這個用邏輯來證明。
公理：兩點之間,線段最短. 證：線段定義：互異的兩個端點的直線段 叫線段。
（附：上面不叫迴圈定義，因為互異的兩個端點當能標識出線時，就能標出很多條長短不同的線。
直的那一條取名線段。）
先確定了不重合的兩點A、B。可證得：兩點之間必存在最短的線。假如沒最短這線，必存在無限短的線。邏輯：沒最短必有無限短。（證明 上邏輯。 證明：反證法 “ 假如連線沒有最短的線”。 得a不是最短的線，就有比a短的線a1，既 a＞a1 由於“沒有最短的線”，得a1不是最短的線，就有比a1短的線a2，既 a1＞a2 由於“沒有最短的線”，得a2不是最短的線，就有比a2短的線a3，既 a2＞a3 ..................... 上面類推得：a＞a1＞a2＞a3＞ ........ 證得：沒有最短的線，必有無限下去。） 又確定了兩個點，所以 兩個點不是動點。得兩點不能靠近。所以不能無限的變短，就必有最短的線。這個最短的線取名為直的線，又有兩個端點A、B。所以，線段定義存在，且合理。又證明了AB為最短。公理證畢！
這個用邏輯來證明。
公理：兩點之間,線段最短. 證：線段定義：互異的兩個端點的直線段 叫線段。
（附：上面不叫迴圈定義，因為互異的兩個端點當能標識出線時，就能標出很多條長短不同的線。
直的那一條取名線段。）
先確定了不重合的兩點A、B。可證得：兩點之間必存在最短的線。假如沒最短這線，必存在無限短的線。邏輯：沒最短必有無限短。（證明 上邏輯。 證明：反證法 “ 假如連線沒有最短的線”。 得a不是最短的線，就有比a短的線a1，既 a＞a1 由於“沒有最短的線”，得a1不是最短的線，就有比a1短的線a2，既 a1＞a2 由於“沒有最短的線”，得a2不是最短的線，就有比a2短的線a3，既 a2＞a3 ..................... 上面類推得：a＞a1＞a2＞a3＞ ........ 證得：沒有最短的線，必有無限下去。） 又確定了兩個點，所以 兩個點不是動點。得兩點不能靠近。所以不能無限的變短，就必有最短的線。這個最短的線取名為直的線，又有兩個端點A、B。所以，線段定義存在，且合理。又證明了AB為最短。公理證畢！