < ε 成立，解得

n>1/ε。取N=〔1／ε〕。於是，

對任意的ε>0，存在N=〔1/ε〕是正整數，

對任意的n>N時，有丨1/n 一 0 丨 < ε，即

數列An=1/n的極限是0，（n→∞時）。

1、首先函式f（x）在區間(a，+∞）上有定義；

和數列ε—N語言是一樣的。

事先先給出一個ε>0，若b是常數，解不等式

丨f（x）一b丨<ε，若這個不等式能解出來，那麼x肯定是含有b和ε的一個式子。

這時取A就等於這個式子。

只要x>A時，就能保證

不等式丨f（x）一b丨<ε成立。

則稱函式f（x）（當x→∞時）存在極限或收斂，極限是b或收斂於b。

表為：f（x）→b（x→+∞）

幾何語言在座標平面上如下：

當然有了！！

極限，顧名思義，就是一個趨勢的最終情況，函式的走向就是趨勢，但說趨勢的前提是自變數的變化。

我對極限的理解是，x趨於某值時，y趨於什麼值，這個值就是函式的極限。一般來說，x有兩種趨勢，趨於∞，或者趨於某個定值。比方說指數函式

當x趨於∞時，y的趨勢明顯就是無限趨於0，那麼函式的極限就是0。

x趨於定值，還是指數函式，x趨於0時，函式的極限是1。這個時候很多人就要問了，在x為0那個地方函式值不就是1嗎？這就要提出一個很嚴重的問題了，很多人看極限就是把它看成那一點的函式值，其實錯了，極限是自變數趨於一個值的時候，因變數趨於的值，——————關鍵點來了——————，x趨於0並不是說x=0！！就是說，指數函式中，x趨於0時，x沒有取到0，那麼自然，y也取不到1，只是在x無限接近0的時候，y無限接近於1。這個無限接近的數，就是極限。

另一個例子就是y=1/x，當x趨於0時，y的極限是∞，這個例子中，x同樣不會取到0，只是無限接近於0，你可以看成x=0.000000無限個00001，那麼y的值就特別大，它所能達到的極限就是∞。