很容易證明，不論用幾進位制，比如十進位制或二進位制，無理數各位的出現機率都是趨同的。因為各個數位是完全對稱的。比如你對0-9做任何一個置換，無理數仍然是無理數，有理數仍然是有理數，所以不會有任何一個數字是“特殊的”。

至此，證畢！

此外，這裡可以給出另外一個結論：滿足任何一個數位非平凡機率分佈（非平凡就是說各位數字的機率都≠0）的無理數的總集合S（當然也就包括平均機率分佈），都是不可數無窮，＞自然數（阿列夫0），=實數（阿列夫1）。

很簡單，構造一個所有無理數R到給定機率分佈集合S的子集的一個對映，從而有R≤S，而顯然有R≥S，所以該數位機率分佈的無理數與所有無理數（也就是實數）等勢。

這個對映如下：對給定機率的基數n，比如基於%基數是100，任何一個無理數（可以只看小數部分，因為0-1的無理數和實數等勢）寫成：0.abcde…，那麼可以對應一個無理數：0.a…b…c…d…e…，每個數位間隔n位，中間隨意填寫只要保證各位滿足給定的還機率分佈即可。