舉個三維空間(三元方程組)的例子：

紅色平面(x+y+z=9)是我們想要的全解。從原點指向它的向量我們叫做紅色向量，也叫一個解。

藍色平面(x+y+z=0)過原點，是齊次解。它裡面的向量我們叫做藍色向量。

綠色向量是一個已經明確算出來了的特解。

讓綠色向量加上一個藍色向量就得到一個紅色向量。

讓綠色向量加上所有藍色向量就得到所有紅色向量。

故：一個特解 + 齊次解 = 全解。

也可以這樣理解：藍色平面向著綠色向量的方向平移，即可得到紅色平面。

從這個圖中我們還可以很容易看出兩個擴充套件結論：

1、兩個解相加÷2還是一個解。

——擴充套件：n個解相加÷n還是一個解

——再擴充套件：任意n個解，每個解前面乘個係數，只要所有係數加起來=1，那麼乘完加起來還是解。(其實就是向量的性質)

2、兩個解相減得到齊次解。

——擴充套件：一組線性無關的解向量(假設有n個)，從中任挑一個來被所有其它向量減一次，可以得到齊次解空間的一組基。(在本例中，一組線性無關解頂多就三個，那麼向量“二減一”)和向量“三減一”就可以構成藍色平面的一組基)