設v、w是兩個線性空間。一個v至w的線性對映t，就稱為v至w的線性變換。

線性變換必須滿足任意的x，y∈v及任意實數a，b，有t（ax+by）=at（x）+bt(y)

如恆等變換i。v→v，對任意的x∈v，有i(x)=x

因為i(ax+by)=ax+by=ai(x)+bi(y)滿足t（ax+by）=at（x）+bt(y)所以i是線性變換。

幾何上恆等變換不改變圖形的大小和位置。其在常用基下對應的矩陣為單位矩陣e。

是不是線性變換就透過看是否滿足t（ax+by）=at（x）+bt(y)來驗證。

同理旋轉變換、伸縮變換（幾何上表現為擴大縮小圖形x=kx;y=ky）、切變變換（幾何上表現為x=x+ky;y=y+kx)、投影變換(投影在x或y軸上）、反射變換（幾何上表現為關於某條直線對稱）、零變換（o）等都是線性變換。

若一個變換是由幾個線性變換複合而成，該變換也為線性變換。

學到後面基本都是考線性變換對應的矩陣的相關計算及應用。