證明時，會遇到sinx等三角公式，但是現代的三角公式都是用單位圓定義的，然後弧度是根據圓弧長和半徑的比值定義的（弧度的定義α=所轉過的弧長/半徑; 而根據相似，他們的比值是恆定的，然而扇形的的一條邊是曲邊，所以相似也需要用到周長公式這就促使我們推導周長公式），但是我們所用的圓弧長是由圓的周長推廣來的，如果我們在推導中用到了三角函式，這就產生了迴圈論證。

關於迴圈論證的問題，我想過用級數來代替三角函式，從而避免迴圈論證。

但是在證明，關於級數收斂的問題，無法用判別法進行判別。

以下，我是用級數做的

如果這個扇形大於等於半圓時，很明顯其最大的圓應該是以扇形的半徑為直徑的那個內接圓；

如果扇形小於半圓，此時作扇形的頂角的角平分線，圓心應該在這條角平分線上且圓與扇形兩條半徑相切。此時有兩個條件：1,越往外圓的半徑越大，2，圓不能超出扇形。 那麼最大的時候就是圓與兩半徑和扇形弧都相切的時候。求出頂角a，扇形半徑為R，圓半徑為r，則根據直角三角形關係sin(a/2)=r/(R-r)，可以解出r.