這個結論其實也可以這樣表述:
實數域上的不可約多項式只有一次和二次的。
這個是對的。
我們可以用代數學基本定理來做一個簡單的證明:
假設存在n次 的實係數不可約多項式,記為
若 有至少一個實根,取其中一個實根 ;
不難驗證 是 的真子因式,與 不可約矛盾!
若 無實根,依代數學基本定理知 至少有一復根 ,
故 ;
依 為實係數的知 ,故對上式取共軛有:
,這表明 也是 的復根。
而 為實係數二次多項式 的兩個復根,
從而 為 的因式;
且 ,故 為真子因式,這與 不可約矛盾!
綜上所述:實數域上不存在三次及以上的不可約多項式。
並且一次與二次的不可約多項式是可以構造出來的,故我們斷言:
ps:複數域上不可約因式只有一次的,而有理數域上可以構造出任意次的不可約多項式。
這個結論其實也可以這樣表述:
實數域上的不可約多項式只有一次和二次的。
這個是對的。
我們可以用代數學基本定理來做一個簡單的證明:
代數學基本定理:任何復係數一元 次多項式 方程在複數域上至少有一根 。 (該定理證明略)假設存在n次 的實係數不可約多項式,記為
若 有至少一個實根,取其中一個實根 ;
不難驗證 是 的真子因式,與 不可約矛盾!
若 無實根,依代數學基本定理知 至少有一復根 ,
故 ;
依 為實係數的知 ,故對上式取共軛有:
,這表明 也是 的復根。
而 為實係數二次多項式 的兩個復根,
從而 為 的因式;
且 ,故 為真子因式,這與 不可約矛盾!
綜上所述:實數域上不存在三次及以上的不可約多項式。
並且一次與二次的不可約多項式是可以構造出來的,故我們斷言:
實數域上的不可約多項式只有一次和二次的。
ps:複數域上不可約因式只有一次的,而有理數域上可以構造出任意次的不可約多項式。