前n個正整數的平方和公式的推導

已知，(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

所以 (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

依次有n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1

(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1

………………………………

3^3-2^3=3*2^2+3*2+1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

以上的n個等式的兩邊分別相加得到：

(n+3)^3-1

=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)

+3(1+2+3+……+n)

+(1+1+……+1)

所以(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n

因此 1^2+2^2+3^2+……+n^2=[(n^3+3n^2+3n)-3n(n+1)/2-n]/3

=(2n^3+3n^2+n)/6

=n(n+1)(2n+1)/6