第1、刑事案件當中規定的比較嚴格，並不是所有的家屬都享有刑事訴訟法規定的相應的權利必須是近親屬，那麼近親屬只有是犯罪嫌疑人的配偶父母，子女，同胞，兄弟姐妹。

近親屬可以帶犯罪嫌疑人，委託辯護律師可以申請變更強制措施等刑事訴訟法規定的相應的權利，但是做筆記鑑定一般的情況下都是在公安偵查階段進行的。在公安偵查階段，所有的偵查的具體的情況不會向犯罪嫌疑人的家屬透露，因為屬於機密。這就造成了近親屬無法知道是不是已經做了筆跡鑑定。如果是已經知悉了，那麼近親屬完全可以向公安機關提出申請。

第2、刑事案件當中，只有辯護律師才能與犯罪嫌疑人在看守所見面，那麼也就只有辯護律師才知悉偵查的具體的情況。於是辯護律師就有了，及時為犯罪嫌疑人進行辯護的條件，可以為犯罪嫌疑人代為申請刑事訴訟法所規定的事項。

第3、犯罪嫌疑人完全有權利提出做筆跡鑑定的申請。

綜上所述我認為犯罪嫌疑人可以在第一時間提出申請，其次是刑事辯護律師要依法為犯罪嫌疑人提出申請，再次家屬可以提出申請，因為家屬畢竟不是專業人士，對於提出的申請也抓不住重點。