高中階段只需要掌握二維形式的柯西不等式與柯西不等式向量形式
二維形式的柯西不等式公式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等號成立條件：ad=bc (a/b=c/d)
柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等號成立條件：β為零向量,或α=λβ(λ∈R).
樓主是否會聯想到其他形式呢?由類比推理思想可得：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二維形式的證明
(a+b)(c+d) (a,b,c,d∈R)
=a·c +b·d+a·d+b·c
=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
=(ac+bd)+(ad－bc)
≥(ac+bd),等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立
高中階段只需要掌握二維形式的柯西不等式與柯西不等式向量形式
二維形式的柯西不等式公式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等號成立條件：ad=bc (a/b=c/d)
柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等號成立條件：β為零向量,或α=λβ(λ∈R).
樓主是否會聯想到其他形式呢?由類比推理思想可得：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二維形式的證明
(a+b)(c+d) (a,b,c,d∈R)
=a·c +b·d+a·d+b·c
=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
=(ac+bd)+(ad－bc)
≥(ac+bd),等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立