希爾伯特空間Hilbert space完備的內積空間，n維歐幾里得空間的推廣。又稱無窮維歐化空間。歐幾里得空間Rn最突出的特點是向量的內積，兩個向量x＝（x1，x2…，xn）∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）由內積可匯出兩個向量的互相垂直成正交：x與y互相垂直（x，y）＝0，記作x⊥y，這與三維歐幾里得空間中向量相互垂直的幾何概念一致，有了正交概念就可進而引入正交投影、正交基等一系列概念，希爾伯特空間就是有限維內積空間向無限維線性空間的推廣。R3中基本概念和研究方法也被相應地拓廣到希爾伯特空間中，希爾伯特空間是泛涵分析研究的基本物件之一，並且成為量子力學、積分方程、正交級數理論等方面研究問題的重要工具 ，設 l2＝(x1，x2…xn，…) ：每一xn為實數 ( 或複數），對於x＝(x1，x2…，xn，…)、y＝(y1，y2，…，yn，…)∈l2， "a∈K，規定x＋y＝（x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn ，…），ax＝（ax1，ax2，…，axn，…），則l2為一線性空間，規定內積，則l2成為一個希爾伯特空間。
希爾伯特空間Hilbert space完備的內積空間，n維歐幾里得空間的推廣。又稱無窮維歐化空間。歐幾里得空間Rn最突出的特點是向量的內積，兩個向量x＝（x1，x2…，xn）∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）由內積可匯出兩個向量的互相垂直成正交：x與y互相垂直（x，y）＝0，記作x⊥y，這與三維歐幾里得空間中向量相互垂直的幾何概念一致，有了正交概念就可進而引入正交投影、正交基等一系列概念，希爾伯特空間就是有限維內積空間向無限維線性空間的推廣。R3中基本概念和研究方法也被相應地拓廣到希爾伯特空間中，希爾伯特空間是泛涵分析研究的基本物件之一，並且成為量子力學、積分方程、正交級數理論等方面研究問題的重要工具 ，設 l2＝(x1，x2…xn，…) ：每一xn為實數 ( 或複數），對於x＝(x1，x2…，xn，…)、y＝(y1，y2，…，yn，…)∈l2， "a∈K，規定x＋y＝（x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn ，…），ax＝（ax1，ax2，…，axn，…），則l2為一線性空間，規定內積，則l2成為一個希爾伯特空間。