這句話應該反過來說,應該是:

在某個區間上可導的函式,其導函式在該區間上沒有第一類間斷點.

可以透過拉格朗日中值定理證明上述定理(又叫做導函式連續定理):

若f(x)在x0的某個鄰域U(x0;δ)內連續,在該去心鄰域U°(x0;δ)上可導,且lim(x→x0)f"(x)存在,則f(x)在x0處也可導,並有f"(x0)=lim(x→x0)f"(x)

而第一類間斷點的定義是函式在某點左右極限都存在,但不等於該點函式值.

顯然,如果導函式在某點左右極限存在且相等,那麼導函式在該點連續,該點就不可能是可去間斷點.

而如果導函式在某點左右極限存在卻不等,那麼導函式的左極限就是原函式的左導數,導函式的右極限就是原函式的右導數.左右極限不等意味著左右導數不等,所以原函式在該點不可導,或者說導函式在該點無定義.因此該點不會是跳躍間斷點(第一類間斷點的定義裡強調了該點必須要有函式值,既然在該點無定義,即使左右極限不等,它也不是跳躍間斷點).

綜上,在某個區間上可導的函式,其導函式在該區間上沒有第一類間斷點成立