公理是人類公認的，經過長期反覆實踐得出的結論，不需要再證明！
定理是建立在公理和假設的基礎上，經過推論和證明得到的真命題！
公理和定理並非只在數學課本中，現實生活中也有這樣的例子，比如2015年鬧得沸沸揚揚的“你媽是你媽”事件，驚動了國務院總理。你媽是你媽，在常人看來，這就是一個公理，不需要證明，但為什麼在很多環節卡住了呢？因為工作人員並不認定這就是個公理。不能你說你媽就是你媽，至少在他那裡連定理都算不上，只能算個命題，命題的真偽，你得證明，就算證明是，充其量對他們來說，這也就是個定理。所以，關聯的物件不一樣，思考的方式也就不一樣。這就跟“兩點之間線段最短”一樣，在常人眼裡這就是公理，無需證明，但在有些人眼裡，這就成了命題，你說兩點之間線段最短，你怎麼證明？
公理的出現，是為了讓事情變得簡單，拿來就用，簡化我們辦事的流程;定理則是在公理的基礎上，給我們思考和邏輯的空間。定理指導我們在做事的時候，要經得起推敲，至少在定理變成公理之前，絕對的拿來主義是不好的，萬一有一天，定理被推翻了呢？
數學是一門嚴謹的學科，他一方面告訴我們行事的準則，一方面又要我們拓展思維。人類的認知便在這拉拉扯扯中昇華！感謝提問！
公理是人類公認的，經過長期反覆實踐得出的結論，不需要再證明！
定理是建立在公理和假設的基礎上，經過推論和證明得到的真命題！
公理和定理並非只在數學課本中，現實生活中也有這樣的例子，比如2015年鬧得沸沸揚揚的“你媽是你媽”事件，驚動了國務院總理。你媽是你媽，在常人看來，這就是一個公理，不需要證明，但為什麼在很多環節卡住了呢？因為工作人員並不認定這就是個公理。不能你說你媽就是你媽，至少在他那裡連定理都算不上，只能算個命題，命題的真偽，你得證明，就算證明是，充其量對他們來說，這也就是個定理。所以，關聯的物件不一樣，思考的方式也就不一樣。這就跟“兩點之間線段最短”一樣，在常人眼裡這就是公理，無需證明，但在有些人眼裡，這就成了命題，你說兩點之間線段最短，你怎麼證明？
公理的出現，是為了讓事情變得簡單，拿來就用，簡化我們辦事的流程;定理則是在公理的基礎上，給我們思考和邏輯的空間。定理指導我們在做事的時候，要經得起推敲，至少在定理變成公理之前，絕對的拿來主義是不好的，萬一有一天，定理被推翻了呢？
數學是一門嚴謹的學科，他一方面告訴我們行事的準則，一方面又要我們拓展思維。人類的認知便在這拉拉扯扯中昇華！感謝提問！