用反證法：

第一步先證明：對於整數P，如果P的平方是3的整數倍，那麼P也是3的整數倍。

如果P不是3的整數倍，

假設P=3m+1 或 P=3m+2

P^2=9m^2+6m+1 或者9m^2+12m+4

P^2/3=3m^2+2m+1/3 或者 3m^2 + 4m +4/3

這與P^2是3的整數倍矛盾。

第二步再證明根號3是無理數

若根號3是有理數，假設根號3 = m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質） 

所以 （m/n）的平方=根號3的平方=3

 m^2/n^2=3

 m^2=3*n^2 

根據第一步的證明，m是3的整數倍

假設m=3k，帶入上面的公式 9k^2=3n^2, n^2=3k^2, 那麼n也是3的倍數

m, n都是3的倍數，與m、n互質矛盾

所以假設不成立，根號3是無理數