閉區間上的連續函式，必定是一致連續（康托爾定理）。根據一致連續定義：dy/dx一定處處存在。lim（x1-->x2)[f(x1)-f(x2)]=0;x1，x2是任意兩點。上式除以（x1-x2）lim（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=f"(x),根據中值定理：存在ξ∈（x1，x2），f"(ξ）（x1-x2）=f(x1)-f(x2)|f(x1)-f(x2)|=|f"(ξ）（x1-x2）|≤f"(ξ）|ε；取f"(ξ）的最大絕對值M，|f(x1)-f(x2)|≤Mε=δ此時，函式必然在定義域內一致連續。如果f"(ξ）的最大絕對值是+∞，那麼就不會一致連續。當然，一致連續並不要求導數處處存在，條件比這個弱得多。下面有兩個定理：（-∞，+∞）上的連續週期函式，比一致連續；（a，+∞）上的連續函式f(x),f(a+),f(+∞）存在，必一致連續；據此，R上的連續函式，f(-∞），f(+∞）存在，則一致連續。f(-∞），f(+∞）不存在，就不一定一致連續了。